Khoảng Cách Giữa Các đường Xiên Là Một định Nghĩa.

Nuôi dạy con cái Cách xác định khoảng cách giữa các dòng. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng. Khoảng cách giữa các đường song song

Trong bài này, sự chú ý tập trung vào việc tìm khoảng cách giữa các đường xiên bằng phương pháp tọa độ. Đầu tiên, định nghĩa về khoảng cách giữa các đường xiên được đưa ra. Tiếp theo, một thuật toán thu được cho phép bạn tìm khoảng cách giữa các đường xiên. Kết luận, giải pháp của ví dụ được phân tích chi tiết.

Điều hướng trang.

Khoảng cách giữa các đường xiên là một định nghĩa.

Trước khi đưa ra định nghĩa về khoảng cách giữa các đường xiên, chúng ta cùng nhắc lại định nghĩa về đường xiên và chứng minh một định lý liên quan đến đường xiên.

Sự định nghĩa.

là khoảng cách giữa một trong các đường thẳng cắt nhau và một mặt phẳng song song với nó đi qua đường thẳng kia.

Lần lượt, khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó là khoảng cách từ một điểm nào đó trên đường thẳng đến mặt phẳng. Khi đó công thức định nghĩa khoảng cách giữa các đường xiên sau đây là hợp lệ.

Sự định nghĩa.

Khoảng cách giữa các đường giao nhau là khoảng cách từ điểm nào đó của một trong các đường xiên đến mặt phẳng đi qua đường thẳng kia song song với đường thẳng đầu tiên.

Xét các đường thẳng giao nhau a và b. Ta đánh dấu một điểm M 1 nào đó trên đường thẳng a, qua đường thẳng b ta kẻ mặt phẳng song song với đường thẳng a, từ điểm M 1 ta thả M 1 H 1 vuông góc lên mặt phẳng. Độ dài của đường vuông góc M 1 H 1 là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau - lý thuyết, ví dụ, lời giải.

Khi tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau, khó khăn chính thường nằm ở việc nhìn thấy hoặc xây dựng một đoạn có độ dài bằng khoảng cách cần thiết. Nếu một đoạn thẳng được xây dựng như vậy, thì tùy thuộc vào các điều kiện của bài toán, độ dài của nó có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng định lý Pitago, các dấu hiệu đẳng thức hoặc đồng dạng của các tam giác, v.v. Đây là thao tác mà chúng ta thực hiện khi tìm khoảng cách giữa các đường thẳng cắt nhau trong các bài học hình học lớp 10-11.

Nếu Oxyz được giới thiệu trong không gian ba chiều và các đường xiên a và b được đưa ra trong đó, thì phương pháp tọa độ cho phép thực hiện nhiệm vụ tính toán khoảng cách giữa các đường xiên đã cho. Hãy phân tích nó một cách chi tiết.

Gọi là mặt phẳng đi qua đường thẳng b, song song với đường thẳng a. Khi đó, khoảng cách mong muốn giữa hai đường thẳng giao nhau a và b, theo định nghĩa, bằng khoảng cách từ một điểm M 1 nào đó nằm trên đường thẳng a đến mặt phẳng. Như vậy, nếu ta xác định được tọa độ của điểm M 1 nào đó nằm trên đường thẳng a, và nhận được phương trình pháp tuyến của mặt phẳng ở dạng thì ta có thể tính được khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng công thức (công thức này được lấy trong bài tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng). Và khoảng cách này bằng khoảng cách mong muốn giữa các đường xiên.

Bây giờ chi tiết.

Nhiệm vụ được rút gọn là thu được tọa độ của điểm M 1 nằm trên đường thẳng a và tìm phương trình pháp tuyến của mặt phẳng.

Việc xác định toạ độ của điểm M 1 sẽ không gặp khó khăn gì nếu bạn biết rõ các dạng phương trình đường thẳng chính trong không gian. Nhưng nó là giá trị tập trung vào việc có được phương trình của máy bay chi tiết hơn.

Nếu ta xác định được tọa độ của điểm M 2 nào đó mà mặt phẳng đi qua thì ta được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có dạng , sau đó chúng ta có thể viết phương trình tổng quát của mặt phẳng là.

Là một điểm M 2, bạn có thể lấy bất kỳ điểm nào nằm trên đường thẳng b, vì mặt phẳng đi qua đường thẳng b. Như vậy, tọa độ của điểm M 2 có thể được coi là.

Nó vẫn còn để có được tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Hãy làm nó.

