Khối đa Diện - Giải Bài Tập SGK Toán 12

5/5 - (7 bình chọn)

Bài học hôm nay, các em sẽ được làm quen với một loại hình trong lớp 12, đó là Khối đa diện. Khối đa diện nghe thì có vẻ chứa rất nhiều diện rồi phải không nào? Bài học này sẽ có nhiều khái niệm cần các em nắm rõ, tránh nhầm lẫn. Sau đây, Toppy xin chia sẻ những kiến thức về khối đa diện, mong rằng đây sẽ là nguồn tư liệu để các em có thể trau dồi và củng cố kiến thức cùng với đó là làm được các bài tập có liên quan.

Table of Contents

Toggle

• Mục tiêu bài học Khối đa diện
• Lý thuyết cần nắm bài Khối đa diện
  • 1. Khối lăng trụ và khối chóp
  • 2. Khái niệm khối đa diện và hình đa diện
    • a. Khái niệm về hình đa diện
    • b. Khái niệm về khối đa diện
  • 2. Hai đa diện bằng nhau
    • a. Phép dời hình trong không gian
    • b. Hai hình bằng nhau
  • 4. Phân chia lắp ghép khối đa diện
• Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa bài Khối đa diện
  • Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):
  • Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):
  • Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):
• Lời kết

Mục tiêu bài học Khối đa diện

Sau khi học xong buổi học hôm nay, các bạn cần nắm được các kiến thức, kĩ năng sau:

• Nắm rõ công thức tính thể tích của hình lập phương.
• Vận dụng công thức tính để làm các bài tập liên quan.

Lý thuyết cần nắm bài Khối đa diện

Sau đây là những kiến thức quan trọng nhất trong bài học, các bạn cố gắng hiểu rõ lý thuyết trước khi làm bài tập nhé!

1. Khối lăng trụ và khối chóp

Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy.

Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.

Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.

Tên của khối lăng trụ, hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.

Ví dụ: Ứng với hình lăng trụ ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ là khối lăng trụ ABCDEF.A′B′C′D′E′F′. Ứng với hình chóp tứ giác S.ABCD là khối chóp S.ABCD.

Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy…của một hình lăng trụ (hình chóp, hay chóp cụt) theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy… của khối lăng trụ (khối chóp hay khối chóp cụt) tương ứng.

Điểm không thuộc khối lăng trụ gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ, điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ. Điểm trong hay điểm ngoài của khối chóp cũng được định nghĩa tương tự.

2. Khái niệm khối đa diện và hình đa diện

a. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

✨ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

✨ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.

Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện

b. Khái niệm về khối đa diện

✨ Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

✨ Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp tất cả các điểm ngoài gọi là miền ngoài của khối đa diện.

✨ Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó.

Ví dụ: 

Các hình dưới đây là những khối đa diện:

Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:

2. Hai đa diện bằng nhau

a. Phép dời hình trong không gian

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M′ xác định duy nhất được gọi là phép biến hình trong không gian.

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

Ví dụ: Trong không gian, các phép biến hình sau là những phép dời hình

a. Phép tịnh tiến theo vecto là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho vecto MM′→=v

⃗

b. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M′ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM′.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).

d. Phép đối xứng qua đường thẳng d, là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M′ sao cho d là trung trực của MM′.

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).

Nhận xét:

Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

Phép dời hình biến đa diện (H)thành đa diện (H′), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt của (H′)

b. Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Ví dụ: Phép tịnh tiến theo   biến đa diện (H) thành đa diện (H′), phép đối xứng tâm (O)biến đa diện (H′) thành đa diện (H′′). Từ đó suy ra các đa diện (H), (H′), (H′′) bằng nhau.

4. Phân chia lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1),(H2), sao cho (H1) và (H2) không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H) .

Ví dụ:

Xét khối lập phương ABCD.A′B′C′D′. Mặt phẳng (P) đi qua BDD′B′ cắt khối lập phương đó theo một thiết diện là hình chữ nhật BDD′B′. Thiết diện này chia các điểm còn lại của khối lập phương ra hai phần. Mỗi phần cùng với hình chữ nhật BDD′B′ tạo thành một khối lăng trụ. Mỗi khối lăng trụ lại được chia thành ba khối tứ diện. Như vậy khối lập phương ABCD.A′B′C′D′ có thể được chia thành sáu khối tứ diện.

Nếu vẫn còn băn khoăn về phần lý thuyết đã học, các bạn có thể tham khảo thêm video bài học Toán của thầy giáo vô cùng dễ mến đến từ Toppy để hiểu bài học hơn nhé!

Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa bài Khối đa diện

Bài tập sách giáo khoa được biên soạn rất sát kiến thức đã học, các bạn hãy tự trình bày các bài tập vào vở rồi kiểm tra lại cùng đáp án của cô nhé!

Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):

Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.

Lời giải:

Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):

Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Lời giải:

Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1;

⇒ Diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt).

Gọi tâm các mặt lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.

⇒ (H’) là bát diện đều EMNPQF.

+ EM là đường trung bình của ΔBA’D

⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng 

⇒ Diện tích một mặt của (H’) là:

⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là:

Vậy tỉ số diện tích cần tính là:

Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều.

Lời giải:

Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):

Cho hình bát diện đều ABCDEF.

Chứng minh rằng:

a)Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b)ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.

Lời giải:

Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.

a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF

Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a)

⇒ BCDE là hình thoi

⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.

Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC

⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông.

Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.

Sau khi làm hết bài tập, các bạn so với đáp án của cô xem đã làm đúng chưa nha. Nếu vẫn còn sai thì hãy xem lại phần lý thuyết rồi làm bài lại nhé!

Lời kết

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Đây là khái niệm về khối đa diện mà chủ đề ngày hôm nay các em được học, xoay quanh đó là những khái niệm có liên quan và tính chất của đa diện, vì vậy các em hãy đọc thật kỹ bài học để nắm rõ ngay lý thuyết nhé! Bài học sẽ dễ dàng hơn khi các em nắm chắc được lý thuyết để áp dụng vào các bài tập. Hãy chăm chỉ rèn luyện ngay nhé! Ngoài ra, các emcó thể truy cập vào trang web Toppy. 

Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày. 

Chúc các bạn sẽ thành công trong việc làm chủ môn Giải tích 11 và đạt thật nhiều điểm thưởng.