Không Gian 4 Chiều Là Gì? - Vườn Toán

Trang chủ » Cách Vẽ Không Gian 4 Chiều » Không Gian 4 Chiều Là Gì? - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Không gian 4 chiều là gì?

Trong toán học chúng ta thường nghe nói đến không gian 4 chiều, 5 chiều, v.v..., vậy thì chiều thứ 4 và chiều thứ 5 nằm ở đâu, làm sao chúng ta có thể tưởng tượng ra những chiều này. Rõ ràng chúng ta thường đồng ý rằng đường thẳng là một chiều, mặt phẳng là hai chiều, không gian là ba chiều. Bởi vì chỉ cần làm một trục toạ độ ba chiều Oxyz thì mọi điểm trong không gian được xác định bởi tọa độ (x,y,z) của nó. Khi nghĩ về chiều thứ 4, chúng ta ngay lập tức nghĩ về chiều thời gian. Như vậy một điểm trong không gian không còn là (x,y,z) nữa mà là (x,y,z,t). Do đó một vị trí cố định (x,y,z) trong không gian ba chiều thật ra là vô số điểm trong không gian bốn chiều, và tọa độ của nó (x,y,z,t) là thay đổi theo biến thời gian t. Có nghĩa là điểm (x,y,z) của ngày hôm nay khác với điểm (x,y,z) của ngày hôm qua cho dù x, y, z là không đổi nhưng t đã thay đổi từ t = một thời điểm ở ngày hôm qua thành t = một thời điểm tại ngày hôm nay. Nếu cho rằng chiều thứ 4 là chiều thời gian, vậy thì chiều thứ 5 là chiều gì? Nghĩ đến đây thì chúng ta thấy bí! Không lẽ đó là chiều đi lên thiên đàng hay chiều đi xuống địa ngục. Đó là chưa nói đến, trong lý thuyết dây hiện nay, nhiều nhà vật lý học nghĩ rằng vũ trụ mà chúng ta đang ở là 11 chiều! Vậy, khi nói đến số chiều, các nhà toán học sẽ nghĩ về nó như thế nào? Khi một nhà toán học nói một không gian là 4 chiều hay 5 chiều hay 11 chiều, họ nói đến số lượng các "đại lượng tự do". Số chiều có nghĩa là có bao nhiêu đại lượng tự do trong không gian đó. Số chiều có nghĩa là, muốn mô tả không gian đó các nhà toán học cần bao nhiêu "biến số tự do". Chúng ta xem xét một vài ví dụ. Ví dụ thứ nhất là vòng tròn. Một vòng tròn bán kính bằng 1 sẽ có công thức là $x^2 + y^2 = 1$. Vòng tròn này trong mặt phẳng hai chiều và được xác định bởi hai biến số là $x$ và $y$. Nhưng rõ ràng rằng hai biến số này không phải là hai đại lượng tự do. Nếu chúng ta cho $x$ một giá trị nào đó thì $y$ sẽ không còn tự do nữa mà phải bắt buộc là bằng $\pm \sqrt{1 - x^2}$. Vì vậy vòng tròn này tuy nằm trên mặt phẳng 2-chiều nhưng nó là một vật thể1-chiều. Nếu bạn nào không tin rằng vòng tròn này là hình 1-chiều thì bạn có thể hỏi một con vi-rút đang sống trên vòng tròn này thì rõ. - "Này em vi-rút, nói cho anh nghe coi, ngôi nhà em đang ở nhìn như thế nào" - "Thưa anh, em đang sống trên một đường thẳng anh ạ" - em vi-rút sẽ trả lời bạn như vậy!
một con vi-rút sống trên đường tròn sẽ cảm giác như là mình đang sống trên một đường thẳng một chiều
Ví dụ thứ hai là mặt phẳng có công thức $x+y+z=1$. Mặt phẳng này rõ ràng là mặt phẳng 2-chiều. Tuy nhiên nó lại nằm trong không gian 3-chiều và cần đến ba biến số $x$, $y$, $z$ để miêu tả nó. Tuy vậy, ba biến số này không phải là ba đại lượng tự do. Nếu chúng ta cho $x$ và $y$ một giá trị nào đó thì $z$ không còn tự do nữa mà phải bằng $1-x-y$. Như vậy ta có hai đại lượng tự do $x$, $y$, còn $z$ sẽ phụ thuộc vào $x$ và $y$.
mặt phẳng 2-chiều x+y+z=1 trong không gian 3-chiều
Khi giải toán, đôi khi sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta nhận ra sự liên hệ giữa các biến số và tập trung vào các biến số tự do. Chúng ta xem xét bài toán sau đây. Bài toán: Chứng minh rằng nếu $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$$ thì $$ \left( \frac{a+b+c+d+e+f}{b+d+f} \right)^3 = \frac{a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 + f^3}{b^3 + d^3 + f^3} + \frac{acf + ceb + ead}{bdf} + \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} . $$ Phân tích: Trước hết chúng ta thấy rằng đây chỉ là bài toán chứng minh về hằng đẳng thức. Muốn chứng minh hằng đẳng thức thì việc dễ nhất (nhưng chưa chắc là hiệu quả nhất) là khai triễn tất cả ra và chứng minh hai vế của đẳng thức là bằng nhau dựa vào những mối quan hệ mà đề bài đã cho. Theo đề bài, chúng ta có 6 biến số $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ và $f$, và chúng ta có mối quan hệ $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$$ Theo như câu chuyện về số chiều mà chúng ta nói ở trên, đây rõ ràng không phải là không gian 6-chiều, cho dù rằng chúng ta có 6 biến số. Sáu biến số này có mối quan hệ chồng chéo, ví dụ như $ad = bc$, $cf = de$, v.v... Vậy làm thế nào để chúng ta triệt tiêu hết các mối quan hệ này để giữ lại các đại lượng tự do. Cái mẹo là chúng ta dùng một biến $k$ mới như sau. $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f} = k$$ Bằng cách dùng biến mới $k$, bài toán trở thành là bài toán 4-chiều gồm có bốn đại lượng tự do $b$, $d$, $f$ và $k$. Những đại lượng còn lại đều phụ thuộc vào 4 đại lượng tự do này, đó là $a = bk$, $c = dk$, $e = fk$. Lời giải: Chúng ta đặt $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f} = k,$$ vậy thì, $a = kb$, $c = kd$ và $e = kf$. Do đó $$ \frac{a+b+c+d+e+f}{b+d+f} = \frac{kb+b+kd+d+kf+f}{b+d+f} = k+1, $$ $$ \frac{a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 + f^3}{b^3 + d^3 + f^3} = \frac{k^3 b^3 + b^3 + k^3 d^3 + d^3 + k^3 f^3 + f^3}{b^3 + d^3 + f ^3} = k^3 + 1, $$ $$ \frac{acf + ceb + ead}{bdf} = \frac{kb ~kd ~f + kd ~kf ~b + kf ~kb ~d}{bdf} = 3 k^2, $$ $$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = 3k . $$ Và vì vậy đẳng thức mà chúng ta cần chứng minh trở thành $$ (k+1)^3 = k^3 + 1 + 3 k^2 + 3 k, $$ đây là hằng đẳng thức quen thuộc. Như vậy bài toán đã được giải quyết xong. Bài tập về nhà: Chứng minh rằng nếu $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$$ thì $$ \frac{a^7 + c^7 + e^7}{b^7 + d^7 + f^7} = \left( \frac{a+c+e}{b+d+f} \right)^7 $$ Labels: đa tạp, đại số, hằng đẳng thức, hình học, không gian, số chiều Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2012 (36)
    • ▼  tháng 5 (4)
      • Không gian 4 chiều là gì?
      • Tam giác đồng dạng
      • Phép nhân thời đồ đá
      • Định lý Morley

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Cách Vẽ Không Gian 4 Chiều