Mặt phẳng đi qua đường thẳng b và song song với đường thẳng a. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với cả vectơ chỉ phương của đường thẳng a (hãy kí hiệu nó) và vectơ chỉ phương của đường thẳng b (hãy kí hiệu nó). Sau đó, chúng ta có thể lấy và như một vectơ, nghĩa là,. Xác định được toạ độ và vectơ chỉ phương của các đường thẳng a, b và tính toán , chúng ta sẽ tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Vì vậy, chúng ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng:.

Nó vẫn chỉ là đưa phương trình tổng quát của mặt phẳng về dạng bình thường và tính khoảng cách mong muốn giữa các đường giao nhau a và b bằng công thức.

Theo cách này, để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng giao nhau a và b bạn cần:

Hãy xem một giải pháp ví dụ.

Ví dụ.

Trong không gian ba chiều hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho trước hai đường thẳng chéo nhau a và b. Dòng a được xác định

Oh-oh-oh-oh-oh ... ồ, nó nhỏ, như thể bạn đọc câu cho chính mình =) Tuy nhiên, sau đó thư giãn sẽ giúp ích, đặc biệt là vì hôm nay tôi đã mua phụ kiện phù hợp. Vì vậy, chúng ta hãy tiến hành phần đầu tiên, tôi hy vọng, đến cuối bài viết tôi sẽ giữ một tâm trạng vui vẻ.

Sự sắp xếp tương hỗ của hai đường thẳng

Trường hợp hội trường hát theo đồng ca. Hai dòng có thể:

1) trận đấu;

2) được song song :;

3) hoặc cắt nhau tại một điểm:.

Trợ giúp cho hình nộm : hãy nhớ dấu hiệu toán học của giao điểm, nó sẽ xảy ra rất thường xuyên. Mục nhập có nghĩa là đường thẳng giao với đường thẳng tại điểm.

Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng?

Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:

Hai đường thẳng trùng nhau nếu và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau, nghĩa là, có một số "lambda" mà các giá trị bằng nhau

Hãy xem xét các đoạn thẳng và lập ba phương trình từ các hệ số tương ứng:. Do đó, từ mỗi phương trình, các đường thẳng này trùng nhau.

Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình nhân với -1 (thay đổi dấu hiệu) và tất cả các hệ số của phương trình giảm đi 2, bạn nhận được cùng một phương trình:.

Trường hợp thứ hai khi các đường thẳng song song:

Hai đường thẳng song song nếu và chỉ khi hệ số của chúng tại các biến tỷ lệ với nhau: , Nhưng.

Ví dụ, hãy xem xét hai đường thẳng. Chúng tôi kiểm tra tỷ lệ của các hệ số tương ứng cho các biến:

Tuy nhiên, rõ ràng là.

Và trường hợp thứ ba, khi các đường cắt nhau:

Hai đường thẳng cắt nhau nếu và chỉ khi hệ số của các biến KHÔNG tỷ lệ thuận với nhau, nghĩa là KHÔNG có giá trị "lambda" như vậy mà các giá trị bằng nhau được đáp ứng

Vì vậy, đối với các đoạn thẳng, chúng ta sẽ tạo ra một hệ thống:

Từ phương trình đầu tiên, nó theo sau đó, và từ phương trình thứ hai: hệ thống không nhất quán(không có giải pháp). Như vậy, các hệ số tại các biến không tỷ lệ thuận với nhau.

Kết luận: các đường cắt nhau

Trong các bài toán thực tế, có thể sử dụng sơ đồ giải pháp vừa xem xét. Nhân tiện, nó rất giống với thuật toán kiểm tra độ thẳng hàng của vectơ mà chúng ta đã xem xét trong bài học. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ. Nhưng có một gói văn minh hơn:

ví dụ 1

Tìm vị trí tương đối của các dòng:

Giải pháp dựa trên việc nghiên cứu vectơ chỉ phương của đường thẳng:

a) Từ phương trình ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: .

, do đó các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.

Đề phòng trường hợp, tôi sẽ đặt một viên đá có con trỏ ở ngã tư đường:

Những người còn lại nhảy qua hòn đá và tiếp tục đi thẳng đến Kashchei the Deathless =)

b) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau, có nghĩa là chúng song song hoặc giống nhau. Ở đây yếu tố quyết định là không cần thiết.

Rõ ràng, các hệ số của ẩn số là tỷ lệ thuận, trong khi.

Hãy cùng tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không:

Theo cách này,

c) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Hãy tính định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này: , do đó, các vectơ hướng thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ số tỷ lệ "lambda" có thể dễ dàng nhìn thấy trực tiếp từ tỷ lệ của các vectơ hướng thẳng hàng. Tuy nhiên, nó cũng có thể được tìm thấy thông qua các hệ số của chính các phương trình: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem đẳng thức là đúng. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng 0, vì vậy:

Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này (bất kỳ số nào thường thỏa mãn nó).

Do đó, các dòng trùng với nhau.

Trả lời:

Rất nhanh chóng, bạn sẽ học (hoặc thậm chí đã học) cách giải quyết vấn đề được xem xét bằng lời nói theo nghĩa đen chỉ trong vài giây. Về vấn đề này, tôi thấy không có lý do gì để đưa ra một giải pháp độc lập nào đó, tốt hơn là nên đặt một viên gạch quan trọng hơn trong nền tảng hình học:

Làm thế nào để vẽ một đường thẳng song song với một đường cho trước?

Vì sự thiếu hiểu biết của nhiệm vụ đơn giản nhất này, Nightingale the Robber đã trừng phạt nghiêm khắc.

Ví dụ 2

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường thẳng song song đi qua điểm.

Giải pháp: Ký hiệu dòng chưa biết bằng chữ cái. Điều kiện nói gì về nó? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song, thì rõ ràng vectơ chỉ thị của đường thẳng "ce" cũng thích hợp để xây dựng đường thẳng "te".

Chúng tôi lấy ra véc tơ chỉ phương từ phương trình:

Trả lời:

Hình dạng của ví dụ trông đơn giản:

Xác minh phân tích bao gồm các bước sau:

1) Chúng ta kiểm tra xem các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau hay không (nếu phương trình của đường thẳng không được đơn giản hóa đúng cách, thì các véc tơ sẽ thẳng hàng).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả hay không.

Việc xác minh phân tích trong hầu hết các trường hợp đều dễ dàng thực hiện bằng lời nói. Nhìn vào hai phương trình và nhiều bạn sẽ nhanh chóng hình dung ra các đường thẳng song song như thế nào mà không cần hình vẽ.

Ví dụ để tự giải quyết ngày hôm nay sẽ là sáng tạo. Bởi vì bạn vẫn phải cạnh tranh với Baba Yaga, và cô ấy, bạn biết đấy, là một người yêu thích tất cả các loại câu đố.

Ví dụ 3

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng nếu

Có một cách giải quyết hợp lý và không hợp lý lắm. Cách ngắn nhất là ở cuối bài.

Chúng tôi đã làm một chút công việc với các đường thẳng song song và sẽ quay lại chúng sau. Trường hợp các đường trùng nhau ít được quan tâm, vì vậy chúng ta hãy xem xét một vấn đề mà bạn đã biết rõ từ chương trình giảng dạy ở trường:

Làm thế nào để tìm giao điểm của hai đường thẳng?

Nếu thẳng cắt nhau tại điểm, thì tọa độ của nó là nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm giao điểm của các đường? Giải quyết hệ thống.

Của bạn đây ý nghĩa hình học của hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số là hai đường thẳng cắt nhau (thường gặp nhất) trên một mặt phẳng.

Ví dụ 4

Tìm giao điểm của các đường

Giải pháp: Có hai cách để giải quyết - đồ họa và phân tích.

Cách đồ họa là chỉ cần vẽ các đường đã cho và tìm ra điểm giao nhau trực tiếp từ hình vẽ: Đây là quan điểm của chúng tôi:. Để kiểm tra, bạn nên thay thế tọa độ của nó vào mỗi phương trình của một đường thẳng, chúng phải phù hợp với cả ở đó và ở đó. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ. Trên thực tế, chúng tôi đã xem xét một cách đồ họa để giải quyết hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.

Phương pháp đồ họa, tất nhiên, không phải là xấu, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp 7 quyết định theo cách này, vấn đề là sẽ mất thời gian để vẽ chính xác và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đường không dễ dựng và bản thân điểm giao nhau có thể nằm ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài trang vở.

Do đó, việc tìm kiếm giao điểm bằng phương pháp phân tích sẽ thích hợp hơn. Hãy giải quyết hệ thống:

Để giải hệ thống, phương pháp bổ sung từng số hạng của các phương trình đã được sử dụng. Để phát triển các kỹ năng liên quan, hãy truy cập bài học Làm thế nào để giải một hệ thống phương trình?

Trả lời:

Việc xác minh là không đáng kể - tọa độ của giao điểm phải thỏa mãn mỗi phương trình của hệ thống.

Ví dụ 5

Tìm giao điểm của các đường nếu chúng cắt nhau.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Thật tiện lợi khi chia vấn đề thành nhiều giai đoạn. Phân tích điều kiện cho thấy rằng cần phải: 1) Viết phương trình của đường thẳng. 2) Viết phương trình của đường thẳng. 3) Tìm ra vị trí tương đối của các đường. 4) Nếu các đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.

Sự phát triển của một thuật toán hành động là điển hình cho nhiều bài toán hình học, và tôi sẽ nhiều lần tập trung vào vấn đề này.

Giải pháp đầy đủ và câu trả lời ở cuối hướng dẫn:

Một đôi giày vẫn chưa bị mòn, khi chúng ta đến phần thứ hai của bài học:

Đường thẳng vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.Góc giữa các dòng

Hãy bắt đầu với một nhiệm vụ điển hình và rất quan trọng. Trong phần đầu tiên, chúng ta đã học cách dựng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho, và bây giờ chòi trên chân gà sẽ quay 90 độ:

Làm thế nào để vẽ một đường vuông góc với một cho trước?

Ví dụ 6

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường trung trực đi qua một điểm.

Giải pháp: Nó được biết đến bởi giả định rằng. Sẽ rất hay nếu bạn tìm được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên mẹo rất đơn giản:

Từ phương trình, chúng ta "loại bỏ" vectơ pháp tuyến:, đó sẽ là vectơ chỉ đạo của đường thẳng.

Chúng ta lập phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ chỉ phương:

Trả lời:

Hãy mở bản phác thảo hình học:

Hừm ... Bầu trời cam, biển cam, lạc đà cam.

Xác minh phân tích của giải pháp:

1) Trích xuất các vectơ hướng từ các phương trình và với sự giúp đỡ sản phẩm chấm của các vectơ chúng tôi kết luận rằng các đường thực sự vuông góc:.

Nhân tiện, bạn có thể sử dụng các vectơ bình thường, nó thậm chí còn dễ dàng hơn.

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả không .

Việc xác minh, một lần nữa, rất dễ thực hiện bằng lời nói.

Ví dụ 7

Tìm giao điểm của các đường vuông góc, nếu biết phương trình và chấm.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Có một số hành động trong nhiệm vụ, vì vậy sẽ thuận tiện để sắp xếp giải pháp theo từng điểm.

Cuộc hành trình thú vị của chúng tôi vẫn tiếp tục:

Khoảng cách từ điểm đến dòng

Trước mắt chúng ta là một dải sông thẳng và nhiệm vụ của chúng ta là đạt được nó bằng con đường ngắn nhất. Không có chướng ngại vật và con đường tối ưu nhất sẽ là chuyển động dọc theo đường vuông góc. Tức là, khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng là độ dài của đoạn vuông góc.

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp "ro", ví dụ: - khoảng cách từ điểm "em" đến đường thẳng "de".

Khoảng cách từ điểm đến dòng được thể hiện bằng công thức

Ví dụ 8

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng

Giải pháp: tất cả những gì bạn cần là thay thế cẩn thận các số vào công thức và thực hiện các phép tính:

Trả lời:

Hãy thực hiện bản vẽ: Khoảng cách tìm được từ điểm đến đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng màu đỏ. Nếu bạn thực hiện một bản vẽ trên giấy ca rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (2 ô) thì có thể đo khoảng cách bằng thước thông thường.

Xem xét một nhiệm vụ khác theo bản vẽ tương tự:

Nhiệm vụ là tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm so với đoạn thẳng . Tôi đề xuất thực hiện các hành động của riêng bạn, tuy nhiên, tôi sẽ phác thảo thuật toán giải với kết quả trung gian:

1) Tìm một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng.

2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: .

Cả hai hành động được thảo luận chi tiết trong bài học này.

3) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Chúng ta biết tọa độ của điểm giữa và điểm cuối. Qua công thức cho tọa độ của đoạn giữa tìm thấy .

Sẽ không thừa nếu kiểm tra rằng khoảng cách cũng bằng 2,2 đơn vị.

Khó khăn ở đây có thể nảy sinh trong tính toán, nhưng trong tháp, một máy tính vi mô giúp ích rất nhiều, cho phép bạn đếm các phân số thông thường. Đã khuyên nhiều lần và sẽ giới thiệu lại.

Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?

Ví dụ 9

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Đây là một ví dụ khác cho một giải pháp độc lập. Một gợi ý nhỏ: có vô số cách để giải quyết. Sẽ thảo luận ở phần cuối của bài học, nhưng tốt hơn hãy thử tự đoán xem, tôi nghĩ bạn đã phân tán tốt sự khéo léo của mình.

Góc giữa hai đường

Dù ở góc nào, thì tiếng ồn ào: Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được coi là góc NHỎ HƠN, từ đó nó tự động theo đó không thể là góc tù. Trong hình vẽ, góc được chỉ ra bởi cung màu đỏ không được coi là góc giữa các đường cắt nhau. Và hàng xóm "xanh" của nó hoặc định hướng đối lập góc đỏ thẫm.

