Khoảng Tăng-Giảm Của Hàm Số (hoặc Tính Đơn Điệu Của Hàm Số)

Khoảng Tăng-Giảm Của Hàm Số (hoặc Tính Đơn Điệu Của Hàm Số)

Xét đơn điệu của hàm số tức là xét những khoảng tăng hay giảm của hàm số.

Định nghĩa

Hàm số f gọi là tăng trong khoảng (a;b) nếu mọitùy ý thuộc khoảng đó mà.

Hàm số f gọi là giảm trong khoảng (a;b) nếu mọitùy ý thuộc khoảng đó mà.

Chú ý: người ta gọi hàm tăng là hàm đồng biến còn hàm giảm là hàm nghịch biến.

Từ định nghĩa, ta nhận thấy thấy rằng một hàm số tăng nếu x di chuyển về bên tay phải và đồ thị của hàm số f hướng lên; cũng trong trường hợp này, đồ thị hướng xuống là hàm giảm.Ta xem Hình 1, hàm giảm trong khoảng, hàm không đổi trong khoảng (a;b) và hàm tăng trong khoảng.Từ nhận xét trên, người ta phát biểu định lý cần và đủ để hàm số tăng hay giảm được mô tả dưới đây.

Hình 1

Định Lý

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm thuộc khoảng (a;b).Ta có điều kiện cần của tính đơn điệu:

1.Nếu f tăng trong trên đoạn [a;b], thìvới mọi x thuộc khoảng (a;b).

2.Nếu f giảm trong trên đoạn [a;b], thìvới mọi x thuộc khoảng (a;b).

3.Nếu f là hằng số trên đoạn [a;b], thì f ‘(x) = 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b).

Đảo lại, điều kiện đủ của tính đơn điệu:

1.Nếu f ‘(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a; b) thì f tăng trên đoạn [a;b].

2.Nếu f ‘(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a; b) thì f giảm trên đoạn [a;b].

3.Nếu f ‘(x) = 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì f là hằng số trong đoạn [a;b].

Từ định lý trên đây sẽ giúp ta giải bài tập tìm những khoảng tăng hoặc giảm của hàm số f trên miền xác định D hay R.Cách thức tìm những khoảng đơn điệu (tăng hoặc giảm) của hàm số f trong khoảng (a;b) theo những bước sau:

a.Định giá trị của f(a) và f(b).

b.Xác định dấu của f ‘(x) trong khoảng (a;b). (lập bảng để xét dấu đạo hàm)

c.Dùng định lý ở trên để xác định tăng hoặc giảm của hàm sô f trong khoảng (a;b).

Thí dụ: Tìm khoảng tăng-giảm của hàm số.

Miền xác định: D = R. Đạo hàm: . (Chú ý: các mũi tên hoặcchỉ sự tăng hoặc giảm trên khoảng tương ứng.)

Bảng biến thiên:

Ngoài ra, một hàm số f mà(dấu đạo hàm không thay đổi) trên miền xác định gọi là hàm tăng dần [1*]; một hàm số f màtrên miền xác địnhgọi là hàm giảm dần.

Thí dụ: Xét đơn điệu (tăng-giảm) của hàm số.

Miền xác định: D = R. Đạo hàm: . Vì dấu đạo hàm luôn dương, hàm số tăng dần trên miền xác định.

Bảng biến thiên:

Thí dụ: Xét tăng-giảm của hàm số .

Miền xác định: D = R\ {2}. Đạo hàm: . . (Phần đọc thêm, bạn có thể xem hình vẽ đồ thị của hàm này ở đây để đối chiếu tăng-giảm theo bảng biến thiên.Ta sẽ khảo sát cách vẽ đồ thị ở phần kế tiếp).

Bảng biến thiên:

Tiếp theo

Trở về Toán Trực Tuyến

[1*] Hàm tăng hay giảm dần lấy từ chữ “monotonic function”.Một hàm số f(x) gọi là Monotonic function nếu đạo hàm của nó không đổi dấu với mọi x trên toàn miền xác định R.

Copyright 2005- http://toantructuyen.seriesmathstudy.com. All rights reserved. Contact us. Ghi rõ nguồn "http://toantructuyen.seriesmathstudy.com" khi bạn đăng lại thông tin từ website này.