Khái Niệm Về ánh Xạ Tuyến Tính | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

Maths 4 Physics & more…

Blog Toán Cao Cấp (M4Ps)

Tìm

Search for: Đi

Author
Bài viết
Bài giảng
- Giải tích 1
  - Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol
  - Chia một đa thức cho tam thức bậc 2
  - Giới hạn của hàm số (Limit of a function)
  - Vô cùng bé (infinitesimal)
  - Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)
  - Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)
  - Khảo sát đường cong tham số
  - Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)
  - Tích phân hàm vô tỉ (Integrals involving roots)
  - Tích phân suy rộng (Improper Integrals)
  - Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)
  - Chuỗi số dương (Infinitive Series)
  - Chuỗi Fourier
  - Chuỗi Fourier Sine và Cosine
- Giải tích 2
  - Khái niệm mở đầu về hàm nhiều biến
  - Giới hạn của hàm hai biến số
  - Đạo hàm riêng
  - Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
  - Đạo hàm của hàm hợp
  - Đạo hàm hàm số ẩn
  - Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến
  - Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)
  - Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân
  - Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1
  - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second-order ordinary differential equation)
  - Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân
  - Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
  - Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến
  - Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)
  - Số phức (Complex Number)
- Đại số tuyến tính (Linear Algebra)
  - Tập hợp
  - Khái niệm về ma trận
  - Ma trận bậc thang (Echelon matrix)
  - Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
  - Thuật toán tìm ma trận bậc thang
  - Định thức (Determinants)
  - Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)
  - Khái niệm về ánh xạ tuyến tính
  - Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)
  - Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)
  - Dạng toàn phương
- Xác suất thống kê
  - Bổ túc về Giải tích Tổ hợp
  - Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
  - Các định nghĩa của xác suất
  - Xác suất có điều kiện
  - Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều
  - Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc
  - Ước lượng tham số của tổng thể
  - Kiểm định giả thiết
- Phương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐ Laplace)
  - Phép biến đổi Laplace – Các khái niệm mở đầu
Bài tập
Trắc nghiệm
Thảo luận
- Thảo luận (tiếp theo)
- Thảo luận chung (tt)
- Thảo luận về giải tích
  - Thảo luận Giải tích – Trang 2
- Thảo luận ĐSTT
  - Trang 2
  - Trang 3
- Thảo luận XSTK
  - Trang 2
- Thảo luận về tích phân bội
Đề thi
Ebooks
- Maths Ebooks
  - Giải tích – Đại số
  - XSTK – Phương pháp tính
  - Hàm phức – PDEs
  - Tài liệu khác
- Giáo dục – Khoa học
- Thư giãn
Một thời để nhớ
Softwares
Links
Sitemap

Khái niệm về ánh xạ tuyến tính

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-13S

1. Định nghĩa:

Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ $f: V \to W$ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây:

(L1): $f(x+y) = f(x) + f(y), \forall x,y \in V$ (tính bảo toàn phép cộng)

(L2) $f({\lambda}x = {\lambda}f(x) , \forall x \in V, \forall {\lambda} \in K$ (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)

Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V.

– Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:

$f: V \to W$ là ánh xạ tuyến tính $\Leftrightarrow f({\alpha}x+{\beta}y)={\alpha}f(x)+{\beta}f(y) , \forall x,y \in V , \forall \alpha , \beta \in K$

2. Tính chất:

Cho $f: V \to W$ là ánh xạ tuyến tính, V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó:

1. $f(0_V) = 0_W$

2. $\forall x \in V, f(-x) =-f(x)$

Chứng minh:

1. Ta có: $0_V = 0_V + 0_V \Rightarrow f(0_V) =f(0_V+0_V) = f(0_V) +f(0_V)$

Suy ra: $f(0_V) -f(0_V) = f(0_V)$ (*)

Mặt khác: $f(0_V) - f(0_V) = 0_W$ (**)

Do đó, từ (*), (**) ta có: $f(0_V) = 0_W$

2. Ta có: $0_W = f(0_V) = f(x +(-x)) = f(x) + f(-x)$

3. Các ví dụ:

3.1: Ánh xạ hằng giá trị không: $O: V \to W , x \mapsto O(x) = 0_W$ là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không.

3.2: Ánh xạ đồng nhất $id_V: V \to V , x \mapsto id_V(x) = x$ , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.

3.3 Phép lấy đạo hàm $R[x] \to R[x], p(x) \mapsto p'(x)$ là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x.

3.4 Phép lấy tích phân xác định:

$\begin{array}{ccc} C[a,b] & \longrightarrow & R \\ f(x) & \mapsto & \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx \\ \end{array}$

là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R.