Nếu các đường thẳng vuông góc thì có thể lấy góc bất kỳ trong 4 góc làm góc giữa chúng.

Các góc khác nhau như thế nào? Định hướng. Đầu tiên, hướng "cuộn" góc về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, một góc định hướng âm được viết với một dấu trừ, ví dụ, nếu.

Tại sao tôi lại nói điều này? Có vẻ như bạn có thể hiểu được bằng khái niệm thông thường về một góc. Thực tế là trong các công thức mà chúng ta sẽ tìm các góc, có thể dễ dàng thu được kết quả âm và điều này sẽ không làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ không tệ hơn và có một ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trong hình vẽ đối với một góc âm, bắt buộc phải chỉ ra hướng của nó (theo chiều kim đồng hồ) bằng một mũi tên.

Làm thế nào để tìm góc giữa hai đường thẳng? Có hai công thức làm việc:

Ví dụ 10

Tìm góc giữa các đường

Giải pháp Và Phương pháp một

Xét hai đường thẳng cho bởi phương trình ở dạng tổng quát:

Nếu thẳng không vuông góc, sau đó định hướng góc giữa chúng có thể được tính bằng công thức:

Chúng ta hãy chú ý đến mẫu số - đây chính xác là sản phẩm vô hướng vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Nếu, thì mẫu số của công thức biến mất, và các vectơ sẽ trực giao và các đường thẳng sẽ vuông góc. Đó là lý do tại sao một bảo lưu đã được thực hiện về tính không vuông góc của các đường trong công thức.

Dựa trên những điều đã nói ở trên, giải pháp được chính thức hóa một cách thuận tiện theo hai bước:

1) Tính tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng: nên các đường thẳng không vuông góc.

2) Ta tìm góc giữa các đường bằng công thức:

Sử dụng hàm nghịch đảo, có thể dễ dàng tìm được góc chính nó. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng độ lẻ của tiếp tuyến cung (xem Hình. Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản):

Trả lời:

Trong câu trả lời, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác, cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là cả độ và radian), được tính bằng máy tính.

Chà, trừ, vậy trừ, không sao. Đây là một minh họa hình học: Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc hóa ra là một hướng âm, bởi vì trong điều kiện của bài toán, con số đầu tiên là một đường thẳng và sự "xoắn" của góc bắt đầu chính xác từ nó.

Nếu bạn thực sự muốn nhận được một góc dương, bạn cần phải hoán đổi các đoạn thẳng, tức là, lấy các hệ số từ phương trình thứ hai , và lấy các hệ số từ phương trình đầu tiên. Tóm lại, bạn cần bắt đầu với một .

Cùng với một điểm và một mặt phẳng. Đây là một hình vô cực có thể kết nối hai điểm bất kỳ trong không gian. Một đoạn thẳng luôn thuộc một mặt phẳng nào đó. Dựa vào vị trí của hai đường thẳng, nên sử dụng các phương pháp khác nhau để tìm khoảng cách giữa chúng.

Có ba lựa chọn cho vị trí của hai đường trong không gian so với nhau: chúng song song, cắt nhau hoặc. Phương án thứ hai chỉ thực hiện được nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng, không loại trừ thuộc hai mặt phẳng song song. Tình huống thứ ba nói rằng các đường thẳng nằm trong các mặt phẳng song song khác nhau.

Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, bạn cần xác định độ dài đoạn vuông góc nối chúng tại hai điểm bất kỳ. Vì các đường thẳng có hai tọa độ giống nhau, theo định nghĩa về độ song song của chúng, phương trình của các đường trong không gian tọa độ hai chiều có thể được viết như sau: L1: a x + b y + c = 0; L2: a x + b y + d = 0. Sau đó, bạn có thể tìm độ dài của đoạn bằng công thức: s = | c - d | / √ (a² + b²), và dễ dàng thấy rằng tại C = D, tức là trùng của các đường thẳng, khoảng cách sẽ bằng không.

Rõ ràng là khoảng cách giữa các đường giao nhau trong các tọa độ hai chiều là không có ý nghĩa. Nhưng khi chúng nằm trong các mặt phẳng khác nhau, nó có thể được tìm thấy là độ dài của một đoạn nằm trong mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng đó. Các đầu của đoạn thẳng này sẽ là các điểm là hình chiếu của hai điểm bất kỳ của đường thẳng lên mặt phẳng này. Nói cách khác, độ dài của nó bằng khoảng cách giữa các mặt phẳng song song chứa các đường thẳng này. Do đó, nếu các mặt phẳng được cho bởi các phương trình tổng quát: α: A1 x + B1 y + C1 z + E = 0, β: A2 x + B2 y + C2 z + F = 0, khoảng cách giữa các dòng có thể được cho bởi công thức: s = | E - F | / √ (| А1 А2 | + В1 В2 + С1 С2).

