Khái Niệm, điều Kiện, Tính Chất Của Tích Phân Xác định - HOC247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán cao cấp Chương 7: Tích phân xác định Bài 1: Tích phân xác định - Khái niệm, điều kiện, tính chất của tích phân xác định ADMICRO Lý thuyết 1 FAQ

Nội dung bài giảng Bài 1: Tích phân xác định sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về khái niệm tích phân xác định, điều kiện khả tích, vài tính chất của tích phân xác định, công thức Newton-Leibnitz. Mời các bạn cùng tham khảo!

ATNETWORK YOMEDIA

1. Khái niệm tích phân xác định

1.1. Bài toán diện tích

1.2 Định nghĩa

2. Điều kiện khả tích

3. Vài tính chất của tích phân xác định

4. Công thức Newton-Leibnitz

4.1 Sự liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định

4.2 Công thức Newton-Leibnitz

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm tích phân xác định

1.1. Bài toán diện tích

Cho hàm f xác định, dương và liên tục trên [a,b]. Tính diện tích hình thang cong (H) giới hạn bởi \(y = f(x), y = 0, x = a, x = b.\)

Chia đoạn [a,b] thành n đoạn bởi các điểm \(x_0 = a < x_1 < x_2 < ... < x_i < ... < x_n = b\)

Qua xi kẻ đường thẳng song song Oy. Hình thang cong (H) được chia thành n hình thang cong nhỏ (Hi).

Trên mỗi đoạn \(\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\) lấy điểm \({\xi _i} \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\), thiết lập hình chữ nhật có độ dài các cạnh là \({x_{i - 1}},{x_i}\) và \(f\left( {{\xi _i}} \right)\)

⇒ Diện tích của hình thang cong (Hi) gần bằng diện tích hình chữ nhật có độ dài các cạnh là \(({x_{i - 1}},{x_i})\) và \(f\left( {{\xi _i}} \right)\).

\({S_{(H)}} \simeq ({x_1} - {x_0})f({\xi _1}) + ({x_2} - {x_1})f({\xi _2}) + ({x_3} - {x_1})f({\xi _3}) + ... + ({x_n} - {x_{n - 1}})f({\xi _n}) = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i})}\)

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = f(x) = x^2, y = 0, x = 1,x = 3\)

Giả sử chia đoạn [1;3] bởi phép phân hoạch đều

\({x_0} = 1,{x_1} = 1 + \frac{2}{n},...,{x_i} = 1 + i.\frac{2}{n},...,{x_n} = 3\)

Chọn \({\xi _i} = {x_i}\). Lập tổng:

\({S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {f({\xi _i})({x_i} - {x_{i - 1}}) = \frac{2}{n}} \sum\limits_{i = 1}^n {f({x_i}) = } \frac{2}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \)

\(= \frac{2}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {1 + \frac{{2i}}{n}} \right)} ^2} = \frac{2}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {} \left( {1 + \frac{{4i}}{n} + \frac{{4{i^2}}}{{{n^2}}}} \right)\)

\(= \frac{2}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {1 + } \frac{8}{{{n^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n i + \frac{8}{{{n^3}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}}\)

\( = 2 + \frac{8}{{{n^2}}}\frac{{n(n + 1)}}{2} + \frac{8}{{{n^3}}}\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

Diện tích là

\(S = \mathop {\lim }\limits_{\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0} {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = 2 + 4 + \frac{8}{3} = \frac{{26}}{3}\)

Ví dụ 2: Tính diện tích hình thang giới hạn bởi \(y=2x-1,y=0,x=2,x=5\)

Coi phép phân hoạch đều trên [2,5]

\({x_0} = 2,{x_1} = 2 + \frac{3}{n},...,{x_i} = 2 + i.\frac{3}{n},...,{x_n} = 5\)

Chọn \({\xi _i} = {x_i}\). Lập tổng:

\({S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i}) = \frac{3}{n}} \sum\limits_{i = 1}^n {(2{x_i} - 1)}\)

\(= \frac{3}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {2\left( {2 + \frac{{3i}}{n}} \right) - 1} \right]} = \frac{3}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {3 + \frac{{6i}}{n}} \right)} = 9 + \frac{{18}}{{{n^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n i = 9 + \frac{{18}}{{{n^2}}}\frac{{n(n + 1)}}{2} \)

\( \Rightarrow S = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = 9 + 9 = 18\)

1.2 Định nghĩa

Cho hàm số f xác định trên [a,b]. Coi phép phân hoạch (bất kỳ) đoạn [a,b] bởi các điểm

\(x_0 = a < x_1 < x_2 < ... < x_i < ... < x_n =b\)

Trên mỗi đoạn \(\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]\) lấy điểm \({\xi _i}\) bất kỳ.

