Khoảng Cách Giữa 2 đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz

Trang chủ » Khoảng Cách Giữa Hai đường Thẳng Trong Không Gian » Khoảng Cách Giữa 2 đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz

Có thể bạn quan tâm

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 12 Môn: Toán Loại File: PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Toán 12: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz

  • KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
  • TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
    • 1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song trong Oxyz
    • 2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong Oxyz
  • 3. Bài tập minh họa có hướng dẫn chi tiết tính khoảng cách trong không gian 
    • 4. Bài tập tự rèn luyện tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz

Trong chương trình Toán học lớp 12, đặc biệt khi ôn thi THPT Quốc gia, chuyên đề hình học không gian luôn chiếm một vị trí quan trọng. Một trong những kiến thức trọng tâm mà học sinh cần nắm vững là khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống lại lý thuyết, công thức tính và phương pháp giải nhanh các dạng bài thường gặp, từ đó tự tin chinh phục điểm số cao trong kỳ thi sắp tới.

KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: Trùng nhau; Cắt nhau; Song song; Chéo nhau.

Trường hợp hai đường thẳng trùng nhau hay cắt nhau thì ta có thể coi khoảng cách giữa chúng bằng 0.

Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Còn trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. Trong đó đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng chéo nhau đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là tồn tại và duy nhất.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song trong Oxyz

Trong không gian Oxyz, giả sử cho 2 đường thẳng song song có phương trình:

{\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_1} + a{t_1} \hfill \\ y = {y_1} + b{t_1} \hfill \\ z = {z_1} + c{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)\({\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_1} + a{t_1} \hfill \\ y = {y_1} + b{t_1} \hfill \\ z = {z_1} + c{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)\) và {\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_2} + a{t_2} \hfill \\ y = {y_2} + b{t_2} \hfill \\ z = {z_2} + c{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)\({\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_2} + a{t_2} \hfill \\ y = {y_2} + b{t_2} \hfill \\ z = {z_2} + c{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)\)

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên ta sử dụng công thức:

d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\(d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)

Trong đó {{M_1}{M_2}}\({{M_1}{M_2}}\) là điểm bất kỳ lần lượt trên hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}}\({{\Delta _1};{\Delta _2}}\)

Để thuận tiện ta thường lấy {M_1} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\({M_1} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và {M_2} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\({M_2} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)

Còn {\overrightarrow u }\({\overrightarrow u }\) là một vectơ chỉ phương bất kì của một trong hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}}\({{\Delta _1};{\Delta _2}}\) .

Ta thường lấy \overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\)

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là

{\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_1} \hfill \\ y = 2 + 2{t_1} \hfill \\ z = 3 - 3{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)\({\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_1} \hfill \\ y = 2 + 2{t_1} \hfill \\ z = 3 - 3{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)\) và {\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 3 + 4{t_2} \hfill \\ y = 2 + 4{t_2} \hfill \\ z = 5 - 6{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)\({\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 3 + 4{t_2} \hfill \\ y = 2 + 4{t_2} \hfill \\ z = 5 - 6{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)\)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Lưu ý: Nhìn vào hệ số của tham số ở hai phương trình ta dễ nhận thấy hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Chúng ta sẽ không kiểm tra nó song song hay trùng nhau mà áp dụng ngay công thức tính khoảng cách bên trên. Nếu ra kết quả bằng 0 thì hai đường thẳng trùng nhau. Nếu ra kết quả khác 0 thì hai đường thẳng đó song song.

Ta có: {M_1} = \left( {1;2;3} \right)\({M_1} = \left( {1;2;3} \right)\), {M_2} = \left( {3;2;5} \right)\({M_2} = \left( {3;2;5} \right)\) suy ra \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {2;0;2} \right)\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {2;0;2} \right)\)

\overrightarrow u = \left( {2;2; - 3} \right)\(\overrightarrow u = \left( {2;2; - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của hai đường thẳng  {{\Delta _1};{\Delta _2}}\({{\Delta _1};{\Delta _2}}\) 

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng  {{\Delta _1};{\Delta _2}}\({{\Delta _1};{\Delta _2}}\)  là:

d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{2\sqrt {561} }}{{17}}\(d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \wedge \overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{2\sqrt {561} }}{{17}}\)