Ghi chú

Đường thẳng nói chung và các đường thẳng cắt nhau nói riêng được không chỉ các nhà toán học quan tâm. Các đặc tính của chúng rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực khác: trong xây dựng và kiến ​​trúc, trong y học và trong bản thân tự nhiên.

Mẹo 2: Cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Xác định khoảng cách giữa hai đối tượng trong một hoặc nhiều mặt phẳng là một trong những công việc phổ biến nhất trong hình học. Sử dụng các phương pháp thông thường, bạn có thể tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Hướng dẫn

Đường thẳng song song là những đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau hoặc trùng nhau. Để tìm khoảng cách giữa các đường thẳng song song, ta nên chọn một điểm tùy ý trên một trong số chúng, rồi hạ đường vuông góc với đường thẳng thứ hai. Bây giờ nó vẫn chỉ để đo độ dài của đoạn kết quả. Độ dài của đoạn vuông góc nối hai đường thẳng song song sẽ là khoảng cách giữa chúng.

Chú ý đến thứ tự vẽ đường vuông góc từ đường thẳng song song này sang đường thẳng song song khác, vì độ chính xác của khoảng cách tính được phụ thuộc vào điều này. Để làm điều này, sử dụng công cụ vẽ "tam giác" với một góc vuông. Chọn một điểm trên một trong các đường thẳng, gắn vào đó một trong các cạnh của tam giác kề với góc vuông (chân), và căn chỉnh cạnh kia với đường thẳng kia. Với bút chì nhọn, vẽ một đường dọc theo chân đầu tiên để nó tiếp cận với đường thẳng đối diện.

Video hướng dẫn này sẽ hữu ích cho những ai muốn nghiên cứu độc lập chủ đề “Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng. Khoảng cách giữa các đường thẳng song song. Trong bài học, bạn sẽ học cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng. Sau đó giáo viên sẽ đưa ra định nghĩa về khoảng cách giữa các đường thẳng song song.

Trong bài học này, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm "khoảng cách" nói chung. Chúng tôi cũng chỉ rõ khái niệm này trong trường hợp máy tính khoảng cách giữa hai điểm, một điểm và một đường thẳng, các đường thẳng song song

Xét hình 1. Cho 2 điểm A và B. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là một đoạn thẳng có đầu mút tại các điểm cho trước, tức là đoạn AB.

Cơm. 1. AB - khoảng cách giữa các điểm

Đáng chú ý là khoảng cách không thể được coi là một đường cong hoặc một đường đứt đoạn nối hai điểm. Khoảng cách là đường đi ngắn nhất từ ​​điểm này đến điểm khác. Đoạn thẳng AB là đoạn thẳng nhỏ nhất trong tất cả các đoạn thẳng có thể nối hai điểm A và B

Hãy xem xét Hình 2, cho thấy một đường thẳng Nhưng, và điểm A không nằm trên đường thẳng cho trước. Khoảng cách từ điểm NHƯNG Thẳng sẽ là độ dài của AN vuông góc.

Cơm. 2. AN - khoảng cách giữa một điểm và một đoạn thẳng

Điều quan trọng cần lưu ý là AN là khoảng cách ngắn nhất, vì trong tam giác AMN đoạn này là chân và đoạn khác tùy ý nối điểm A và đoạn thẳng Nhưng(trong trường hợp này là AM) sẽ là cạnh huyền. Như bạn đã biết, chân luôn nhỏ hơn cạnh huyền.

Ký hiệu khoảng cách:

Xem xét những đường thẳng song song a và b trong hình 3

Cơm. 3. Các đường thẳng song song a và b

Sửa hai điểm trên một dòng Một và thả các đường vuông góc từ chúng vào một đường thẳng song song với nó b. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nếu,

Hãy vẽ đoạn thẳng AM để thuận tiện cho việc chứng minh. Xét các tam giác AVM và ANM. Kể từ, và, sau đó. Tương tự,. Cho tam giác vuông này (), cạnh AM là chung. Nó là cạnh huyền trong cả hai tam giác. Các góc AMH và AMB nằm trong chéo nhau với các đường thẳng AB, HM song song và cắt AM. Bởi một tài sản nổi tiếng, .

