Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Của Hàm Nhất Biến - Sách Toán

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm nhất biến. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất.

Hàm nhất biến. Có dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},\;\;ad \ne bc.$ $\left( a \right)$ Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{d}{c}} \right\}$. $\left( b \right)$ Giới hạn và tiệm cận: $\left( b_1 \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{d}{c}} \right)}^ \pm }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{d}{c}} \right)}^ \pm }} \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \pm \infty \Rightarrow x = – \frac{d}{c}$ là phương trình của tiệm cận đứng. $\left( b_2 \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \leftrightarrow \pm \infty } \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \frac{a}{c} \Rightarrow y = \frac{a}{c}$ là phương trình của tiệm cận ngang. $\left( c \right)$ Cực trị: Ta có $y’ = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right|}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$ có dấu không đổi nên hàm số không có cực trị. $\left( e \right)$Trục đối xứng: Giao điểm của hai tiệm cận $I\left( { – \frac{d}{c};\frac{a}{c}} \right)$ là tâm đối xứng

$\left( f \right)$ Tính đơn điệu: Tuỳ vào dấu của $y’$ mà tính đơn điệu và đồ thị của hàm nhất biến có $2$ trường hợp sau: $y’ < 0$ 

$y’ > 0$ 

Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{{4x + 1}}{{2x -1}}$. Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{{\frac{1}{2}} \right\}.$ $ x = \frac{1}{2}$ là phương trình tiệm cận đứng; $ y = 2$ là phương trình tiệm cận ngang. Sự biến thiên: Ta có $y’ = – \frac{6}{(2x – 1)^2} < 0$

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Bảng biến thiên

Đồ thị:

Ví Dụ 2:  Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+1}\) Giải TXĐ: D = R \{-1} \(y’=\frac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\) \(y’>0 \ \forall x\in (-\infty ;-1);(-1;+\infty )\) Khoảng đồng biến \((-\infty ;-1);(-1;+\infty )\) Hàm số không có cực trị. Giới hạn và tiệm cận \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x+1}{x+1 }=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2\) Vậy đường tiệm cận ngang y – 2 = 0. \(\lim_{x\rightarrow \infty }y=2\) \(\lim_{x\rightarrow -1^- }y=+\infty , \lim_{x\rightarrow -1^+ }y=-\infty\) Vậy đường tiệm cận đứng x + 1 = 0 Bảng biến thiên Giao với Ox \((-\frac{1}{2};0)\) Giao với Oy (0;1) Đồ thị nhận (-1;2) làm tâm đối xứng

Ví Dụ 3:  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{-x+3}{x-1}\) Giải TXĐ: D = R\ {1} \(y’=\frac{-(x-1)-(x+3)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}\) \(y'<0 \ \forall x\in (-\infty ;1),(1;+\infty )\) nên hàm số nghịch biến trên \((-\infty ;1),(1;+\infty )\) Hàm số không có cực trị. Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{-x+3}{x-1}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}} =-1\) \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{-x+3}{x-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}} =-1\) Đường tiệm cận ngang y + 1 = 0 \(\lim_{x\rightarrow 1^-}y=-\infty; \lim_{x\rightarrow 1^+}y=+\infty\) Đường tiệm cận đứng x – 1 = 0. Bảng biến thiên Giao với Ox (3;0) Giao với Oy (0;-3)