Khoảng Cách - Giải Bài Tập SGK Toán 11

4.9/5 - (7 bình chọn)

Vậy là chương 3 hình học 11 cũng đã đi vào kết thúc. Ở bài học này, các em sẽ được học thêm một kiến thức mới: Khoảng cách. Khoảng cách là bài cuối cùng, kết thúc hình học vecto không gian, quan hệ vuông góc trong không gian. Bài giảng này được giáo viên của Toppy biên soạn và tổng hợp kiến thức sát với sách giáo khoa và có bổ sung thêm phần bài tập làm thêm giúp các bạn chinh phục môn Hình học không gian dễ dàng hơn. Chúng ta cùng học bài ngay thôi nhé!

Table of Contents

Toggle

• Mục tiêu của bài học Khoảng cách
• Lý thuyết cần nhớ
  • 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
  • 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
  • 1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
  • 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 
  • 1. Định nghĩa. 
  • 2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
  • 3. Nhận xét
    • Ví dụ:
• Giải bài tập SGK Khoảng cách
  • Bài 1 trang 119 sgk Hình học 11
  • Bài 2 trang 119 sgk hình học 11
  • Bài 3 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
  • Bài 4 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
  • Bài 5 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
• Lời kết:

Mục tiêu của bài học Khoảng cách

Kiến thức bài học hôm nay rất quan trọng và có thể xuất hiện trong bài thi, các bạn cố gắng đạt được một số mục tiêu sau nha!

• Biết được định nghĩa đường vuông góc chung;
• Biết được định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Học sinh biết cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Lý thuyết cần nhớ

Một số phần kiến thức trọng tâm được itoan biên soạn ngắn gọn, dễ hình dung cho các bạn học sinh.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O cho trước và đường thẳng a . Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình chiếu của O trên a . Khi đó độ dài đoạn OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.

Kí hiệu: d(O,a)=OH⇔ OH⊥a; H∈a

Lấy M bất kì thuộc a ta luôn có OH<OM

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (a) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (a). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến (a)

Kí hiệu: d(O,(α))=OH⇔ OH⊥(α); H∈(α)

Lấy M≠H bất kì thuộc (α) ta luôn có OH<OM

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (a) . Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (a) , kí hiệu là d(a,(a))

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

1. Định nghĩa. 

a) Đường thẳng △ cắt hai đường thẳng chéo nhau a,b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

b) Nếu đường vuông góc chung △ cắt hai đường thẳng chéo nhau a,b lần lượt tại M,N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (β) là mặt phẳng chứa b và song song với a, a′ là hình chiếu vuông góc của a lên (β). Vì a//(β)⇒a′//a. Do đó a′ và b cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi (α) là mặt phẳng chứa a và a′, △ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (β). Khi đó (β)⊥(α) . Như vậy △ nằm trong (α) và cắt a tại M, cắt b tại N, hơn nữa △ vuông góc với cả a và b . Vậy △ là đường vuông góc chung của a và b.

3. Nhận xét

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa mặt phẳng còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Ví dụ:

Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy.

Giả sử MN là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b như hình vẽ,  hai điểm bất kì A∈a,B∈b ta cần chứng minh  MN≤AB.

Gọi (α) là mặt phẳng qua b và song song với a, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (α) ta có:

MN=AH≤ AB ⇒ MN ≤ AB. (đpcm)

Nếu học lý thuyết quá nhàm chán, các bạn hãy xem hướng dẫn bài học hấp dẫn của trung tâm Toppy qua đoạn video dưới đây nhé!

Giải bài tập SGK Khoảng cách

Để dễ hình dung ra lý thuyết đã học, cô và các bạn sẽ cùng nhau hoàn thành bài tập 1 và 2 trong sách giáo khoa nhé!

Bài 1 trang 119 sgk Hình học 11

a) Sai;

b)Đúng;

c) Đúng;

d) Sai;

e) Sai.

Bài 2 trang 119 sgk hình học 11

a) Gọi E là giao điểm của BC và AH. Khi đó AE ⊥ BC.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy tại điểm E.

Mà SC ⊂ (SAC) suy ra BH ⊥ SC.

Mặt khác BK ⊥  SC nên SC ⊥ (BHK).

HK ⊂ (BHK) => SC ⊥ HK                                       (1)

Từ (1) và (2) suy ra HK ⊥ (SBC).

c) Ta có: AE ⊥ BC và AE ⊥ SA.

Vậy AE là đường vuông góc chung của BC và SA.

Bài 3 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11

Gọi I là hình chiếu của B trên đường chéo AC’ của hình lập phương.

BCC’B’ là hình vuông cạnh a nên ta có độ dài đường chéo BC’ là .

Tam giác ABC’ là tam giác vuông tại B có BC’ =  và AB = a.

Độ dài đường cao BI là khoảng cách từ B tới đường thẳng AC’.

Do đó:

Khoảng cách từ các điểm B,C , D, A’,B’ và D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau vì chúng đều là độ dài đường cao của các tam giác vuông bằng nhau (vì có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau và đều bằng a).

Bài 4 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11

a) Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ BH vuông góc với AC tại H.

Khi đó độ dài đoạn BH’ chính là khoảng cách từ B tới mặt phẳng (ACC’A’). Xét tam giác vuông ABC, ta có:

b) Mặt phẳng (ACC’A’) chứa AC’ mà AC’ song song với BB’ nên khoảng cách giữa BB’ và AC’ chính là độ dài đoạn BH.

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa a và mp (α) chứa b đồng thời song song với a.

Bài 5 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11

a) Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có:

Mà B’D ⊂ (BB’D’D) nên A’C’ ⊥ B’D.           (1)

Mặt khác:

B’D ⊂ (DCB’A’) => B’D ⊥ BC’.                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra B’D ⊥ (A’BC’).

b) Hai mặt phẳng (A’BC’) và (ACD’) cùng vuông góc với B’D (tại G và H) nên chúng song song với nhau.

Khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn HG.

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.

Hai tam giác GO’B’ và D’DB’ đồng dạng với nhau (g.g) nên ta có:

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC’ và CD’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (BA’C’) và (ACD’) lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau đó. Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ là:

Lời kết:

Bài học Khoảng cách – Hình học 11 đã kết thúc. Kiến thức về khoảng cách chúng ta đã hiểu hết chưa? Hãy nắm chắc định nghĩa, các dạng của khoảng cách để vận dụng vào làm các bài tập. Các em có thắc mắc hãy bình luận phía bên dưới để Toppy giải đáp ngay nhé! Ngoài ra, các em có thể tự tìm hiểu nhiều bài giảng bổ ích khác qua trang Toán của Toppy.

Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày. 

Chúc các bạn sẽ thành công trong việc làm chủ môn toán lớp 11 và đạt thật nhiều điểm thưởng.