3.5: Cho điểm $(x,y) \in R^2$ . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: $R: R^2 \to R^2 , (x,y) \mapsto (-x,y)$ là một phép biến đổi tuyến tính.

4. Tính chất:

4.1 Ánh xạ tích $gf: V \to V''$ của 2 ánh xạ tuyến tính $f: V \to V'$ và $g: V' \to V''$ lại là 1 ánh xạ tuyến tính.

4.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.

Nghĩa là: $f: V \to W$ là 1 ánh xạ tuyến tính và $\{x_1,x_2, ... , x_n \}$ là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ $\{f(x_1),f(x_2), ... , f(x_n) \}$ cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W.

Ngược lại, nếu hệ $\{f(x_1),f(x_2), ... ,f(x_n) \}$ là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ $\{x_1,x_2, ... , x_n \}$ độc lập tuyến tính trong V.

Chứng minh: Do $x_1, x_2, ... , x_n$ phụ thuộc tuyến tính nên: tồn tại ít nhất một ${\lambda}_i \ne 0$ sao cho:

${\lambda}_1x_1 + {\lambda}_2x_2 + ... + {\lambda}_nx_n = 0_V$

Suy ra: $f({\lambda}_1x_1+{\lambda}_2x_2+ ... +{\lambda}_nx_n = f(0_V) = 0_W$

Hay: ${\lambda}_1f(x_1)+{\lambda}_2f(x_2)+ ... +{\lambda}_nf(x_n) = 0_W$ (*)

Vậy tồn tại ít nhất một ${\lambda}_i \ne 0$ sao cho (*) xảy ra nên hệ $\{f(x_1),f(x_2),...,f(x_n) \}$ phụ thuộc tuyến tính.

Chú ý: Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.

5.Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:

5.1 Ví dụ mở đầu:

Cho $L: R^2 \to R^4$ là một ánh xạ tuyến tính với:

L(1,1) = (-1,1,2,3)

L(-1,1)=(2,0,2,3)

Tìm f(5,3)? Tổng quát, hãy xác định công thức f(x,y)?

Giải: Ta biểu thị tuyến tính vec-tơ (5,3) theo hai vec-tơ (1,1) và (-1,1).

Ta có: (5, 3) = 4(1, 1) – 1.(-1, 1)

Khi đó, do L là ánh xạ tuyến tính nên: L(5, 3) = L(4.(1, 1) – 1.(-1, 1)) = 4L(1, 1) – L(-1,1)

Vậy: L(5, 3) = 4.(-1, 1, 2, 3) – (2, 0, 2, 3) = (-6, 4, 6, 9)

Tương tự: $(x,y) = \dfrac{x+y}{2} (1, 1) + \dfrac{-x+y}{2}(-1,1)$

Từ đó, dễ dàng tìm được công thức của L(x,y).

Nhận xét: ta chỉ có thể biểu thị tuyến tính mọi vec-tơ (x,y) theo 2 vec-tơ (1, 1) và (-1, 1) nếu hệ {(1, 1) , (-1, 1)} là cơ sở của $R^2$

5.2 Định lý:

Cho một cơ sở $B =(e_1, e_2, ... , e_n) (n \ge 1)$ của không gian vec-tơ n chiều V và $w_1, w_2, ... , w_n$ là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính $f: V \to W$ sao cho $f(e_i) = w_i ; i = \overline{1;n}$

Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.

Chứng minh:

– Sự tồn tại: Giả sử x là 1 vec-tơ bất kỳ của V. Khi đó:

$x = x_1e_1 + x_2e_2 + x_ne_n$

Ta đặt: $f(x) = x_1w_1+x_2w_2 + ... + x_n w_n$

Vậy: f là 1 ánh xạ đi từ V vào W và hiển nhiên $f(e_i) = w_i$

Ta cần chứng minh: f là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy vơi mọi vec-tơ x, y thuộc V. Ta có: $x = \sum\limits_{i=1}^n x_ie_i ; y = \sum\limits_{i=1}^n y_ie_i$ .

Ta cần chứng minh: $f({\lambda}x +{\mu}y) = {\lambda}f(x)+{\mu}f(y)$

Thật vậy, ta có:

${\lambda}x + {\mu}y = \sum\limits_{i=1}^n ({\lambda}x_i + {\mu}y_i)e_i$

Do đó:

$f({\lambda}x+{\mu}y) = \sum\limits_{i=1}^n ({\lambda}x_i+{\mu}y_i)v_i) = {\lambda} \sum\limits_{i=1}^nx_iv_i + {\mu} \sum\limits_{i=1}^n y_iv_i = {\lambda}f(x) + {\mu}f(y)$

Vậy f là ánh xạ tuyến tinh.

– Sự duy nhất:

Giả sử còn tồn tại ánh xạ tuyến tính $g: V \to W$ mà $g(e_i) = v_i ; i = \overline{1,n}$

Khi đó: với mọi $x = \sum\limits_{i=1}^n x_ie_i \in V$ ta có:

$g(x) = g\left(\sum\limits_{i=1}^n x_ie_i \right) = \sum\limits_{i=1}^n x_ig(e_i) = \sum\limits_{i=1}^n x_iv_i = f(x)$

Vậy f = g, hay f duy nhất.◊

5.3 Các ví dụ:

5.3.1 Trong $R^3$ xét cơ sở chính tắc $C(3) = \{e_1=(1,0,0); e_2=(0,1,0) ; e_3 = (0,0,1)$ và trong $R^2$ cho 3 vec-tơ v1= (1, 1) ; v2 = (2, 3) ; v3 = (4, 5). Hãy xác định ánh xạ tuyến tính $f: R^3 \to R^2$ sao cho: $f(e_i) = v_i ; i = 1, 2, 3$

5.3.2 Trong không gian $R^3$ cho hai hệ vec-tơ:

$u_1 = (1, 2, 3) , u_2 = (2, 3, 1) , u_3 = (3, 1, 2)$

$v_1 = (1, 1, 0) , v_2 = (0, 1, 1) , v_3 = (1, 3, 2)$

Hỏi có tồn tại duy nhất hay không toán tử tuyến tính f (g) trên $R^3$ sao cho $f(u_i) = v_i ; i =1, 2, 3$ ( $g(v_i) = u_i ; i = 1, 2, 3$ ). Nếu có, hãy xác định f (g)?

6. Nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính:

6.1 Định nghĩa:

Cho $f: V \to W$ là ánh xạ tuyến tính.

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

$ker(f) = \{v \in V: f(v) = 0_W \}$

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

$Im(f)= \{w \in W| \exists v \in V: f(v) = w \}$

Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt là rank(f) và def(f). (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) )

6.2 Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính:

$\begin{array}{rcl} R^3 & \longrightarrow & R^3 \\ (x, y, z) & \mapsto & (x-y-z, x+y+z, z) \\ \end{array}$

Xác định kerf và imf?

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

10 bình luận về “Khái niệm về ánh xạ tuyến tính”

Thầy ơi thầy có thể cho em một ví dụ về sử dụng ánh xạ tuyến tính trong 1 bài toán kĩ thuật cụ thể được không ạ?

ThíchThích
Được đăng bởi Nguyễn Thanh Vi | 02/04/2015, 11:32 Reply to this comment
thầy ơi!!! phần nay em cam thấy khó hiêu quá!!!! Thầy co thê cho em ít bài tập co lời giai được không ạ????? Phần nay khó ma thầy em trên trường giảng nhanh quá nên e không theo kịp!!

ThíchThích
Được đăng bởi phạm lê gia sơn | 20/12/2011, 10:36 Reply to this comment
thầy ơi thầy làm giúp em bài này ạ trong R2 cho đường thẳng(d): x-2y =0. Gọi f : R2 ->R2 là phép lấy đối xứng qua (d) a, tim ma trận của f trong cơ sở chính tắc b,tìm một cơ sở của R2 để ma trận f trong cơ sở đó là ma trận chéo, hãy viết ma trận đó

ThíchThích
Được đăng bởi nguyenyen | 17/12/2011, 11:33 Reply to this comment
thay lay giup mot so vi du ve dang da thuc di. e lung tung may cai nay lam

ThíchThích
Được đăng bởi vuong | 07/12/2011, 08:54 Reply to this comment
khó hiểu quá >”<

ThíchThích
Được đăng bởi Pororo | 28/11/2011, 23:56 Reply to this comment
Nói thật thì đọc xong mình vẫn không hiểu gì cả. Nhưng dù sao thì cũng cảm ơn người viết bài nha.

ThíchThích
Được đăng bởi vu hang | 26/10/2011, 08:59 Reply to this comment
thầy có thể cho em một vài bài tập có lời giải của phần nhân ảnh được không tại phần này em đọc mà không hiểu rỏ được.Em cảm ơn thầy nhiều

ThíchThích
Được đăng bởi Võ Xuân Đào | 25/12/2010, 16:16 Reply to this comment
thầy ơi em cảm thấy phần này rất khó hiểu thầy cho em vài lời khuyên được ko ạ

ThíchThích
Được đăng bởi vi chiến thắng | 30/11/2010, 15:08 Reply to this comment
- hjx tớ cũng cảm thấy thế, cô tớ giảng khó hiểu quá
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi lê phi | 11/10/2011, 20:04 Reply to this comment
cần viết trực quan. sát vấn đề, nên nêu nhiều ví dụ theo nhiều hình thức. viết như vậy còn quá sơ sài. cần bổ sung, chỉnh sửa cho phù hợp với chương trình giáo dục hiện tại! nhưng cũng cám ơn bạn vì đã có một bài viết cho toán học việt nam.

