Khái Niệm Về Lược đồ Bernoulli. Các Bài Kiểm Tra độc Lập Lặp đi Lặp Lại

Lặp đi lặp lại kiểm tra độc lậpđược gọi là thử nghiệm Bernoulli nếu mỗi thử nghiệm chỉ có hai kết quả có thể xảy ra và xác suất của các kết quả không đổi cho tất cả các thử nghiệm.

Chúng tôi biểu thị những xác suất này là P và q. Kết quả với xác suất P sẽ được gọi là "thành công" và kết quả có xác suất q- "sự thất bại".

Hiển nhiên là

Không gian của các sự kiện cơ bản cho mỗi thử nghiệm bao gồm hai điểm. Không gian của các sự kiện cơ bản cho N Thử nghiệm Bernoulli bao gồm các điểm, mỗi điểm đại diện cho một kết quả có thể có của trải nghiệm tổng hợp. Vì các thử nghiệm là độc lập nên xác suất của một chuỗi các sự kiện bằng tích các xác suất của các kết quả tương ứng. Ví dụ, xác suất của một chuỗi các sự kiện

(Ư, Ư, N, Ư, N, N, N)

bằng với sản phẩm

Ví dụ về các thử nghiệm Bernoulli.

1. Lần tung đồng xu “đúng” liên tiếp. Trong trường hợp này P = q = 1/2 .

Khi tung đồng xu thiên vị, các xác suất tương ứng sẽ thay đổi giá trị của chúng.

2. Mỗi kết quả của thí nghiệm có thể được coi là Một hoặc .

3. Nếu có một số kết quả có thể xảy ra, thì một nhóm kết quả có thể được phân biệt với chúng, được coi là “thành công”, gọi tất cả các kết quả khác là “thất bại”.

Ví dụ, trong những lần ném xúc xắc liên tiếp, "thành công" có thể được hiểu là một lần tung 5 và "thất bại" có thể được hiểu là một lần tung bất kỳ số điểm nào khác. Trong trường hợp này P= 1/6, q = 5/6.

Nếu "thành công", chúng ta có nghĩa là một số điểm chẵn và "thất bại" là một số điểm lẻ, thì P = q = 1/2 .

4. Lấy ngẫu nhiên lặp lại quả cầu từ bình đựng trong mỗi lần thử nghiệm một cát trắng b bóng đen. Nếu thành công, chúng tôi có nghĩa là trích xuất Quả bóng trắng, sau đó , .

Feller đưa ra ví dụ sau ứng dụng thực tếĐề án thử nghiệm Bernoulli. Vòng đệm được sản xuất với sản xuất hàng loạt, có thể khác nhau về độ dày, nhưng khi kiểm tra, chúng được phân loại thành loại tốt và loại bị lỗi - tùy thuộc vào độ dày có nằm trong giới hạn quy định hay không. Và mặc dù các sản phẩm có thể không hoàn toàn phù hợp với sơ đồ Bernoulli vì nhiều lý do, nhưng sơ đồ này đặt ra tiêu chuẩn lý tưởng để kiểm soát chất lượng sản phẩm công nghiệp, mặc dù tiêu chuẩn này không bao giờ đạt được một cách chính xác. Máy móc có thể thay đổi, và do đó xác suất không giữ nguyên; có một sự ổn định nhất định trong phương thức hoạt động của máy móc, do đó một loạt dài các sai lệch giống hệt nhau có nhiều khả năng xảy ra hơn so với trường hợp độc lập thực tế của các thử nghiệm. Tuy nhiên, từ quan điểm kiểm soát chất lượng sản phẩm, điều mong muốn là quy trình phải tuân theo sơ đồ Bernoulli và điều quan trọng là, trong những giới hạn nhất định, điều này có thể đạt được. Mục đích của việc giám sát là để phát hiện giai đoạn đầu sai lệch đáng kể so với sơ đồ lý tưởng và sử dụng chúng như là dấu hiệu của sự vi phạm đe dọa đến hoạt động chính xác của máy.

CƠ QUAN LIÊN BANG VỀ GIÁO DỤC

Cơ sở giáo dục nhà nước

giáo dục chuyên nghiệp cao hơn

"MATI" - TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ NHÀ NƯỚC NGA IM. K.E. TSIOLKOVSKY

Khoa Mô hình Hệ thống và Công nghệ Thông tin

Sự lặp lại của các bài kiểm tra. Đề án Bernoulli

Hướng dẫn phương pháp làm bài tập thực hành

trong lĩnh vực "Toán học cao cấp"

Tổng hợp bởi: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Matxcova 2006 giới thiệu

Các hướng dẫn có phương pháp được dành cho ngày và bộ phận buổi tối khoa số 14 chuyên 150601, 160301, 230102. Hướng dẫn nêu các khái niệm cơ bản của chủ đề, xác định trình tự nghiên cứu tài liệu. Một số lượng lớn các ví dụ được xem xét giúp ích cho sự phát triển thực tế của chủ đề. Hướng dẫn đóng vai trò là cơ sở phương pháp luận cho bài tập thực hành và thực hiện các nhiệm vụ cá nhân.

BERNULLI SCHEME. CÔNG THỨC BERNULLI

Đề án Bernoulli- một sơ đồ các thử nghiệm độc lập lặp đi lặp lại, trong đó một số sự kiện NHƯNG có thể lặp lại nhiều lần với xác suất không đổi R (NHƯNG)= R .

Ví dụ về các thử nghiệm được thực hiện theo sơ đồ Bernoulli: tung nhiều đồng xu hoặc xúc xắc, tạo một loạt các bộ phận, bắn vào mục tiêu, v.v.

Định lý. Nếu xác suất của một sự kiện xảy ra NHƯNG trong mỗi bài kiểm tra là không đổi và bằng nhau R, thì xác suất mà sự kiện NHƯNG sẽ đến m một lần N kiểm tra (bất kể theo trình tự nào), có thể được xác định bằng công thức Bernoulli:

ở đâu q = 1 – P.

VÍ DỤ 1. Xác suất để lượng điện tiêu thụ trong một ngày không vượt quá định mức đã thiết lập bằng p = 0,75. Tìm xác suất để trong 6 ngày tới lượng điện tiêu thụ trong 4 ngày không vượt quá định mức.

QUYẾT ĐỊNH. Xác suất để điện năng tiêu thụ bình thường trong mỗi 6 ngày là không đổi và bằng R= 0,75. Do đó, xác suất chi tiêu quá mức điện mỗi ngày cũng không đổi và bằng q = 1R = 1  0,75 = 0,25.

Xác suất mong muốn theo công thức Bernoulli bằng:

VÍ DỤ 2. Người bắn súng bắn ba phát vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là p = 0,3. Tìm xác suất để: a) bắn trúng một mục tiêu; b) cả ba mục tiêu; c) không có mục tiêu; d) ít nhất một mục tiêu; e) ít hơn hai mục tiêu.

QUYẾT ĐỊNH. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là không đổi và bằng R= 0,75. Do đó, xác suất trượt là q = 1 R = 1  0,3= 0,7. Tổng số tiến hành thí nghiệm N=3.

a) Xác suất bắn trúng mục tiêu ba lần bằng:

b) Xác suất bắn trúng cả ba mục tiêu bằng ba lần bắn là:

c) Xác suất để ba lần bắn trượt trong ba lần bắn trúng đích bằng:

d) Xác suất để bắn trúng ít nhất một mục tiêu bằng ba lần bắn bằng:

e) Xác suất bắn trúng ít hơn hai mục tiêu, tức là một mục tiêu hoặc không có mục tiêu nào:

1. Định lý tích phân và cục bộ Moivre-Laplace

Nếu một số lượng lớn các thử nghiệm được thực hiện, thì việc tính toán xác suất bằng công thức Bernoulli trở nên khó khăn về mặt kỹ thuật, vì công thức này yêu cầu các phép toán trên các số rất lớn. Do đó, có những công thức gần đúng đơn giản hơn để tính toán xác suất cho lớn N. Các công thức này được gọi là tiệm cận và được định nghĩa bởi định lý Poisson, định lý tích phân và cục bộ Laplace.

Định lý Local de Moivre-Laplace. NHƯNG NHƯNG xảy ra m một lần N N (N →∞ ), xấp xỉ bằng:

chức năng ở đâu và đối số

Nhiều hơn N, chủ đề tính toán chính xác hơn xác suất. Do đó, nên áp dụng định lý Moivre-Laplace khi npq  20.

f ( x ) các bảng đặc biệt đã được biên soạn (xem Phụ lục 1). Khi sử dụng bảng, hãy lưu ý thuộc tính chức năng f (x) :

Hàm số f (x) là thậm chí f (  x) = f (x) .

Tại X Chức năng  ∞ f (x) 0. Trong thực tế, chúng ta có thể giả định rằng đã ở X> 4 chức năng f (x) ≈0.

VÍ DỤ 3. Tìm xác suất để sự kiện NHƯNG xảy ra 80 lần trong 400 lần thử nghiệm nếu xác suất xảy ra sự kiện là NHƯNG trong mỗi bài kiểm tra là p = 0,2.

QUYẾT ĐỊNH. Theo điều kiện N=400, m=80, P=0,2, q= 0,8. Vì thế:

Theo bảng, chúng tôi xác định giá trị của hàm f (0)=0,3989.

Định lý tích phân Moivre-Laplace. Nếu xác suất của một sự kiện xảy ra NHƯNG trong mỗi thử nghiệm là không đổi và khác 0 và 1, thì xác suất để sự kiện NHƯNGđến từ m 1 trước m 2 một lần N kiểm tra với đủ số lượng lớn N (N →∞ ), xấp xỉ bằng:

ở đâu - tích phân hoặc hàm Laplace,

Để tìm các giá trị hàm F ( x ) các bảng đặc biệt đã được lập (ví dụ, xem Phụ lục 2). Khi sử dụng bảng, hãy lưu ý thuộc tính của hàm Laplace Ф (x) :

Hàm số Ф (x) là số lẻ F (  x) =  Ф (x) .

Tại X Chức năng  ∞ Ф (x) 0,5. Trong thực tế, có thể coi X> 5 chức năng Ф (x) ≈0,5.

F (0)=0.

VÍ DỤ 4. Xác suất bộ phận đó chưa qua kiểm tra của Cục Quản lý Chất lượng là 0,2. Tìm xác suất để có 70 đến 100 mục được bỏ chọn trong số 400 mục.

QUYẾT ĐỊNH. Theo điều kiện N=400, m 1 =70,m 2 =100, P=0,2, q= 0,8. Vì thế:

Theo bảng trong đó các giá trị của hàm Laplace được đưa ra, chúng tôi xác định:

Ф (x 1 ) = F (  1,25 )=  F ( 1,25 )=  0,3944; Ф (x 2 ) = F ( 2,5 )= 0,4938.

Trước đó trong Phần 1.4, các khái niệm về phụ thuộc và không phụ thuộc sự kiện phụ thuộc. Với một khái niệm sự kiện độc lậpđược kết nối và sử dụng rộng rãi là khái niệm về các thí nghiệm hoặc thử nghiệm độc lập.

Thử nghiệm α 1 , α 2 , … , α N được gọi là độc lập nếu bất kỳ sự kết hợp nào của các kết quả của chúng là một tập hợp các sự kiện độc lập. Mặt khác, nếu một số thử nghiệm lặp đi lặp lại được thực hiện trong sự cố α 1 , α 2 , …, α n trong một tập hợp các điều kiện không đổi và trong mỗi thử nghiệm, một số sự kiện NHƯNG có thể xảy ra với một số xác suất P = P(NHƯNG) độc lập với các thử nghiệm khác và không xảy ra với một xác suất P(Ā ), thì các bài kiểm tra này được gọi là độc lập. Chương trình thử nghiệm độc lập này được gọi là chương trình Bernoulli.

Đề án này được đặt theo tên của Jacob Bernoulli, tổ tiên của một gia đình các nhà khoa học nổi tiếng người Thụy Sĩ. (Jacob B., Johann B., Nikolai B., Daniel B. và những người khác). Jacob Bernoulli đã chứng minh cái gọi là định lý Bernoulli - một điều quan trọng trương hợp đặc biệt pháp luật những con số lớn(xem đoạn 3.11). Định lý này đề cập đến chuỗi các thử nghiệm độc lập được xem xét ở đây.

Ví dụ về các bài kiểm tra độc lập là: a) nhiều ( N lần) tung đồng xu; b) chiết xuất ( N lần) giống với các quả bóng cảm ứng từ bình với lần quay trở lại sau đó của chúng; c) bất kỳ tập hợp các thử nghiệm độc lập (thử nghiệm) nào, trong đó xác suất của các kết quả thành công là như nhau, ví dụ, một loạt các lần bắn vào một mục tiêu, sự lựa chọn N chi tiết từ tổng thể của họ, nghiên cứu N phân tích đá một tài sản nhất định, v.v.

Trong lược đồ Bernoulli, sự xuất hiện của một sự kiện NHƯNG với xác suất P = P(NHƯNG) được gọi là thành công có điều kiện và không xảy ra ( sự kiện ngược lại Ā ) là một thất bại. Xác suất thất bại trong mỗi thử nghiệm thuộc loại này là q = 1 – P.

Trong thực tế, các vấn đề thường nảy sinh với các sự kiện phức tạp, trong đó N các thí nghiệm tạo nên lược đồ Bernoulli, trong m thí nghiệm ( m < N) Sự kiện NHƯNGđến (tức là kết thúc bằng thành công), và trong ( N – m) thí nghiệm, sự kiện này không xảy ra (không thành công). Để cho được P N ( k) - biểu thị xác suất trong quá trình sản xuất N kinh nghiệm thành công đến k thử nghiệm (thành công được hiện thực hóa k Một lần). Nhiệm vụ sau được thiết lập: cho vàoNcác thử nghiệm tương ứng với sơ đồ Bernoulli,kcác thử nghiệm đã thành công. Chúng ta cần tìm xác suấtP n(k)(đọc: "PtừNbài kiểm trakthành công"). Xác suất này được tính bằng công thức Bernoulli, tương ứng với định lý cùng tên.

Định lý Bernoulli. Nếu xác suất P Sự kiện NHƯNG trong mỗi trình tự N bài kiểm tra α 1 , α 2 , … , α N không đổi, sau đó xác suất mà sự kiện NHƯNG sẽ đến k một lần và sẽ không đến N – k lần, được tính bằng công thức Bernoulli:

P N ( k) = VớiNk p k qn-k , (2.1)

ở đâu q = 1- P.

Bằng chứng. Thật vậy, hãy để các sự kiện Một tôi và Ā į - lần lượt xuất hiện và không xuất hiện của sự kiện NHƯNG trong į bài kiểm tra thứ α tôi ( tôi = 1, 2, … , N). Hãy cũng TẠI k biểu thị một sự kiện bao gồm thực tế là trong N sự kiện thử nghiệm độc lập NHƯNGđã xuất hiện k Một lần. Tại N= 3 và k= 2 sự kiện TẠI 2 được thể hiện qua sự kiện sơ cấp NHƯNG į ( į = 1, 2, 3) theo công thức:

TẠI 2 = NHƯNG 1 NHƯNG 2 Ā 3 + NHƯNG 1 Ā 2 NHƯNG 3 + Ā 1 NHƯNG 2 NHƯNG 3 .

TẠI nhìn chung công thức cuối cùng sẽ như thế này

tức là, mỗi số hạng của tổng (2.2) tương ứng với sự xuất hiện của một sự kiện NHƯNG k lần và ( N – k) số lần không xuất hiện. Số lượng tất cả các kết hợp (số hạng) trong (2.2) bằng số cách chọn từ N bài kiểm tra k thử nghiệm trong đó sự kiện NHƯNGđã xảy ra, tức là số lượng kết hợp C n k. Xác suất của mỗi sự kết hợp như vậy, theo định lý nhân xác suất của các sự kiện độc lập, bằng p k × q n – k, như P(NHƯNG į) = P, P(Ā į) = q, tôi= 1,2,…,N. Nhưng sự kết hợp trong (2.2) là các sự kiện không tương thích. Do đó, theo định lý cộng xác suất, chúng ta nhận được

Do đó, công thức Bernoulli giữ

P n (k) = C n k p k q n-k.

