Khối Tròn Xoay – Wikipedia Tiếng Việt

Có hai phương pháp phổ biến nhằm tìm thể tích khối tròn xoay là phương pháp đĩa và phương pháp tích phân phân vỏ. Để áp dụng các phương pháp này, cách dễ nhất là vẽ đồ thị xác định đường cong; tìm diện tích nó chứa mà sẽ được quay quanh trục; sau đó xác định thể tích bằng nhát cắt dạng đĩa của khối, với độ dày bằng δx, hoặc bằng vỏ trụ với bề rộng δx; sau đó tìm giới hạn của tổng các nguyên tố thể tích này khi δx tiến tới 0, mà giá trị có thể tìm được bằng cách tính tích phân.

Phương pháp đĩa

sửa

 

Bài chi tiết: Tích phân đĩa

Phương pháp đĩa được sử dụng khi nhát cắt vẽ ra vuông góc với trục quay; nghĩa là khi thực hiện tích phân song song với trục quay.

Thể tích của khối tròn xoay hình thành bằng cách quay miền diện tích giới hạn bởi các đường cong f(x) và g(x) và các đường thẳng x = a và x = b quanh trục x xác định bằng

V = π ∫ a b | f ( x ) 2 − g ( x ) 2 | d x . {\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx\,.}  

Nếu g(x) = 0 (ví dụ xoay một đường cong quanh trục x), công thức thu gọn thành:

V = π ∫ a b f ( x ) 2 d x . {\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\,.}  

Có thể hình dung phương pháp này bằng cách coi một hình chữ nhật nhỏ nằm ngang ở tọa độ y giữa f(y) nằm trên và g(y) nằm ở dưới, và quay nó xung quanh trục y; khi đó nó tạo thành một vòng xuyến (hoặc đĩa trong trường hợp g(y) = 0), với bán kính ngoài bằng f(y) và bán kính trong bằng g(y). Diện tích của vòng bằng π(R2 − r2), với R là bán kính ngoài (trong trường hợp f(y)), và r là bán kính trong (trong trường hợp g(y)). Thể tích của mỗi đĩa vô cùng bé do đó bằng πf(y)2 dy. Giới hạn của tổng Riemann của thể tích các đĩa nằm giữa a và b trở thành tích phân (1).

Phương pháp hình trụ

sửa Bài chi tiết: Tích phân vỏ

 

Minh họa các khối tròn xoay The shapes at rest The shapes in motion, showing the solids of revolution formed by each

Phương pháp hình trụ được sử dụng khi các khối nhát cắt được vẽ song song với trục quay; tức là thực hiện tích phân vuông góc với trục quay.

Thể tích khối tròn xoay nằm giữa các đường cong f(x) và g(x) và các đường thẳng x = a và x = b quay quanh trục y cho bởi

V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) − g ( x ) | d x . {\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}  

Nếu g(x) = 0 (ví dụ quay vùng diện tích giới hạn bởi đường cong và trục y), công thức trên trở thành:

V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) | d x . {\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}  

Phương pháp này có thể hình dung bằng một hình chữ nhật theo phương đứng ở tọa độ x với chiều cao bằng f(x) − g(x), và quay xung quanh trục y; nó tạo thành cái vỏ hình trụ. Diện tích bề mặt của hình trụ bằng 2πrh, với r là bán kính (trong trường hợp x), và h là chiều cao (trong trường hợp f(x) − g(x)). Cộng tổng diện tích của mặt dọc theo tích phân thu được tổng thể tích khối tròn xoay.