Từ tất cả những điều trên, nó theo sau rằng . Từ đẳng thức của tam giác mà AN = VM

Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh rằng trong hình 3 các đoạn AN và VM bằng nhau. Nó có nghĩa là khoảng cách giữa các đường song song là độ dài của đường vuông góc chung của chúng, và việc chọn đường vuông góc có thể tùy ý. Theo cách này,

Điều ngược lại cũng đúng: tập hợp các điểm có cùng khoảng cách từ một số đường thẳng tạo thành một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Cùng củng cố kiến ​​thức, giải một số bài toán

ví dụ 1: Bài toán 272 từ SGK "Hình học 7-9". Tác giả - Atanasyan L.S.

Đường phân giác AD được vẽ trong tam giác đều ABC. Khoảng cách từ điểm D đến đoạn thẳng AC là 6 cm Tìm khoảng cách từ điểm A đến đoạn thẳng BC

Cơm. 4. Vẽ ví dụ 1

Giải pháp:

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau (và do đó có ba góc bằng nhau, nghĩa là mỗi góc 60 0). Tam giác đều là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân, vì vậy tất cả các tính chất vốn có của tam giác cân đều được áp dụng cho tam giác đều. Do đó AD không chỉ là tia phân giác mà còn là đường cao nên AD ⊥BC

Vì khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là độ dài của đường vuông góc hạ từ điểm D xuống đường thẳng AC nên DH là khoảng cách đã cho. Xét tam giác AD. Trong đó, góc H \ u003d 90 0, vì DH vuông góc với AC (bằng cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng). Ngoài ra, trong tam giác này, chân DH nằm đối diện với góc nên AD = (cm) (Theo tính chất)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là độ dài của đường vuông góc hạ xuống đường thẳng BC. Do đó AD ⊥BC đã được chứng minh.

Đáp số: 12 cm.

Ví dụ 2: Giải bài 277 từ SGK "Hình học 7-9". Tác giả - Atanasyan L.S.

Khoảng cách giữa các đường thẳng song song a và b là 3 cm và khoảng cách giữa các đường thẳng song song a và c là 5 cm Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng song song b và c

Giải pháp:

Cơm. 5. Vẽ ví dụ 2 (trường hợp đầu tiên)

Từ đó = 5 - 3 = 2 (cm).

Tuy nhiên, câu trả lời này là không đầy đủ. Có một tùy chọn khác để sắp xếp các đường trên một mặt phẳng:

Cơm. 6. Vẽ ví dụ 2 (trường hợp thứ hai)

Trong trường hợp này .

1. Một bộ sưu tập tài nguyên giáo dục kỹ thuật số duy nhất ().
2. Gia sư toán ().

1. Số 280, 283. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I., do Tikhonov A. N. chủ biên Hình học lớp 7-9. M.: Khai sáng. 2010
2. Tổng cạnh huyền CE và chân SK của tam giác vuông SKE là 31 cm và hiệu của chúng là 3 cm Tìm khoảng cách từ đỉnh C đến đường thẳng KE
3. Dựa vào AB của tam giác cân ABC lấy điểm M cách đều các cạnh. Chứng minh rằng CM là đường cao của tam giác ABC
4. Chứng minh rằng tất cả các điểm của mặt phẳng nằm trên cùng một phía của một đường thẳng cho trước và cách đều nó nằm trên một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước.

Video hướng dẫn này sẽ hữu ích cho những ai muốn nghiên cứu độc lập chủ đề “Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng. Khoảng cách giữa các đường thẳng song song. Trong bài học, bạn sẽ học cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng. Sau đó giáo viên sẽ đưa ra định nghĩa về khoảng cách giữa các đường thẳng song song.

Trong bài học này, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm "khoảng cách" nói chung. Chúng tôi cũng chỉ rõ khái niệm này trong trường hợp máy tính khoảng cách giữa hai điểm, một điểm và một đường thẳng, các đường thẳng song song

Xét hình 1. Cho 2 điểm A và B. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là một đoạn thẳng có đầu mút tại các điểm cho trước, tức là đoạn AB.

Cơm. 1. AB - khoảng cách giữa các điểm

Đáng chú ý là khoảng cách không thể được coi là một đường cong hoặc một đường đứt đoạn nối hai điểm. Khoảng cách là đường đi ngắn nhất từ ​​điểm này đến điểm khác. Đoạn thẳng AB là đoạn thẳng nhỏ nhất trong tất cả các đoạn thẳng có thể nối hai điểm A và B

Hãy xem xét Hình 2, cho thấy một đường thẳng Nhưng, và điểm A không nằm trên đường thẳng cho trước. Khoảng cách từ điểm NHƯNG Thẳng sẽ là độ dài của AN vuông góc.