Lập tổng tích phân: \({I_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i}} )\)

Nếu giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0} {I_n}\) tồn tại hữu hạn không phụ thuộc vào phép phân hoạch trên đoạn [a,b] và không phụ thuộc cách chọn điểm \({\xi _i}\) thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f trên [a, b].

Ký hiệu:

\(\int\limits_a^b {f(x)dx = \mathop {\lim }\limits_{\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0} {I_n}} = \mathop {\lim }\limits_{\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i})}\)

trong đó a là cận dưới, b là cận trên,

x biến tích phân, f(x) hàm dưới dấu tích phân

Khi hàm f có tích phân xác định trên [a, b] ta nói f khả tích trên [a, b]

2. Điều kiện khả tích

Định lý: Hàm số f khả tích trên [a, b] ⇒ f bị chận trên [a,b]

Chứng minh:

Giả sử f không bị chận trên [a,b]. Chọn dãy các phân hoạch trên [a,b] sao cho \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop {\max }\limits_{k = 1,...,n} ({x_i} - {x_{i - 1}}) = 0\)

Vì f không bị chận trên [a,b] nên tồn tại k và \(c \in \left[ {{x_{k - 1}},{x_k}} \right]\) sao cho \(\left| {f(c)} \right|\left[ {{x_k} - {x_{k - 1}}} \right]\) lớn tùy ý

Chọn \({\xi _k} = c\) thì

\({I_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i}} ) = \sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {x_{i - 1}})f({\xi _i}) + } ({x_k} - {x_{k - 1}})f({c_i})\)

Suy ra \(\left| {{I_n}} \right| \ge \left| {f(c)} \right|({x_k} - {x_{k - 1}}) - \left| {\sum\limits_{i = 1}^n {f({\xi _i})({x_i} - {x_{i - 1}})} } \right| > n\)

\( \Rightarrow {I_n}\) không thể có giới hạn hữu hạn khi \(\max ({x_i} - {x_{i - 1}}) \to 0\)

\( \Rightarrow f\) không khả tích trên [a,b]. Do đó, f bị chận trên [a, b].

Ghi chú:

Điều ngược lại không đúng, nghĩa là nếu f bị chận trên [a, b] thì chưa chắc f khả tích trên [a, b].

Ví dụ: \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,x \in Q \cap \left[ {0,1} \right]\\ 0\,\,\,\,x \in \left[ {0,1} \right]\backslash Q \end{array} \right. \)

Hiển nhiên f bị chận trên [0,1] vì \(0 \le f(x) \le 1,\forall x \in [0,1]\)

Nhưng f không khả tích trên [0, 1]. Thật vậy, xét phép phân hoạch trên [0, 1]: \(x_0=0

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC

Môn học

Triết học

Lịch Sử Đảng

Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Kinh Tế Vi Mô

Kinh Tế Vĩ Mô

Toán Cao Cấp

LT Xác suất & Thống kê

Đại Số Tuyến Tính

Tâm Lý Học Đại Cương

Tin Học Đại Cương

Kế Toán Đại Cương

Pháp Luật Đại Cương

Marketing Căn Bản

Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Xã Hội Học Đại Cương

Logic Học

Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Cơ Sở Văn Hóa VN

Trắc nghiệm

Trắc nghiệm Triết học

Trắc nghiệm Lịch Sử Đảng

Trắc nghiệm Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Trắc nghiệm Kinh Tế Vi Mô

Trắc nghiệm Kinh Tế Vĩ Mô

Bài tập Toán Cao Cấp

Bài tập LT Xác suất & Thống kê

Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Trắc nghiệm Tâm Lý Học Đại Cương

Trắc nghiệm Tin Học Đại Cương

Trắc nghiệm Kế Toán Đại Cương

Trắc nghiệm Pháp Luật Đại Cương

Trắc nghiệm Marketing Căn Bản

Trắc nghiệm Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Trắc nghiệm Xã Hội Học Đại Cương

Trắc nghiệm Logic Học

Trắc nghiệm Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Trắc nghiệm Cơ Sở Văn Hóa VN

Tài liệu - Giáo trình

Lý luận chính trị

Khoa học tự nhiên

Khoa học xã hội

Kinh tế - Tài chính

Kỹ thuật - Công nghệ

Cộng nghệ thông tin

Tiếng Anh - Ngoại ngữ

Luận văn - Báo cáo

Kiến trúc - Xây dựng

Kỹ năng mềm

Y tế - Sức khoẻ

Biểu mẫu - Văn bản

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>