Không Giải Phương Trình, Tính Tổng Và Tích Các ...

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai

A. Phương pháp giải

- Định lý Vi-et: Nếu x1, x2là hai nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

- Sử dụng định lý Vi-et không cần giải phương trình ta vẫn có thể tính được tổng và tích các nghiệm hoặc các biểu thức có liên quan đến tổng và tích các nghiệm thông qua các bước sau:

+ B1: Tính ∆ = b2– 4ac. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm do đó không tồn tại tổng và tích các nghiệm của phương trình. Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2, ta thực hiện bước 2

+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 áp dụng Vi-et ta có:

Ví dụ 1:Biết x1, x2là 2 nghiệm của phương trình: x2– 2(m + 5)x + m2+ 6 = 0.

Không giải phương trình tính

a. Tổng và tích các nghiệm theo m

b. Tính giá trị của biểu thức T = |x1- x2| theo m

Giải

a. Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2nên theo Vi-et ta có:

b. Ta có:

Ví dụ 2:Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau

a. x2– 6x + 7 = 0

b. 5x2– 3x + 1 = 0

Giải

a. Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2– ac = (-3)2– 7 = 9 – 7 = 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có:

Vậy tổng 2 nghiệm bằng 6, tích 2 nghiệm bằng 7

b. Ta có ∆ = b2– 4ac = (-3)2– 4.5.1 = 9 – 20 = -11 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Suy ra không tồn tại tổng và tích các nghiệm

Ví dụ 3:Biết x1, x2là 2 nghiệm của phương trình: x2– 5x + 2 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức A = x12+ x22

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2nên theo Vi-et ta có:

A = x12+ x22= (x1+ x2)2-2x1.x2= 52- 2.2 = 25 - 4 = 21

Vậy A = 21

B. Bài tập

Câu 1:Biết x1, x2là 2 nghiệm của phương trình x2– (2m + 1)x + m2+1 = 0. Tính giá trị của biểu thức theo m

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2nên theo Vi-et ta có:

Đáp án đúng là C.

Câu 2:Gọi x1, x2là 2 nghiệm của phương trình x2– (2m + 1)x + m2+2 = 0. Tìm m để biểu thức A = x1.x2– 2(x1+ x2) – 6 đạt giá trị nhỏ nhất

A. m = 1

B. m = 2

C. m = -12

D. m = 3

Giải

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2theo Vi-et ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -10 đạt được khi m – 2 = 0 hay m = 2

Thay m = 2 vào phương trình ta được: x2– 5x + 6 = 0.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1= 2, x2= 3.

Suy ra m = 2 (thỏa mãn)

Đáp án đúng là B

Câu 3:Biết x1, x2là 2 nghiệm của phương trình x2- 3x - m = 0.

Tính giá trị của biểu thức A = x12(1 - x2) + x22(1-x1)

A. –m + 9

B. 5m + 9

C. m + 9

D. -5m + 9

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2nên theo Vi-et ta có:

Vậy đáp án đúng là B

Câu 4:Biết x1, x2là 2 nghiệm của phương trình (m - 2)x2– (2m + 5)x + m +7 = 0 (m ≠ 2). Tính tích các nghiệm theo m

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2nên theo Vi-et ta có:

Đáp án đúng là A

Câu 5:Gọi x1, x2là 2 nghiệm của phương trình 2x2+ 2mx + m2- 2 = 0. Tìm m để biểu thức A = |2x1x2+ x1+ x2- 4| đạt giá trị lớn nhất

Giải

Ta có: Δ' = m2- 2m2+ 4 = -m2+ 4

Phương trình có hai nghiệm khi Δ' ≥ 0 ⇔ -m2+ 4 ≥ 0 ⇔ m2≤ 4 ⇔ |m| ≤ 2 (*)

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2theo Vi-et ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của A là

Ta thấy (thỏa mãn (*))

Đáp án đúng là C

Câu 6:Tổng 2 nghiệm của phương trình 2x2– 10x + 3 = 0 là

A. 5

B. -5

C. 0

D. Không tồn tại

Giải

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2– ac = (-5)2– 3.2 = 25 – 6 = 19 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Viet ta có: x1+ x2= 5.

Vậy đáp án đúng là A

Câu 7:Tích 2 nghiệm của phương trình x2– x + 2 = 0 là

A. -2

B. 2

C. 1

D. Không tồn tại

Giải

Ta có ∆ = b2– 4ac = (-1)2– 4.1.2 = 1 – 8 = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Suy ra không tồn tại tích 2 nghiệm

Vậy đáp án đúng là D

Câu 8:Biết x1, x2là 2 nghiệm của phương trình - x2+ 3x + 1 = 0.

Khi đó giá trị của biểu thức là A = x1(x2- 2) + x2(x1- 2)

A. -7

B. -8

C. -6

D. Không tồn tại

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2nên theo Vi-et ta có:

Vậy đáp án đúng là B

Câu 9:Gọi x1, x2là 2 nghiệm của phương trình x2- 2(m – 1)x + 2m2– 3m + 1 = 0. Tìm m để biểu thức A = |x1x2+ x1+ x2| đạt giá trị lớn nhất

Ta thấy (thỏa mãn (*))

Giải

Phương trình có hai nghiệm khi Δ' ≥ 0

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2theo Vi-et ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của A là

Ta thấy (thỏa mãn *)

Đáp án đúng là C