Khảo Sát đường Cong Tham Số | Maths 4 Physics & More...

Trang chủ » Tiếp Tuyến đường Cong Tham Số » Khảo Sát đường Cong Tham Số | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Phương trình tham số của đường cong:

Cho hai hàm số: \left \{ \begin{array}{c} {x = x(t) \qquad (1)} \\{y = y(t) \qquad (2)} \end{array} \right.

Khi t thay đổi, điểm \text{M(x(t), y(t))} vẽ nên đường cong (C) trong mặt phẳng tọa độ (Oxy).

Nếu từ (1) ta giải được t theo x ( t = t(x)) rồi thế vào (2) thì ta sẽ có phương trình của đường cong (C) : y = f(x).

Các hàm số {(1), (2)} được gọi là phương trình tham số của đường cong (C).

Ví dụ 1: Xét hyperbol (H): { \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} =1}

Vì hiệu bình phương của { \dfrac{x}{a}} , { \dfrac{y}{b}} bằng 1, nên có thể coi chúng là cht và sht:

\dfrac{x}{a} = cht , \dfrac{y}{b} = sht , t \in \mathbb R

Vậy ta có phương trình tham số của Hyperbol là:

\fbox {x = a.cht ; y = b.sht}

Ví dụ 2: Xicloit là quỹ đạo của một điểm M nằm trên một đường tròn bán kính a khi vòng tròn đó lăn không trượt trên một đường thẳng.

Giả sử vòng tròn lăn về phía hướng dương của trục Ox (và lăn trên trục hoành) , vị trí ban đầu của M trùng với gốc tọa độ O.

cycloidanim04.gif

Khi đó, ta dễ dàng xác định được phương trình tham số của quỹ đạo điểm M là:

\fbox {x = a.(t \!- sint) \qquad; \qquad y = a.(1 \!- cost)}

2. Khảo sát đường cong cho bằng tham số:

Việc khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong tham số tiến hành tương tự như đã làm đối với đường cong có phương trình y = f(x) . Gồm các bước sau đây:

  1. Tìm miền xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn.
  2. Khảo sát và lập bảng biến thiên:

    • Tính đạo hàm { \dfrac{{dy}}{{dx}} = \dfrac{{{y'}_t}}{{{x'}_t}} = \dfrac{\dot{y}}{\dot{x}} } \qquad (3)

    • Tìm các giá trị của tham số t sao cho tại đó ít nhất một trong các đạo hàm \dot{x} = x_{t}^{'} hay \dot{y} = y_{t}^{'} triệt tiêu. (nếu tồn tại t_0 sao cho \dot{x}(t_{0}) = x_{t}^{'}(t_0) = 0 , \dot{y}(t_{0}) = y_{t}^{'}(t_0) = 0 thì điểm M(x_0 , y_0) là điểm kỳ dị, với x_0 = x(t_0) , y_0 = y(t_0) ).

    • Mỗi khoảng (t_k , t_{k+1}) tương ứng với khoảng (x_k , x_{k+1}) sẽ xác định dấu của y'(x).

    • Tính đạo hàm cấp 2:

    { \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{y''(t).x'(t) - x''(t).y'(t)}{{[x'(t)]}^3}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } \qquad (4)

  3. Từ (4) ta tìm các giá trị để đạo hàm cấp 2 triệt tiêu, từ đó xác định khoảng lồi, lõm của đường cong.
  4. Tìm tiệm cận của đường cong:

  • Nếu lim_{t \to t_0} x(t) = a , \lim_{t \to t_0} y(t) = \infty thì x = a là tiệm cận đứng.

  • Nếu lim_{t \to t_0} x(t) = \infty , \lim_{t \to t_0} y(t) = b thì y = b là tiệm cận ngang.

  • Nếu khi t \to t_0 , x \to \infty , y \to \infty và:

lim_{t \to t_0} \frac{y(t)}{x(t)} = a , lim_{t \to t_0} [y(t) \! - ax(t) ] = b

thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

3. Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình:

\left \{ \begin{array}{c} {x = acos^{3}t} \\{y = asin^{3}t} \end{array} \right.

Các hàm số x(t), y(t) xác định với mọi t.

Nhưng vì các hàm số acos^{3}t, asin^{3}t là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2\pi nên ta chỉ cần khảo sát với t nằm trong đoạn [0;2\pi ].

Do đó, khoảng biến thiên của x là đoạn [-a; a] và khoảng biến thiên của y là đoạn [-a; a].

Vậy đường cong được khảo sát không có tiệm cận.

Xét khoảng biến thiên. Ta có:

x_t^{'} = -3acos^{2}tsint = 0 khi t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi

y_t^{'} = 3asin^{2}tcost khi t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi

y_{x}^{'} = -tg t = 0 khi t = 0, \pi , 2\pi y_{x}^{'} = \infty tại { \dfrac{\pi}{2}} , { \dfrac{3\pi}{2}}

Ta có bảng biến thiên sau:

\begin{array}{c| c c c c c c c c c} \hline t & 0 & \quad & {\pi}/2 & \quad & {\pi} & \quad & 3{\pi}/2 & \quad & 2{pi} \\ \hline x't & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 &+ & 0 \\ \hline x & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 & \nearrow & a \\ \hline y't & 0 & + & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 \\ \hline y & 0 & \nearrow & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 \\ \hline \ y'x & 0 & - & || & + & 0 & - & || & + & 0 \\ \hline \end{array}

Tính đạo hàm cấp hai ta có:

\ddot{y} = 6a.cost.sin^{2}t - 3a.cos^{3}t

\ddot{x} = 6a.sint.cos^{2}t - 3a.sin^{3}t

Do đó:

{ \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } = { \dfrac{1}{3a.cos^{4}t.sint}}

Nhận thấy:

Khi 0 < t < \pi : thì đường cong lõm

Khi \pi < t < 2{\pi} : thì đường cong lồi

Lại có:

Khi 0 \le t \le {\pi}/2 : thì x \ge 0 , y \ge 0 nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất

Khi {\pi}/2 \le t \le {\pi} : thì x \le 0 , y \ge 0 nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ hai.

Khi {\pi} \le t \le 3.{\pi}/2 : thì x \le 0 , y \le 0 nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ ba.

Khi 3{\pi}/2 \le t \le 2.{\pi} : thì x \ge 0 , y \le 0 nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ tư.

Từ những dữ liệu trên ta sẽ có đường cong (C) trong mặt phằng là đường màu đỏ trong hình sau:

astroid01.gif

Phương trình đường cong (C) có được bằng cách lăn đường tròn nhỏ, bán kính a/4 bên tròn đường tròn lớn, bán kính a theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ điểm (1;0)

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • In
  • PDF
  • Email
  • Facebook
Thích Đang tải...

Thảo luận

30 bình luận về “Khảo sát đường cong tham số”

  1. Hình đại diện của Nguyen Duc Hiep

    thầy ơi e làm khóa luận tốt nghiệp về khảo sát và vẽ đồ thị đường cong cho dưới dạng tham số..e nên cần tài liệu gì để làm …..mog thầy gợi ý giup e

    ThíchĐã thích bởi 1 người

    Được đăng bởi Nguyen Duc Hiep | 24/01/2015, 09:37 Reply to this comment
    • Hình đại diện của 2Bo02B

      Em có thể tham khảo trong quyển Calculus của tác giả Thomas Finney. Hoặc ra tiệm sách cũ, tìm quyển sách Giải tích, (bản dịch Tiếng Việt) của tác giả Pixcunop. 2 sách này có trình bày khá kỹ và rõ về khảo sát đường cong tham số. Chúc em thành công.

      ThíchThích

      Được đăng bởi 2Bo02B | 09/03/2015, 11:19 Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Δ

Từ khóa » Tiếp Tuyến đường Cong Tham Số