Cơm. 2. AN - khoảng cách giữa một điểm và một đoạn thẳng

Điều quan trọng cần lưu ý là AN là khoảng cách ngắn nhất, vì trong tam giác AMN đoạn này là chân và đoạn khác tùy ý nối điểm A và đoạn thẳng Nhưng(trong trường hợp này là AM) sẽ là cạnh huyền. Như bạn đã biết, chân luôn nhỏ hơn cạnh huyền.

Ký hiệu khoảng cách:

Xem xét những đường thẳng song song a và b trong hình 3

Cơm. 3. Các đường thẳng song song a và b

Sửa hai điểm trên một dòng Một và thả các đường vuông góc từ chúng vào một đường thẳng song song với nó b. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nếu,

Hãy vẽ đoạn thẳng AM để thuận tiện cho việc chứng minh. Xét các tam giác AVM và ANM. Kể từ, và, sau đó. Tương tự,. Cho tam giác vuông này (), cạnh AM là chung. Nó là cạnh huyền trong cả hai tam giác. Các góc AMH và AMB nằm trong chéo nhau với các đường thẳng AB, HM song song và cắt AM. Bởi một tài sản nổi tiếng, .

Từ tất cả những điều trên, nó theo sau rằng . Từ đẳng thức của tam giác mà AN = VM

Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh rằng trong hình 3 các đoạn AN và VM bằng nhau. Nó có nghĩa là khoảng cách giữa các đường song song là độ dài của đường vuông góc chung của chúng, và việc chọn đường vuông góc có thể tùy ý. Theo cách này,

Điều ngược lại cũng đúng: tập hợp các điểm có cùng khoảng cách từ một số đường thẳng tạo thành một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Cùng củng cố kiến ​​thức, giải một số bài toán

ví dụ 1: Bài toán 272 từ SGK "Hình học 7-9". Tác giả - Atanasyan L.S.

Đường phân giác AD được vẽ trong tam giác đều ABC. Khoảng cách từ điểm D đến đoạn thẳng AC là 6 cm Tìm khoảng cách từ điểm A đến đoạn thẳng BC

Cơm. 4. Vẽ ví dụ 1

Giải pháp:

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau (và do đó có ba góc bằng nhau, nghĩa là mỗi góc 60 0). Tam giác đều là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân, vì vậy tất cả các tính chất vốn có của tam giác cân đều được áp dụng cho tam giác đều. Do đó AD không chỉ là tia phân giác mà còn là đường cao nên AD ⊥BC

Vì khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là độ dài của đường vuông góc hạ từ điểm D xuống đường thẳng AC nên DH là khoảng cách đã cho. Xét tam giác AD. Trong đó, góc H \ u003d 90 0, vì DH vuông góc với AC (bằng cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng). Ngoài ra, trong tam giác này, chân DH nằm đối diện với góc nên AD = (cm) (Theo tính chất)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là độ dài của đường vuông góc hạ xuống đường thẳng BC. Do đó AD ⊥BC đã được chứng minh.

Đáp số: 12 cm.

Ví dụ 2: Giải bài 277 từ SGK "Hình học 7-9". Tác giả - Atanasyan L.S.

Khoảng cách giữa các đường thẳng song song a và b là 3 cm và khoảng cách giữa các đường thẳng song song a và c là 5 cm Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng song song b và c

Giải pháp:

Cơm. 5. Vẽ ví dụ 2 (trường hợp đầu tiên)

Từ đó = 5 - 3 = 2 (cm).

Tuy nhiên, câu trả lời này là không đầy đủ. Có một tùy chọn khác để sắp xếp các đường trên một mặt phẳng:

Cơm. 6. Vẽ ví dụ 2 (trường hợp thứ hai)

Trong trường hợp này .

1. Một bộ sưu tập tài nguyên giáo dục kỹ thuật số duy nhất ().
2. Gia sư toán ().

1. Số 280, 283. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I., do Tikhonov A. N. chủ biên Hình học lớp 7-9. M.: Khai sáng. 2010
2. Tổng cạnh huyền CE và chân SK của tam giác vuông SKE là 31 cm và hiệu của chúng là 3 cm Tìm khoảng cách từ đỉnh C đến đường thẳng KE
3. Dựa vào AB của tam giác cân ABC lấy điểm M cách đều các cạnh. Chứng minh rằng CM là đường cao của tam giác ABC
4. Chứng minh rằng tất cả các điểm của mặt phẳng nằm trên cùng một phía của một đường thẳng cho trước và cách đều nó nằm trên một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước.