Khái Niệm Và Các định Nghĩa Của Xác Suất Trong Toán Học

Số lượt đọc bài viết: 15.836

Quan sát các hiện tượng tự nhiên ta thấy có những hiện tượng thường xảy ra, có những hiện tượng ít xảy ra. Các định nghĩa của xác suất sẽ giúp chúng ta hiểu hơn xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay ít khi) của một biến cố. Trong lịch sử Toán học đã có nhiều định nghĩa cho khái niệm xác suất. Cùng DINHNGHIA.VN xem xét các định nghĩa của xác suất qua bài viết dưới đây nhé!

MỤC LỤC

• Định nghĩa cổ điển về xác suất
  • Các định nghĩa của xác suất cổ điển
  • Thí dụ về xác suất cổ điển
• Định nghĩa thống kê về xác suất
  • Định nghĩa tần suất
  • Định nghĩa xác suất
• Định nghĩa xác suất theo hình học
• Các tính chất của xác suất
• Các ví dụ giải sẵn

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Các định nghĩa của xác suất cổ điển

• Cho A1, A2, …, An là nhóm các biến cố đầy đủ và có cùng khả năng xảy ra. Khi đó xác suất để xảy ra biến cố Ai là: P(Ai) = 1/n
• Nếu biến cố A nào đó là tổng của m biến cố thuộc nhóm các biến cố đầy đủ trên thì xác suất của biến cố A là: P(A) = m/n
• Xác suất xuất hiện biến cố A là tỷ số giữa số các trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra và số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Nếu ký hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, m là số trường hợp thuận lợi cho biến cố A, n là số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra thì ta có công thức: P(A) = m/n = số trường hợp thuận lợi để A xảy ra / Số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra.

Thí dụ về xác suất cổ điển

Để hiểu rõ về các định nghĩa của xác suất nói chung cũng như xác suất cổ điển nói riêng, chúng ta sẽ nghiên cứu ví dụ cụ thể dưới đây:

Từ 1 hộp có 13 bi đỏ và 7 bi trắng có kích thước như nhau, rút ngẫu nhiên 1 bi. Khi đó:

• Xác suất để rút được bi đỏ là: P(D) = 13/12 = 0.65
• Xác suất để rút được bi trắng là: P(T) = 7/20 = 0.35

Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa tần suất

Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện. Nêu ký hiệu phép thử là n, số lần xuất hiện biến cố A là k, tần suất xuất hiện biến cố A là: f(A) = k/n

Cùng với khái niệm xác suất, khái niệm tần suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.

• Thí dụ 1: Khi khảo sát ngẫu nhiên 40 sinh viên người ta phát hiện ra 5 sinh viên giỏi. Nếu gọi A là biến cố “xuất hiện sinh viên giỏi” thì tần suất xuất hiện sinh viên giỏi trong số 40 SV được khảo sát là: f(A) = 5/40 = 1/8
• Thí dụ 2: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần và thu được kết quả cho ở bảng dưới đây:

Người tiến hành thử	Số lần tung (n)	Số lần được mặt sấp (k)	Tần suất f(A)
Thùy Nhiên Nhất Tâm Thiên Hương	5268 14400 20045	2671 7021 10033	0,50702 0,50146 0,50052

Từ kết quả các lần thử trên ta thấy khi số phép thử tăng lên, tần suất xuất hiện mặt sấp tiến dần đến 0,5 là xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu. Vậy tần suất tiến dần đến xác suất khi số phép thử tăng dần đến vô hạn.(Vấn đề này sẽ được tìm hiểu kỹ hơn khi học về luật số lớn). Từ đó ta có định nghĩa thống kê về xác suất.

Định nghĩa xác suất

• Khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất hiện biến cố tiến dần đến một số xác định được gọi là xác suất của biến cố đó. Hay nói cách khác, xác suất là giới hạn của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn.
• Định nghĩa thống kê về xác suất có ưu điểm lớn là nó không đòi hỏi những điều kiện áp dụng như đối với những định nghĩa cổ điển. Nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến cố.

Tuy nhiên trong thực tế không thể tiến hành vô hạn phép thử, nhưng đối với số phép thử đủ lớn ta có thể xem xác suất xấp xỉ bằng tần suất. Các định nghĩa của xác suất trên đây đã được minh họa chi tiết hi vọng bạn đã nắm được khái niệm cơ bản này.

Định nghĩa xác suất theo hình học

Khi số phép thử n(Ω) là vô hạn, ta không thể áp dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất. Trong nhiều trường hợp, ta có thể sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học như sau:

Định nghĩa xác suất theo hình học

Giả sử một điểm được rơi ngẫu nhiên vào một miền D, A là một mền con của D. Khi đó xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A được xác định bởi công thức: P(A) = sd(A)/sd(D)

Trong đó sd(A), sd(D) là số đo của miền A, D (có thể là độ dài, diện tích hay thể tích tùy thuộc vào miền xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều theo từng bài toán cụ thể).