Q.E.D.

Nhận xét 1.Định lý được xây dựng ở trên đề cập đến trường hợp khi trong mỗi lần thử xác suất xảy ra một sự kiện NHƯNG liên tục. Sau đó để tính xác suất P N ( k) công thức Bernoulli (2.1) là hợp lệ. Nếu xác suất của một sự kiện xảy ra NHƯNG trong thử nghiệm α 1 , α 2 , … , α N khác nhau, tức là xác suất tạo nên các giá trị P 1 , P 2 , … , P n, sau đó thay vì (2.1) công thức hợp lệ:

Nhận xét 6. Xác suất mà trong N các thí nghiệm được thực hiện theo sơ đồ Bernoulli, thành công sẽ đến từ k 1 đến k 2 lần , được tính bằng công thức P n ( k)) cho các giá trị cụ thể N và P. Kể từ khi tranh luận k chỉ nhận các giá trị nguyên, đồ thị được biểu diễn dưới dạng các điểm trên mặt phẳng ( k, P N ( k)). Để rõ ràng, các điểm được nối với nhau bằng một đường đứt đoạn và biểu đồ như vậy được gọi là đa giác phân phối(hình.2.1). Tại P = 0,5, N= 6, như hình 2.1, đa giác đối xứng qua đường x = np(nếu P gần bằng 0,5 thì đa giác gần đối xứng). Nhỏ Pđa giác không đối xứng đáng kể, và khả năng xảy ra cao nhất là tần số gần bằng không. Hình 2.2 cho thấy đa giác phân phối cho P= 0,2 với số lần thử n = 6. Đối với lớn P gần 1 là khả năng cao nhất giá trị tối đa. Trên hình. 2.3 cho thấy khu vực phân phối, cho P= 0,8 và N= 6.

Cơm. 2.3.

Do đó, thú tiêu khiển gần kề của bạn sẽ vô cùng hữu ích. Ngoài ra, tôi sẽ cho bạn biết những gì là sai đại đa số người tham gia xổ số và đánh bạc. … Không, đức tin hoặc hy vọng mờ nhạt“Trúng số độc đắc” hoàn toàn không liên quan gì đến nó ;-) Thậm chí không cần chớp mắt, chúng tôi đi sâu vào chủ đề:

Gì kiểm tra độc lập ? Hầu hết mọi thứ đều rõ ràng từ chính cái tên. Hãy làm một vài bài kiểm tra. Nếu xác suất xuất hiện của một số sự kiện trong mỗi sự kiện đó không phụ thuộc từ kết quả của các bài kiểm tra còn lại, sau đó ... chúng ta kết thúc cụm từ trong điệp khúc =) Làm tốt lắm. Đồng thời, cụm từ "các bài kiểm tra độc lập" thường có nghĩa là lặp đi lặp lại kiểm tra độc lập - khi chúng được thực hiện lần lượt.

Các ví dụ đơn giản nhất: - một đồng xu được tung 10 lần; - Một con súc sắc được tung 20 lần.

Rõ ràng là xác suất nhận được đầu hoặc đuôi trong bất kỳ thử nghiệm nào không phụ thuộc vào kết quả của các cuộn khác. Tất nhiên, một tuyên bố tương tự cũng đúng với khối lập phương.

Nhưng việc loại bỏ tuần tự các quân bài khỏi bộ bài không phải là một chuỗi các bài kiểm tra độc lập - như bạn nhớ, đây là một chuỗi sự kiện phụ thuộc. Tuy nhiên, nếu thẻ được trả lại mỗi lần, thì tình hình sẽ trở nên “như nó vốn có”.

Tôi vội vàng làm hài lòng - chúng ta có một Kẻ hủy diệt khác đến thăm chúng ta, người hoàn toàn thờ ơ với những thành công / thất bại của mình, và do đó việc bắn súng của anh ta là một ví dụ về sự ổn định =):

Nhiệm vụ 1

Người bắn bắn 4 phát vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng của mỗi lần bắn là không đổi và bằng. Tìm xác suất để:

a) người bắn chỉ bắn trúng một lần; b) người bắn sẽ bắn trúng 2 lần.

Quyết định: công thức điều kiện nói chung và xác suất bắn trúng mục tiêu với mỗi lần bắn được coi là nổi tiếng. Cô ấy bình đẳng (nếu nó thực sự khó, hãy chỉ định một giá trị cụ thể cho tham số, ví dụ:) .

Ngay sau khi chúng ta biết, có thể dễ dàng tìm thấy xác suất trượt trong mỗi lần bắn: , nghĩa là, "ku" cũng là số lượng đã biết.

a) Xem xét một sự kiện "Người bắn chỉ đánh một lần" và biểu thị xác suất của nó bằng (các chỉ số được hiểu là "một trong số bốn"). Sự kiện này bao gồm 4 kết quả không tương thích: người bắn sẽ trúng đầu hoặc trong ngày thứ 2 hoặc trong ngày 3 hoặc vào lần thử thứ 4.

Tìm xác suất để khi tung 10 đồng xu lên đầu thì có 3 đồng xu.

Ở đây, các thử nghiệm không được lặp lại, mà được thực hiện đồng thời, tuy nhiên, cùng một công thức hoạt động:.

Giải pháp sẽ khác nhau về ý nghĩa và một số nhận xét, cụ thể là: cách bạn có thể chọn 3 đồng xu, sẽ rơi đầu. là xác suất nhận được đầu của mỗi đồng xu trong số 10 đồng xu vân vân.

Tuy nhiên, trong thực tế, những vấn đề như vậy không thường xuyên gặp phải, và dường như, vì lý do này, công thức Bernoulli hầu như chỉ liên quan đến kiểm tra lặp lại. Mặc dù, như vừa được trình bày, khả năng lặp lại là không cần thiết.

Nhiệm vụ tiếp theo cho quyết định độc lập:

Nhiệm vụ 3

xúc xắc ném 6 lần. Tìm xác suất để 5 điểm:

a) sẽ không rơi ra ngoài (sẽ giảm 0 lần);b) sẽ rơi ra 2 lần; c) bỏ học 5 lần.

Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.

Giải pháp nhanh chóng và đáp án ở cuối bài.

Rõ ràng, trong các ví dụ đang xem xét, một số sự kiện có nhiều khả năng xảy ra hơn và một số sự kiện ít xảy ra hơn. Vì vậy, ví dụ, với 6 cuộn xúc xắc, ngay cả khi không có bất kỳ phép tính nào, trực quan rõ ràng rằng xác suất của các sự kiện của điểm "a" và "be" lớn hơn nhiều so với xác suất "năm" sẽ rơi ra. 5 lần. Bây giờ chúng ta hãy đặt nhiệm vụ tìm

Số lần xuất hiện sự kiện CAO NHẤT trong các thử nghiệm độc lập

Một lần nữa, ở cấp độ trực giác trong Bài toán số 3, chúng ta có thể kết luận rằng số lần xuất hiện có thể xảy ra nhất của "năm" là bằng một - sau cùng, tổng cộng có sáu mặt và với 6 lần cuộn xúc xắc. , trung bình mỗi người trong số họ sẽ rơi ra một lần. Những người muốn có thể tính toán xác suất và xem liệu nó có lớn hơn các giá trị "cạnh tranh" và.

Hãy để chúng tôi xây dựng một tiêu chí nghiêm ngặt: để tìm số lần xuất hiện có khả năng xảy ra nhất sự kiện ngẫu nhiên trong các thử nghiệm độc lập (với xác suất trong mỗi lần thử nghiệm)được hướng dẫn bởi bất đẳng thức kép sau:

, và:

1) nếu giá trị là phân số, thì có một số có khả năng xảy ra cao nhất; đặc biệt, nếu là số nguyên, thì nó là số có khả năng xảy ra cao nhất :;

2) nếu là một số nguyên, thì tồn tại hai những con số có thể xảy ra nhất: và.

Số lần xuất hiện nhiều nhất của "năm" trong 6 lần lăn xúc xắc thuộc trường hợp đặc biệt của đoạn đầu tiên:

Để củng cố tài liệu, chúng ta sẽ giải quyết một số vấn đề:

Nhiệm vụ 4

Xác suất để một cầu thủ bóng rổ ném trúng rổ khi ném bóng là 0,3. Tìm số lần ném trúng nhiều nhất trong 8 lần ném và xác suất tương ứng.

Và đây, nếu không phải là Kẻ hủy diệt thì ít nhất cũng phải là một vận động viên máu lạnh =)

Quyết định: để ước tính số lần truy cập có khả năng xảy ra nhất, hãy sử dụng bất bình đẳng kép . TẠI trường hợp này:

- tổng số ném; - xác suất ném trúng rổ của mỗi lần ném; là xác suất trượt của mỗi lần ném.

Do đó, số lần truy cập có khả năng xảy ra nhất trong 8 cuộn nằm trong giới hạn sau:

Bởi vì biên giới bên trái là Số phân số (Mục 1), thì có một giá trị duy nhất có thể xảy ra và, hiển nhiên, nó bằng.

Sử dụng công thức Bernoulli , tính xác suất để trong 8 lần ném có đúng 2 quả trúng đích:

Trả lời: - số lần ném trúng nhiều nhất với 8 lần ném, là xác suất tương ứng.

Một nhiệm vụ tương tự cho một giải pháp độc lập:

Nhiệm vụ 5

Đồng xu được tung 9 lần. Tìm xác suất để số lần xuất hiện đại bàng nhiều nhất

Bài giải mẫu và đáp án cuối bài.

Sau một hồi phân tích thú vị, chúng ta hãy xem xét thêm một vài vấn đề, và sau đó tôi sẽ chia sẻ bí mật của trò chơi chính xác bài bạc và xổ số.

Nhiệm vụ 6

Trong số các sản phẩm được sản xuất trên máy tự động, bình quân có 60% sản phẩm là loại một. Xác suất để trong 6 món được chọn ngẫu nhiên có:

a) Từ 2 đến 4 sản phẩm loại 1; b) Có ít nhất 5 sản phẩm loại một; c) ít nhất một sản phẩm cấp thấp hơn.

Xác suất sản xuất một sản phẩm loại một không phụ thuộc vào chất lượng của các sản phẩm khác được sản xuất, vì vậy ở đây chúng ta đang nói về thử nghiệm độc lập. Cố gắng không bỏ qua việc phân tích tình trạng bệnh, nếu không có thể dẫn đến các sự kiện phụ thuộc Hoặc vấn đề là một cái gì đó hoàn toàn khác.

Quyết định: xác suất được mã hóa dưới dạng phần trăm, mà tôi nhắc bạn, phải chia cho một trăm: - xác suất để sản phẩm được chọn là loại 1. Khi đó: - xác suất để nó không phải là hạng nhất.

a) Sự kiện “Trong 6 sản phẩm được chọn ngẫu nhiên sẽ có từ 2 đến 4 sản phẩm của khối lớp 1” bao gồm ba kết quả không tương thích:

trong số các sản phẩm sẽ có 2 loại đầu tiên hoặc 3 hạng nhất hoặc 4 hạng nhất.

Sẽ thuận tiện hơn khi giải quyết các kết quả một cách riêng biệt. Chúng tôi sử dụng công thức Bernoulli ba lần :

- xác suất để trong ngày có ít nhất 5 trong số sáu máy tính hoạt động mà không hỏng hóc.

Giá trị cho trước cũng sẽ không phù hợp với chúng tôi, vì nó thấp hơn độ tin cậy cần thiết của trung tâm máy tính:

Vì vậy, sáu máy tính cũng không đủ. Hãy thêm một cái nữa:

3) Để có máy tính trong trung tâm máy tính. Sau đó 5, 6 hoặc 7 máy tính sẽ hoạt động mà không bị lỗi. Sử dụng công thức Bernoulli và định lý cộng cho xác suất của các sự kiện không tương thích, chúng tôi tìm xác suất để trong ngày có ít nhất 5 trong số bảy máy tính hoạt động mà không bị lỗi.