Khái Niệm Về Lũy Thừa Với Số Mũ Tự Nhiên Và Các Dạng Toán Phổ Biến

Table of Contents

• I. Thế nào là lũy thừa với số mũ tự nhiên?
  • 1. Khái niệm về số mũ
  • 2. Cách đọc số mũ
  • 3. Ví dụ về số mũ tự nhiên
• II. Các phép tính về lũy thừa với số mũ tự nhiên
  • 1. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
  • 2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số
• III. Các dạng toán về lũy thừa với số mũ tự nhiên
  • 1. Dạng 1: Viết gọn biểu thức đã cho dưới dạng luỹ thừa
  • 2. Dạng 2: Viết một số về dạng bình phương hoặc lập phương của một số
  • 3. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa
  • 4. Dạng 4: So sánh hai biểu thức chứa luỹ thừa
  • 5. Dạng 5: Viết một số tự nhiên dưới dạng tổng các lũy thừa của 10
  • 6. Dạng 6: Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa trong một đẳng thức

Ở chương trình Toán lớp 6 các em sẽ được làm quen với khái niệm hoàn toàn mới đó là lũy thừa với số mũ tự nhiên. Vậy thế nào là lũy thừa với số mũ tự nhiên? Và cách tính như thế nào? Bài viết này VOH Giáo Dục sẽ giúp các em tìm hiểu khái niệm về lũy thừa với số mũ tự nhiên và các dạng toán liên quan.

I. Thế nào là lũy thừa với số mũ tự nhiên?

1. Khái niệm về số mũ

Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu an là tích của n thừa số a:

Số a được gọi là cơ số.

Số n được gọi là số mũ.

Nói cách khác phép nâng lũy thừa chính là phép nhân nhiều thừa số bằng nhau.

Quy ước: a1 = a

2. Cách đọc số mũ

an đọc là “a mũ n” hoặc “a lũy thừa n” hoặc “lũy thừa bậc n của a”.

Đặc biệt, a2 còn cách gọi khác là “a bình phương” hay “bình phương của a”.

a3 còn được gọi là “a lập phương” hay “lập phương của a”.

3. Ví dụ về số mũ tự nhiên

Ví dụ 1.Viết các phép tính sau dưới dạng một lũy thừa, sau đó đọc các lũy thừa và nêu cơ số, số mũ của chúng:

a) 2.2.2

b) 7.7.7.7.7

c) 25.25.25.25

Giải:

a) 2.2.2 = 23

23 đọc là “hai mũ ba” hoặc “hai lũy thừa ba” hoặc “lũy thừa bậc ba của hai”. Ngoài ra còn đọc là “hai lập phương” hoặc “lập phương của hai”.

Cơ số là 2.

Số mũ là 3.

b) 7.7.7.7.7 = 75

75 đọc là “bảy mũ năm” hoặc “bảy lũy thừa năm” hoặc “lũy thừa bậc năm của bảy”.

Cơ số là 7.

Số mũ là 5.

c) 25.25.25.25 = 254

254 đọc là “hai mươi lăm mũ bốn” hoặc “hai mươi lăm lũy thừa bốn” hoặc “lũy thừa bậc bốn của hai mươi lăm”.

Cơ số là 25.

Số mũ là 4.

II. Các phép tính về lũy thừa với số mũ tự nhiên

1. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

am.an = am+n

Ví dụ 2.Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 42.4

b) 155.152

c) 8 . 2

d) 25 . 4 . 10

Giải:

a) 42.4 = 42+1 = 43

b) 155.152 = 155+2 = 157

c) 8 . 2 = 23 . 2 = 23+1 = 24

d) 25 . 4 . 10 = 100 . 10 = 102.10 =102+1 = 103

2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

am : an = am – n (a ≠ 0, m ≥ n)

Quy ước: a0 = 1 (a ≠ 0).

Ví dụ 3. Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng lũy thừa:

a) 46 : 43

b) 159 : 157

Giải:

a) 46 : 43 = 46-3 = 43

b) 159 : 157 = 159 – 7=152

III. Các dạng toán về lũy thừa với số mũ tự nhiên

1. Dạng 1: Viết gọn biểu thức đã cho dưới dạng luỹ thừa

Phương pháp giải: Để viết gọn biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên ta sử dụng các công thức sau:

(1)

(2) am.an = am+n

(3) am.an = am+n

Bài 1. Viết các tích đã cho dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên:

a) 5.5.5

b) 5.5.25

c) 3.3.3.3.9

d) x.x.x.x.x.x

ĐÁP ÁN

a) 5.5.5=53

b) 5.5.25=5.5.52=51+1+2=54

c) 3.3.3.3.9=34.32=34+2=36

d) x.x.x.x.x.x=x6

Bài 2. Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 28.23

b) 9.27

c) 68:36

ĐÁP ÁN

a) 28.23=28+3=211

b) 9.27=32.33=32+3=35

c) 68:36=68:62=68-2=66

2. Dạng 2: Viết một số về dạng bình phương hoặc lập phương của một số

Phương pháp giải:

Để viết một số dưới dạng bình phương ta viết số đó thành tích của hai thừa số giống nhau sau đó đưa về dạng lũy thừa bậc hai.