Ta xem xét định nghĩa thông qua một ví dụ điển hình – “Bài toán gặp gỡ”

Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm đã định trước trong khoảng thời gian từ 19 đến 20 giờ. Hai người đến chổ hẹn độc lập với nhau và qui ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi người đến sau 10 phút,  nếu không gặp thì sẽ đi. Tính xác suất để hai người có thể gặp nhau?

Giải:

Gọi A là biến cố hai người gặp nhau.

Gọi x là số phút tại thời điểm người thứ nhất đến điểm hẹn: 0 ≤ x ≤ 60.

Gọi y là số phút lúc người thứ hai đến điểm hẹn: 0 ≤ y ≤ 60.

Nếu ta biểu diễn số phút x theo trục hoành và số phút y theo trục tung.

Như vậy số phút lúc đến của cả hai người được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (x, y) nằm trong hình vuông có cạnh là 60 (ta lấy phút làmđơn vị). Đó chính là miền D.

D = {(x,y): 0 ≤x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60}

Để hai người gặp nhau thì số phút lúc đến x, y của mỗi người phải thỏa mãn điều kiện: Ix-yI < hoặc bằng 10

Như vậy các điểm (x, y) thích hợp cho việc gặp nhau là các điểm nằm trong phần A có gạch chéo nằm giữa hai đường thẳng y = x – 10 và y = x + 10

Từ định nghĩa xác suất hình học, ta thấy rằng một biến cố có xác suất bằng 0 vẫn có thể xảy ra. Chẳng hạn, xác suất để một viên đạn rơi trúng một điểm M trên một miền D bằng không (vì diện tích  S(A) bằng diện tích điểm M, bằng 0), nhưng biến cố đó vẫn có thể xảy ra.

Các tính chất của xác suất

Từ các định nghĩa của xác suất đã nêu trên ta có thể suy ra các tình chất của xác suất:

1. Nếu A thuộc A thì P(A) <= P(B), P( B A) = P(B)-P(A)
2. Nếu A là biến cố bất kỳ thì: 0 ≤ P(A) ≤ 1
3. Xác suất của biến cố chắc chắn bằng một: P(U) = 1
4. Xác suất của biến cố không thể có bằng không: P(V) = 0
5. Nếu Aclà phần bù của biến cố A thì: P(Ac) = 1 – P(A)
6. Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P(A U B) = P(A) + P(B)
7. Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thỉ: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Tổng quát, nếu A, B, C là 3 biến cố bất kỳ thì:

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)

Các ví dụ giải sẵn

Ví dụ 1: Một nhóm sinh viên gồm 15 người, trong đó có 6 sinh viên cùng quê ở Đà Nẵng, 4 sinh viên cùng quê Tiền Giang và 5 bạn còn lại ở TP.HCM. Cả 15 bạn đứng sau 15 cánh cửa giống nhau được đánh số từ 1 đến 15. Bạn hãy chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cửa.  Tìm xác suất để:

1. Cả 3 sinh viên đứng sau cánh cửa đó đều cùng quê (A).
2. Có đúng 2 sinh viên cùng quê (B).
3. Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê (C).
4. Không có sinh viên nào là đồng hương.

Lời giải:

a/ Ký hiệu Ad : ” Ba sinh viên được chọn cùng ở Đà Nẵng”.

At : ” Ba sinh viên được chọn cùng ở Tiền Giang”:.

Ah : “Ba sinh viên được chọn cùng ở Tp.HCM”.

Khi đó, Ad, At, Ah đôi một xung khắc nhau và do chỉ chọn ngẫu nhiên 1 lần 3 cửa nên A = Ad + At + Ah . Nên theo tính chất của xác suất, chúng ta có:  P(A) = P(Ad) + P(At) + P(Ah)

b/ Tương tự với ký hiệu:

Bd : “Trong 3 sinh viên có 2 SV cùng quê Đà Nẵng”.

Bt : “Trong 3 SV có 2 SV cùng quê Tiền Giang”.

Bh :”Trong 3 SV có 2 SV cùng quê TpHCM”.

Khi đó: P(B) = P(Bd) + P(Bt) + P(Bh)

c/ P(C) = P(A) + P(B) = 34/455 + 301/455 + 335/455 = 0.7363

d/ D = C nên P(D) =  1 – P(C) = 1- 335/455 = 0.2637

Trên đây là những kiến thức hữu ích cũng như một số ví dụ về các định nghĩa của xác suất, hi vọng đã cung cấp cho bạn các thông tin phục vụ cho quá trình nghiên cứu và học tập của bản thân. Nếu có bất cứ thắc mắc liên quan đến nội dung bài viết các định nghĩa của xác suất, mời bạn để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!

Rate this post Please follow and like us: