Khảo Sát Sự Biến Thiên Của Hàm Số Và Các Dạng Bài Tập

Số lượt đọc bài viết: 13.004

Khảo sát sự biến thiên của hàm số cùng với các dạng toán khác trong chương trình toán lớp 10 là các chủ đề không thể bỏ qua trong kỳ thi đại học. Cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về dạng toán này trong bài viết dưới đây nhé!

MỤC LỤC

• Khảo sát sự biến thiên của hàm số
  • Định nghĩa sự biến thiên hàm số
  • Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
  • Sự biến thiên của hàm số bậc 2
  • Phương pháp xét tính biến thiên
• Các dạng bài toán về khảo sát sự biến thiên của hàm số
  • Dạng 1: Xét sự biến thiên của hàm số
  • Dạng 2: Hàm số đồng biến, Nghịch biến trên một khoảng

Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Định nghĩa sự biến thiên hàm số

Cho hàm số y=fx xác định trên \((a,b)\)

\(x1, x2\epsilon(a,b)\)

• \(x1<x2\Rightarrow f(x1)<f(x2)\) thì hàm số Đồng biến trên \((a,b)\)
• \(x1<x2\Rightarrow f(x1)>f(x2)\) thì hàm số Nghịch biến trên \((a,b)\)

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

* Định lý 1:

• \(f'(x)>0\forall x\epsilon(a,b)\Rightarrow\) hàm số Đồng biến trên  \((a,b)\)

• \(f'(x)<0\forall x\epsilon(a,b)\Rightarrow\) hàm số Nghịch biến trên  \((a,b)\)

*Định lý 2

• \(f(x)\) Nghịch biến trên \((a,b)\) khi \(f'(x)\leq0\forall x\epsilon(a,b)\) và  \(f'(x)=0\) tại hữu hạn điểm
• f là hàm hằng trên \((a,b)\) khi \(f'(x)=0\forall x\epsilon(a,b)\)

Sự biến thiên của hàm số bậc 2

Phương pháp xét tính biến thiên

• Bước 1: Tìm tập xác định, đạo hàm \(y’\)
• Bước 2: Cho \(y’=0\), suy ra các nghiệm
• Bước 3: Lập Bảng biến thiên
• Bước 4: Suy ra Kết luận về tính Đồng biến, Nghịch biến của hàm số

Các dạng bài toán về khảo sát sự biến thiên của hàm số

Dạng 1: Xét sự biến thiên của hàm số

Phương pháp giải:

• Tìm tập xác định của hàm số .
• Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm.
• Xét tính Đồng biến, Nghịch biến của hàm số theo Định lý 2

Ví dụ: Tìm m để hàm số \(y=\frac{1}{3}x^{3}+mx^{2}+(m+6)x-(2m+1)\) đồng biến trên \(R\)

Giải:

• TXĐ: \(D=R\)
• Đạo hàm: \(y’= x^{2}+3mx+m+6\)
• Hàm số đồng biến trên \(R\Leftrightarrow y’\geq0 \forall x \epsilon R\)            

\(y’= x^{2}+3mx+m+6\geq0\)suy ra \(\Delta\leq0\Leftrightarrow m^{2}-m-6\leq0\Leftrightarrow -2\leq m \leq3\)

Kết luận: Với \(m\epsilon[-2;3]\) thì hàm số đã cho Đồng biến trên \(R\)

Dạng 2: Hàm số đồng biến, Nghịch biến trên một khoảng

Phương pháp giải:

• Sử dụng các định lí nhận biết tính tăng giảm của hàm số trên một khoảng
• Thường dẫn đến một bài toán về tam thức bậc hai
• Cần lưu ý việc so sánh một số \(\alpha\) với hai nghiệm của \(f(x)=ax^{2}+bx+c (a\neq0)\)

\(af(\alpha)<0\Leftrightarrow x1<\alpha<x2\)

\(\alpha<x1<x2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} af(\alpha) &> & 0\\ \Delta& > &0 \\ \frac{S}{2}&> & \alpha \end{matrix}\right.\)

\(x1<x2<\alpha\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} af(\alpha) & > &0 \\ \Delta& > &0 \\ \frac{S}{2}&< & \alpha \end{matrix}\right.\) Hy vọng bài viết về sự biến thiên của hàm số cũng như các dạng bài tập xét tính biến thiên lớp 10 đã giúp bạn củng cố kiến thức bổ ích và học tập tốt hơn! Hãy cùng để lại nhận xét bên dưới để chúng ta cùng thảo luận nhiều hơn các dạng toán khảo sát sự biến thiên của hàm số nhé!

Rate this post Please follow and like us: