Khai Triển đa Thức P( X ) = ( 2x - 1 )^1000 Ta được P( X ) = A1000x ...

Có thể bạn quan tâm

KHỞI ĐỘNG CHO MÙA THI ĐẠI HỌC 2026

Ôn đúng trọng tâm – Học chắc từ hôm nay

BẮT ĐẦU NGAY

Khai triển đa thức P( x ) = ( 2x - 1 )^1000 ta được P( x ) = a1000x^1000 + a999x^999 + ... + a1x + a

Câu hỏi

Nhận biết

Khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {2x - 1} \right)^{1000}}\) ta được \(P\left( x \right) = {a_{1000}}{x^{1000}} + {a_{999}}{x^{999}} + ... + {a_1}x + {a_0}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \({a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} = {2^n}\) B. \({a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} = {2^n} - 1\) C. \({a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} = 1\) D. \({a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} = 0\)

Đáp án đúng: D

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

\( + )\)Thay \(x = 1\) vào \(P\left( x \right)\) có: \(P\left( 1 \right) = {\left( {2 - 1} \right)^{1000}} = {1^{1000}} = 1\)\(\left( 1 \right)\)

\( + )\)Thay \(x = 1\) vào khai triển \(P\left( x \right)\) có: \(P\left( 1 \right) = {a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} + {a_0}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow \)\({a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} + {a_0} = 1\)\( \Leftrightarrow {a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} = 1 - {a_0}\)(*)

\( + )\)\({a_0}\) là hệ số của \({x^0}\) :

Số hạng tổng quát của \(P\left( x \right)\)là: \({T_{k + 1}} = C_{1000}^k.{\left( {2x} \right)^{1000 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}\)\( = C_{1000}^k{.2^{1000 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{1000 - k}}\)

+ Số hạng chứa \({x^0}\)\( \Rightarrow {x^0} = {x^{1000 - k}}\)\( \Leftrightarrow k = 1000\)

Khi đó hệ số của số hạng chứa \({x^0}\)là: \({a_0} = C_{1000}^{1000}{.2^{1000 - 1000}}.{\left( { - 1} \right)^{1000}} = 1\)

(*) \( \Rightarrow {a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} = 1 - 1 = 0\)

Chọn D.