Để viết một số dưới dạng lập phương ta viết số đó thành tích của ba thừa số giống nhau sau đó đưa về dạng lũy thừa bậc ba.

Lưu ý: Các số viết được dưới dạng bình phương của một số tự nhiên được gọi là số chính phương.

Ví dụ. Các số 0; 1; 4; 9; 16; … được gọi là số chính phương vì:

0 = 02; 1 =11; 4 = 22; 9=32; 16= 42.

Bài 1. Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên: 64; 81; 100; 121.

ĐÁP ÁN

64 = 8.8=82

81=9.9=92

100=10.10=102

121=11.11=112

Bài 2. Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên: 27; 64; 125; 216.

ĐÁP ÁN

27=3.3.3=33

64=4.4.4=43

125=5.5.5=53

216=6.6.6=63

3. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa

Phương pháp giải: Để tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa ta sử dụng các công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số, chia hai lũy thừa cùng cơ số để rút gọn biểu thức sau đó thực hiện tính toán.

Bài 1. Tính các lũy thừa sau và rút ra nhận xét về kết quả của các lũy thừa đó.

a) 102

b) 105

c) 106

ĐÁP ÁN

a) 102 = 10.10=100

b) 105 = 10.10.10.10.10=100000

c) 106 = 10.10.10.10.10.10=1000000

Nhận xét: Số mũ của lũy thừa có cơ số 10 đúng bằng số chữ số 0 của kết quả. Cách tính nhanh lũy thừa của 10:

Với n là số tự nhiên khác 0, ta có:

Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 22.23-32-10

b) B = 5.42+32.5.2

c) C = 3.(52-42)

ĐÁP ÁN

a)

A = 22.23-32-10

= 22+3-9-10

= 25-9-10

= 32-9-10

= 23-10

= 13

b)

B = 5.42+32.5.2

= 5.16+9.5.2

= 80+45.2

= 80+90

= 170

c)

C = 3.(52-42)

= 3.(25-16)

= 3.9

= 27

4. Dạng 4: So sánh hai biểu thức chứa luỹ thừa

Phương pháp giải: Để so sánh hai luỹ thừa, ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1. Đưa về hai luỹ thừa có cùng cơ số rồi so sánh hai số mũ:

Nếu a > 1; m,n ∈ N*, m > n thì am > an .

Cách 2. Đưa về hai luỹ thừa có cùng số mũ, rồi so sánh hai cơ số:

Nếu a,b ∈ N; m ∈ N*, a > b thì am > bm

Cách 3. Tính giá trị của hai luỹ thừa rồi so sánh kết quả.

Cách 4. Sử dụng tính chất bắc cầu:

Nếu a, b, c ∈ N; a < b và b < c thì a < c .

Bài tập. Điền dấu >; <; = thích hợp vào ô trống:

a) 77...... 75

b) 1212..... 1112

c) 102.10 ..... 103

d) 23..... 32

ĐÁP ÁN

a) Vì 7 > 5 nên 77> 75

b) Vì 11 < 12 nên 1112 < 1212

c) Vì 102.10=102+1 =103 nên 102.10 = 103

d) Vì 23 = 8 và 32=9 và 8 < 9 nên 23 < 32

5. Dạng 5: Viết một số tự nhiên dưới dạng tổng các lũy thừa của 10

Phương pháp giải:

Ở chương trình Toán Tiểu học, ta đã biết một số có thể được viết dưới dạng tổng theo từng hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, ...)

Ví dụ: 3252 = 3.1000 + 2. 100 + 5.10 + 2.1

Ở dạng này ta sẽ thay các số 1, 10, 100, 1000, ... bằng các lũy thừa của 10.

Ví dụ: 3252 = 3. 103 + 2.102+ 5.101 +2 .100

Bài tập. Viết các số: 523; 4325; , dưới dạng tổng các luỹ thừa của 10.

ĐÁP ÁN

523 = 5.102+2.101+3.100

4325=4.103+3.102+2.101+5.100.

6. Dạng 6: Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa trong một đẳng thức

Phương pháp giải:

Bước 1. Đưa về hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

Bước 2. Sử dụng tính chất:

Nếu am=an thì m= n (a∈ N*,a≠1; m,n ∈ N),

Nếu am=bn thì a = b (a, b, n ∈ N*).

Bài tập. Tìm x, biết:

a) 2x=4

b) x3 = 125

c) 3x . 32 = 81

d) 4x+2 : a2=16

ĐÁP ÁN

a)

2x=4

2x=22

x=2

b)

x3 = 125

x3=53

x=5

c)

3x . 32 = 81

3x+2=34

x+2=4

x=4-2

x=2

d) 4x+2 : 42=16

4x+2-2=42

4x=42

x=2

Phép tính lũy thừa với một số tự nhiên là một kiến thức quan trọng. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em nắm rõ hơn về các phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên. Qua đó, các em sẽ vận dụng để hoàn thành các bài tập trên lớp và ở nhà.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang