Khoảng Cách Giữa Hai đường Thẳng Chéo Nhau: Phương Pháp 3

Có thể bạn quan tâm

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 6: Hình học > Chương 3: Vector và Quan hệ vuông góc > Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Phương pháp 3

Thảo luận trong 'Chương 3: Vector và Quan hệ vuông góc' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT
Tham gia ngày: 16/11/14 Bài viết: 4,633 Đã được thích: 282 Điểm thành tích: 83 Giới tính: Nam
Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Ta xét 2 trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: $Δ$ và $Δ’$ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau + Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α)$ chứa $Δ’$ và vuông góc với $Δ$ tại $I.$ + Bước 2: Trong mặt phẳng $(α)$ kẻ $IJ \bot \Delta’$. Khi đó $IJ$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$, và $d(\Delta ,\Delta’) = IJ$. Ví dụ 4: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh bằng $a$. Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD’$ và $A’B’$ bằng bao nhiêu? Ta có $A’B’ \bot \left( {ADD’A’} \right).$ Gọi $H$ là giao điểm của $AD’$ với $A’D$. Vì $ADD’A’$ là hình vuông nên $A’H \bot AD’.$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l} A’H \bot AD’\\ A’H \bot A’B’ \end{array} \right.$, suy ra $A’H$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AD’$ và $A’B’.$ $d\left( {A’B’;AD’} \right) = A’H = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$ 2. Trường hợp 2: $Δ$ và $Δ’$ chéo nhau mà KHÔNG vuông góc với nhau Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$ theo một trong hai cách sau đây: Cách 1: + Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α)$ chứa $Δ’$ và song song với $Δ.$ + Bước 2: Dựng $d$ là hình chiếu vuông góc của $Δ$ xuống $(α)$ bằng cách lấy điểm $M \in \Delta $ dựng đoạn $MN \bot \left( \alpha \right)$, lúc đó $d$ là đường thẳng đi qua $N$ và và song song với $Δ.$ + Bước 3: Gọi $H = d \cap \Delta’$, dựng $HK\parallel MN$. Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung của $Δ$ và $Δ’$, và $d(\Delta ,\Delta’) = HK = MN$. Cách 2: + Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α) ⊥ Δ$ tại $I.$ + Bước 2: Tìm hình chiếu $d$ của $Δ’$ xuống mặt phẳng $(α).$ + Bước 3: Trong mặt phẳng $(α)$, dựng $IJ \bot d$, từ $J$ dựng đường thẳng song song với $Δ$ cắt $Δ’$ tại $H$, từ $H$ dựng $HM\parallel IJ$. Khi đó $HM$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$, và $d(\Delta ,\Delta ‘) = HM = IJ$. Ví dụ 5: Cho hình chóp $SABC$ có $SA = 2a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB = a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$ 1. Hãy dựng đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$ 2. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$ 1. Để dựng đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC$ ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, suy ra: $BC//MN \Rightarrow BC//\left( {SMN} \right).$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} MN \bot AB\\ MN \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot \left( {SAB} \right).$ $\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SN.$ Hạ $BH \bot SN \Rightarrow BH \bot \left( {SMN} \right).$ Từ $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$. Từ $E$ dựng $Ey$ song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F$. Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$ Cách 2: Nhận xét rằng: $\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).$ Do đó $(SAB)$ chính là mặt phẳng qua $B$ thuộc $BC$ và vuông góc với $BC.$ Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ suy ra: $MN//BC \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)$. Suy ra $MN$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ trên $(SAB).$ Hạ $BH \bot SN \Rightarrow BH \bot \left( {SMN} \right)$. Từ $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$. Từ $E$ dựng $Ey$ song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F.$ Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$ 2. Nhận xét rằng tam giác $SAN$ và tam giác $BHN$ là $2$ tam giác vuông có $2$ góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng, suy ra: $\frac{{BH}}{{SA}} = \frac{{BN}}{{SN}} \Rightarrow BH = \frac{{SA.BN}}{{SN}}.$ Trong đó: $BN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.$ $S{N^2} = S{A^2} + A{N^2}$ $ = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{17{a^2}}}{4}$ $ \Rightarrow SN = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}.$ Suy ra: $BH = \frac{{2a.\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {17} }}{2}}} = \frac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}.$ Vậy khoảng cách giữa $SM$ và $BC$ bằng $\frac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}$.

Bài viết mới nhất
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Phương pháp 306/12/2018
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Phương pháp 206/12/2018
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Phương pháp 106/12/2018
- Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng06/12/2018
- Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau06/12/2018
Tăng Giáp, 6/12/18 #1