Khái Niệm, Công Thức Tính Nhanh Thể Tích Tứ Diện đều - DinhNghia

0 (0)

Tứ diện là khải niệm hình học cơ bản và quan trọng trong chương trình hình học về khối đa diện. Để tìm hiểu tứ diện là gì, nắm được kiến thức về tính chất, công thức và bài tập của tứ diện và tứ diện đều, hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN theo dõi bài viết dưới đây nhé!

Tứ diện là gì?

Tứ diện là hình có bốn đỉnh được tạo bởi 4 điểm không thẳng hàng trong không gian và thường được ký hiệu là A, B, C, D. Bất kỳ điểm nào trong số A, B, C, D cũng có thể được coi là đỉnh, mặt tam giác đối diện với nó được gọi là đáy.

Ví dụ: Nếu chọn A là đỉnh thì BCD là mặt đáy. Hay hiểu theo cách khác, trong không gian nếu cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng thì khối đa diện có 4 đỉnh A, B, C, D gọi là khối tứ diện, ký hiệu là ABCD.

Tứ diện đều là gì?

Tứ diện đều là một hình chóp tam giác có các mặt bên là các tam giác đều. Nói cách khác, một hình chóp tam giác có cạnh bên bằng cạnh đáy thì được gọi là tứ diện đều.

Tứ diện đều được coi là một trong năm loại khối đa diện đều.

Tính chất và cách vẽ tứ diện đều

Tính chất

Tứ diện đều có các tính chất sau đây:

• Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.
• Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
• Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180 độ.
• Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.
• Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
• Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
• Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau trùng với tâm của tứ diện.
• Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
• Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

Cách vẽ

Vẽ hình là bước đầu tiên để giải bất kỳ bài toán hình học không gian nói chung và bài toán liên quan tới tứ diện đều nói riêng. Điều quan trọng nhất để đưa ra các phương pháp giải bài toán đúng là phải vẽ chính xác hình tứ diện đều để có một cái hình tổng thể nhất.

Ta vẽ hình tứ diện đều qua các bước chi tiết sau đây:

• Bước 1: Coi hình tứ diện đều là môt hình chóp tam giác đều ABCD có đỉnh A, mặt đáy BCD
• Bước 2: Tiến hành vẽ mặt là cạnh đáy, ví dụ là mặt BCD.
• Bước 3: Xác định trọng tâm G của tam giác BCD.

Ta dựng các đường trung trực của các cạnh đáy của mặt đáy BCD. Ví dụ đường trung trực của cạnh CD là BM. Sau đó, xác định trọng tâm G là giao ba đường trung trực của tam giác BCD.

• Bước 4: Dựng đường cao của tứ diện đều. Đường cao của tứ diện là đường thẳng đi qua đỉnh của tứ diện và vuông góc với mặt đáy. Do tứ diện đều nên đường cao của tứ diện đi qua tâm của mặt đáy BCD. Do đó khi dựng, ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại trọng tâm G của tam giác BCD.
• Bước 5: Xác định điểm A (đỉnh của tứ diện) trên đường thẳng vừa dựng và nối các đỉnh còn lại với nhau. Ta được hình tứ diện đều.

Công thức tính thể tích khối tứ diện

Thể tích của tứ diện:

Gọi tứ diện là ABCD. Thể tích tứ diện ABCD bằng 1 phần 3 diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của khối tứ diện.

V = 1/3 . S(BCD) . AH

Trong đó: Mặt đáy là BCD, chiều cao là AH.

Thể tích của khối chóp:

Thể tích của khối chóp bằng 1 phần 3 diện tích mặt đáy với chiều cao của khối chóp.

V = 1/3 . B . h

Trong đó: B là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của khối chóp.

Lưu ý: Công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a: S(BCD)=3√4a2

Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều

Bài tập 1: Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a.

Cách giải:

Ta có: AA’B’D’ là tứ diện đều, suy ra đường cao AH có H là tâm của tam giác đều A’B’D’ cạnh a.

Do đó:

A′H=2/3A′O′=2/3.a.sqrt(3)/2=a.sqrt(3)/3

⇒AH2=AA′2−A′H2=a^2−a^2/3=2a^2/3

⇒AH=a.sqrt(2/3)=a.sqrt(6)/3

Suy ra:

Diện tích tam giác đều A’B’D’ là: SA′B′D′=a^2.sqrt(3)/4

Diện tích hình thoi A’B’C’D’ là: SA′B′C′D′=2sB′C′D′=a^2.sqrt(3)/2

Vậy thể tích khối hộp đã cho là: V=B.h=a^2.sqrt(3)/2.a.sqrt(6)/3=a^3.sqrt(2)/2

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD gần đều có các cặp cạnh đối bằng nhau AB = CD = a và AC = BD = b và AD = BC = c. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Dựng tứ diện APQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh QR, RP, PQ.

Ta có: AD = BC = 1/2 . PQ ⇒ AQ = 1/2 . PQ

Mà D là trung điểm của PQ ⇒ AQ vuông góc AP

Chứng minh tương tự ta có: AQ vuông góc AR, AR vuông góc AP

Ta có: V ABCD = 1/4 . V APQR = 1/4 . AP . AQ . AR

Xét các tam giác vuông APQ, AQR, ARP ta có:

AP^2 + AQ^2 = 4c^2, AQ^2 + AR^2 = 4a^2, AR^2 + AP^2 = 4b^2

Từ đó suy ra: AP = √2 . √(-a^2 + b^2 + c^2), AQ = √2 . √(a^2 – b^2 + c^2), AR = √2 . √(a^2 + b^2 – c^2).

Vậy V ABCD = √2/12 . √((-a^2 + b^2 + c^2).(a^2 – b^2 + c^2).(a^2 + b^2 – c^2))

Xem thêm:

• Công thức tính diện tích hình bình hành: Quy tắc và Bài tập ứng dụng
• Thiết diện là gì? Lý thuyết và công thức thiết diện dễ hiểu nhất
• Thẻ VISA là gì? Các loại thẻ VISA thông dụng và những tiện ích khi sử dụng thẻ VISA

Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những kiến thức hữu ích về tứ diện cùng tính chất, công thức, bài tập ứng dụng của tứ diện và tứ diện đều. Nếu có bất cứ thắc mắc nào, đừng quên để lại nhận xét để Dinhnghia.com.vn hỗ trợ giải đáp nhé. Chúc bạn luôn học tốt!

Bạn thấy bài viết này hữu ích chứ?

Hãy chọn vào ngôi sao để đánh giá bài viết

Gửi đánh giá

Đánh giá trung bình 0 / 5. Lượt đánh giá 0

Hãy là người đầu tiên đánh giá bài viết