ThíchThích
Được đăng bởi VNC_LTV | 08/11/2010, 22:21 Reply to this comment

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Maths 4 Physics (M4Ps)

Đăng ký nhận tin

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Tham gia cùng 2 793 người đăng ký khác

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

	Dương Khánh Uyên trong Trang 2
	Trần Thái An trong Trang 2
	Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
	Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
	Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
	Nhung Duong trong Trang 2
	khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
	Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
	Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
	Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Bài “hot”

Khai triển Taylor - Maclaurin (Taylor expansion)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
Ma trận bậc thang (Echelon matrix)
Vô cùng bé (infinitesimal)
Tích phân suy rộng (Improper Integrals)
Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol
Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
Đạo hàm riêng
Hàm số khả vi và vi phân toàn phần

Bài viết chuyên đề

Bài giảng (20)
- Video bài giảng (4)
Bài viết (192)
- Bài viết về ICT (59)
  - Cảnh báo virus (1)
  - giaovien.net (6)
  - Mẹo Wordpress (13)
  - Thủ thuật Gmail (7)
- Giáo dục (29)
- Khoa học (51)
- Thư giãn (45)
Bí quyết học tập (20)
Cuộc sống sinh viên (26)
Hình ảnh và Tin tức (32)
Làm theo lời Bác (9)
Life's Art (61)
nguyên tắc sáng tạo (27)
Toán học (104)
- Lịch sử Toán học (13)
- Liên kết Toán học (6)
- Luyện thi Đại học (7)
  - Đề thi thử (4)
- Vẻ đẹp Toán học (8)
- Đố vui (36)

Maths 4 Physics & more…

Blog tại WordPress.com.

Trang này sử dụng cookie. Tìm hiểu cách kiểm soát ở trong: Chính Sách Cookie

Theo dõi Đã theo dõi
- Maths 4 Physics & more...
- Đã có tài khoản WordPress.com? Đăng nhập.
- Maths 4 Physics & more...
- Theo dõi Đã theo dõi
- Đăng ký
- Đăng nhập
- URL rút gọn
- Báo cáo nội dung
- Xem toàn bộ bài viết
- Quản lý theo dõi
- Ẩn menu

%d Tạo trang giống vầy với WordPress.comHãy bắt đầu

Từ khóa » Toán Tử Tuyến Tính Tiếng Anh

Khái Niệm Về ánh Xạ Tuyến Tính | Maths 4 Physics & More...

Maths 4 Physics & more…

Tìm

Đánh giá:

Chia sẻ:

Thảo luận

10 bình luận về “Khái niệm về ánh xạ tuyến tính”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Đăng ký nhận tin

Đôi lời

Lời nhắn mới nhất

Bài “hot”

Bài viết chuyên đề

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Tiếng Anh Là Gì - Trong Tiếng Anh Dịch

"toán Tử Tuyến Tính" Tiếng Anh Là Gì? - EnglishTestStore

"phổ Của Toán Tử Tuyến Tính" Tiếng Anh Là Gì? - EnglishTestStore

Biến đổi Tuyến Tính – Wikipedia Tiếng Việt

Toán Tử – Wikipedia Tiếng Việt

Toán Tử Tuyến Tính Là Gì

Hàm Tuyến Tính Bằng Tiếng Anh - Linear Function - Glosbe

Phép Tịnh Tiến Độc Lập Tuyến Tính Thành Tiếng Anh | Glosbe

Nghĩa Của Từ Tuyến Tính Bằng Tiếng Anh

Toán Tử Tuyến Tính Trong Không Gian Hilbert - 123doc

Từ điển Tiếng Việt "toán Tử Tuyến Tính" - Là Gì?

Biến đổi Tuyến Tính – Du Học Trung Quốc 2022 - Wiki Tiếng Việt

TUYẾN TÍNH - Nghĩa Trong Tiếng Tiếng Anh - Từ điển

Về Phổ Của Toán Tử Tuyến Tính - Tài Liệu Text - 123doc

Tuyến Tính – Wikipedia Tiếng Việt - Hệ Liên Thông

Toán Tử Tuyến Tính Trong Không Gian Hilbert | Xemtailieu

Tài Liệu Đại Số Tuyến Tính

Tuyến Tính Là Gì? Những ý Nghĩa Của Tuyến Tính

Liên Hệ