2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong Oxyz

Trong không gian Oxyz, giả sử cho 2 đường thẳng chéo nhau có phương trình:

 {\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_1} + a{t_1} \hfill \\ y = {y_1} + b{t_1} \hfill \\ z = {z_1} + c{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)\({\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_1} + a{t_1} \hfill \\ y = {y_1} + b{t_1} \hfill \\ z = {z_1} + c{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)\) và {\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_2} + a{t_2} \hfill \\ y = {y_2} + b{t_2} \hfill \\ z = {z_2} + c{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)\({\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = {x_2} + a{t_2} \hfill \\ y = {y_2} + b{t_2} \hfill \\ z = {z_2} + c{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)\) 

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên ta sử dụng công thức:

d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left( {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right)\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\(d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left( {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right)\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)

Trong đó {{M_1}{M_2}}\({{M_1}{M_2}}\) là điểm bất kỳ lần lượt trên hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}}\({{\Delta _1};{\Delta _2}}\)

Để thuận tiện ta thường lấy {M_1} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\({M_1} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và {M_2} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\({M_2} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)

Còn  {\overrightarrow u _1};\overrightarrow {{u_2}}\({\overrightarrow u _1};\overrightarrow {{u_2}}\) lần lượt là một vectơ chỉ phương bất kì của một trong hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}}\({{\Delta _1};{\Delta _2}}\) .

Ta thường lấy {\overrightarrow u _1} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\({\overrightarrow u _1} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và \overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\)

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là

{\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_1} \hfill \\ y = 2 + 2{t_1} \hfill \\ z = 1 - 1{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)\({\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_1} \hfill \\ y = 2 + 2{t_1} \hfill \\ z = 1 - 1{t_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_1} \in \mathbb{R}} \right)\) và {\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_2} \hfill \\ y = 2 + 2{t_2} \hfill \\ z = 1 - 1{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)\({\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2{t_2} \hfill \\ y = 2 + 2{t_2} \hfill \\ z = 1 - 1{t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {{t_2} \in \mathbb{R}} \right)\)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Lưu ý: Trong công thức tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau ở trên. Nếu chúng ta áp dụng cho 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì mẫu số sẽ bằng 0 và phép tính không tính được. Còn nếu áp dụng cho hai đường thẳng cắt nhau ta được kết quả bằng 0. Áp dụng cho hai đường thẳng chéo nhau thì kết quả khác 0. Vì vậy khi làm bài ta sẽ nhận xét nhanh hai đường thẳng có rơi vào trường hợp song song hay trùng nhau không. Sau đó ta áp dụng công thức.

Ta có: {M_1} = \left( {1;2;1} \right)\({M_1} = \left( {1;2;1} \right)\), {M_2} = \left( {1;3;2} \right)\({M_2} = \left( {1;3;2} \right)\) suy ra \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {0;1;1} \right)\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {0;1;1} \right)\)

\overrightarrow u_1 = \left( {2;2; - 1} \right)\(\overrightarrow u_1 = \left( {2;2; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của hai đường thẳng {{\Delta _1}}\({{\Delta _1}}\)

\overrightarrow u_2 = \left( {2;-1; - 2} \right)\(\overrightarrow u_2 = \left( {2;-1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của hai đường thẳng {\Delta _2}\({\Delta _2}\)

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng {{\Delta _1};{\Delta _2}}\({{\Delta _1};{\Delta _2}}\) là:

d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left( {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right)\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{4\sqrt {65} }}{{65}}\(d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left( {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right)\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1} \wedge \overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{4\sqrt {65} }}{{65}}\)

3. Bài tập minh họa có hướng dẫn chi tiết tính khoảng cách trong không gian 

Bài 1: Để tính khoảng cách từ điểm M\left( x_{1},y_{1},z_{1} \right)\(M\left( x_{1},y_{1},z_{1} \right)\) đến đường thẳng (D):\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}\ \ \left( a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \neq \ 0 \right)\((D):\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}\ \ \left( a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \neq \ 0 \right)\), một học sinh lý luận qua các giai đoạn sau:

I. Vẽ MH vuông góc với (D) tại H. Ta có: A\left( x_{0},\ y_{0},\ z_{0} \right) \in (D);\(A\left( x_{0},\ y_{0},\ z_{0} \right) \in (D);\) vectơ chỉ phương của (D) là: \overrightarrow{a} = \left( a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \right).\(\overrightarrow{a} = \left( a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \right).\)

\overrightarrow{AM} = \left( b_{1},b_{2},b_{3} \right) = \left( x_{1} - x_{0},y_{1} - y_{0};z_{1} - z_{0} \right)\(\overrightarrow{AM} = \left( b_{1},b_{2},b_{3} \right) = \left( x_{1} - x_{0},y_{1} - y_{0};z_{1} - z_{0} \right)\)

II. \overrightarrow{AH}\(\overrightarrow{AH}\) cùng phương với \overrightarrow{a}\(\overrightarrow{a}\), ta có: \overrightarrow{AH} = k\overrightarrow{a}\(\overrightarrow{AH} = k\overrightarrow{a}\)

Diện tích tam giác AMH: S = \frac{1}{2}AH.MH = \frac{|k|.\left| \overrightarrow{a} \right|.MH}{2}\(S = \frac{1}{2}AH.MH = \frac{|k|.\left| \overrightarrow{a} \right|.MH}{2}\) (1)\((1)\)

III. Dùng tích hữu hướng, ta có diện tính tam giác AMH:

S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AH},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right| = \frac{|k|}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|\(S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AH},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right| = \frac{|k|}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|\) (2)\((2)\)

Từ (1)\((1)\) và (2)\((2)\), ta có: \left| \overrightarrow{a} \right|.MH = \left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|\(\left| \overrightarrow{a} \right|.MH = \left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|\)

Vậy d(M,D) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|}\(d(M,D) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|}\)

Lý luận trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở đoạn nào?

A. Chỉ I                  B. Chỉ II                   C. Chỉ III                      D. Chỉ II và III

Hướng dẫn giải

Sai ở giai đoạn II, vì \overrightarrow{AH} = k\overrightarrow{a}\(\overrightarrow{AH} = k\overrightarrow{a}\) thìk \in R\backslash\left\{ 0 \right\}\(k \in R\backslash\left\{ 0 \right\}\)

Chọn đáp án C

Bài 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( D_{1} \right):\ \frac{x\ - \ x_{1}}{a_{1}} = \frac{y\ - \ y_{1}}{a_{2}} = \frac{z\ - \ z_{1}}{a_{3}}\(\left( D_{1} \right):\ \frac{x\ - \ x_{1}}{a_{1}} = \frac{y\ - \ y_{1}}{a_{2}} = \frac{z\ - \ z_{1}}{a_{3}}\) và \left( D_{2} \right):\ \frac{x\ - \ x_{2}}{b_{1}} = \frac{y\ - \ y_{2}}{b_{2}} = \frac{z\ - \ z_{2}}{b_{3}}\(\left( D_{2} \right):\ \frac{x\ - \ x_{2}}{b_{1}} = \frac{y\ - \ y_{2}}{b_{2}} = \frac{z\ - \ z_{2}}{b_{3}}\) \left( a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3} \neq \ \ 0 \right);\(\left( a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3} \neq \ \ 0 \right);\) với \overrightarrow{a} = \left( a_{1},a_{2},a_{3} \right)\(\overrightarrow{a} = \left( a_{1},a_{2},a_{3} \right)\); \overrightarrow{b} = \left( b_{1},b_{2},b_{3} \right)\(\overrightarrow{b} = \left( b_{1},b_{2},b_{3} \right)\) và \overrightarrow{AB} = \left( x_{2} - x_{1},y_{2} - y_{1},z_{2} - z_{1} \right).\(\overrightarrow{AB} = \left( x_{2} - x_{1},y_{2} - y_{1},z_{2} - z_{1} \right).\) Khoảng cách hay đoạn vuông góc chung giữa \left( D_{1} \right)\(\left( D_{1} \right)\) và \left( D_{2} \right)\(\left( D_{2} \right)\) tính bởi công thức nào sau đây?

A. d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB} \right\rbrack \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}\(d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB} \right\rbrack \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}\)                            B. d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB} \right\rbrack \right|}\(d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB} \right\rbrack \right|}\)

C. d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}\(d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}\)                            D. d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}.\overrightarrow{AB} \right\rbrack \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}\(d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}.\overrightarrow{AB} \right\rbrack \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}\)

Hướng dẫn giải

Công thức đúng là: d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}\(d\left( D_{1},D_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack \right|}\)

Chọn đáp án C

Bài 3: Cho ba điểm A( - 4,4,0),B(2,0,4),C(1,2, - 1)\(A( - 4,4,0),B(2,0,4),C(1,2, - 1)\) .Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\overrightarrow{CA} = ( - 5,2,1)\(\overrightarrow{CA} = ( - 5,2,1)\) ;\overrightarrow{CB} = (1, - 2,5)\(\overrightarrow{CB} = (1, - 2,5)\) ;\overrightarrow{AB} = (6, - 4,4)\(\overrightarrow{AB} = (6, - 4,4)\) .

Khoảng cách cần tìm bằng: \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB} \right\rbrack \right|}{\overrightarrow{AB}} = \frac{2\sqrt{36 + 169 + 16}}{2\sqrt{9 + 4 + 4}} = \sqrt{13}.\(\frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB} \right\rbrack \right|}{\overrightarrow{AB}} = \frac{2\sqrt{36 + 169 + 16}}{2\sqrt{9 + 4 + 4}} = \sqrt{13}.\)

Vậy chọn A.

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH\(ABCD.EFGH\) có AB = a;\ \ AD = b;\ \ AE = c\(AB = a;\ \ AD = b;\ \ AE = c\) trong hệ trục Oxyz\(Oxyz\) sao cho A\(A\) trùng với O;\ \ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\(O;\ \ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\) lần lượt trùng với Ox,Oy,Oz\(Ox,Oy,Oz\). Gọi M,N,P\(M,N,P\) lần lượt là trung điểm BC,EF,DH\(BC,EF,DH\). Tính khoảng cách giữa NP\(NP\) và CG\(CG\).

A. \frac{2ab\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{a^{2} + 4b^{2}}\(\frac{2ab\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{a^{2} + 4b^{2}}\)                  B. abc\(abc\)                 C. \frac{\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{2ab}\(\frac{\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{2ab}\)                   D. \frac{c}{a}\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}\(\frac{c}{a}\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

N\left( \frac{a}{2},0,c \right);P\left( 0,b,\frac{c}{2} \right);C(a,b,0);G(a,b,c)\(N\left( \frac{a}{2},0,c \right);P\left( 0,b,\frac{c}{2} \right);C(a,b,0);G(a,b,c)\)

= > \overrightarrow{NP} = \left( - \frac{a}{2},b, - \frac{c}{2} \right);\overrightarrow{CG} = (0,0,c);\overrightarrow{PC} = \left( a,0, - \frac{c}{2} \right)\(= > \overrightarrow{NP} = \left( - \frac{a}{2},b, - \frac{c}{2} \right);\overrightarrow{CG} = (0,0,c);\overrightarrow{PC} = \left( a,0, - \frac{c}{2} \right)\)

= > \left\lbrack \overrightarrow{CG},\overrightarrow{NP} \right\rbrack = \left( - bc, - \frac{ac}{2},0 \right) = > \left| \left\lbrack \overrightarrow{CG},\overrightarrow{NP} \right\rbrack \right| = \frac{c}{2}\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}\(= > \left\lbrack \overrightarrow{CG},\overrightarrow{NP} \right\rbrack = \left( - bc, - \frac{ac}{2},0 \right) = > \left| \left\lbrack \overrightarrow{CG},\overrightarrow{NP} \right\rbrack \right| = \frac{c}{2}\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}\)

\left\lbrack\overrightarrow{CG},\overrightarrow{NP}\right\rbrack.\overrightarrow{PC} = - abc\(\left\lbrack\overrightarrow{CG},\overrightarrow{NP}\right\rbrack.\overrightarrow{PC} = - abc\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng NP và CG là:

d(NP,CG) =\frac{2ab\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{a^{2} + 4b^{2}}\(d(NP,CG) =\frac{2ab\sqrt{a^{2} + 4b^{2}}}{a^{2} + 4b^{2}}\).

4. Bài tập tự rèn luyện tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz

Bài 1. Trong không gian Oxyz\(Oxyz\),cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\) và

Từ khóa » Khoảng Cách Giữa Hai đường Thẳng Trong Không Gian