Không Gian Vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)

Trang chủ » Trực Giao Nhau Là Gì » Không Gian Vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)

Có thể bạn quan tâm

7. Định nghĩa 5: (hệ vec-tơ trực giao)

Cho E là không gian vec-tơ Euclide.

1. Hai vec-tơ x,y \in E được gọi là trực giao, x \perp y nếu \langle{x,y}\rangle = 0

2. Hệ vec-tơ x_1, x_2, ... , x_m \in E được gọi là một hệ trực giao nếu chúng đôi môt trực giao với nhau, nghĩa là: x_i \perp x_j ; \forall i \ne j hay \langle{x_i,x_j}\rangle = 0

Một cơ sở mà là hệ trực giao được gọi là cơ sở trực giao.

3.Hệ vec-tơ x_1,x_2,..., x_m \in E được gọi là hệ trực chuẩn nếu chúng là một hệ trực giao và độ dài của mỗi vec-tơ đều bằng 1. Nghĩa là:

\left\{\begin{array}{l} x_i \perp x_j ; \forall i \ne j \in \{1,2,...,m\} \\ ||x_i|| = 1 ; \forall i = \overline{1,m} \\ \end{array} \right.

4. Vec-tơ x \in E gọi là trực giao với tập A \subset E nếu x trực giao với mọi vec-tơ của A. Ký hiệu: x \perp A

Ví dụ 7.1: Trong không gian vec-tơ Euclide C[0;\pi] với tích vô hướng tích phân, hệ vec-tơ f_k(x) = coskx ; k = \overline{0;n} là một hệ trực giao.

Thật vậy: \langle{f_k(x);f_l(x)}\rangle = \int\limits_0^{\pi} cos(kx).cos(lx) \, dx = 0 ; \forall k \ne l

Ví dụ 7.2: Trong không gian vec-tơ Euclide {R^3} ta có 1 cơ sở trực giao là: (1,0,1) ; \left(\dfrac{1}{2},2,-\dfrac{1}{2}\right) ; \left(\dfrac{2}{9}, -\dfrac{1}{9}, - \dfrac{2}{9}\right)

Ví dụ 7.3: Trong không gian Euclide P_2[0;1] – các đa thức P(x) có degP(x) \le 2 (bậc bé hơn hoặc bằng 2) với tích vô hướng tích phân trên đoạn [0;1] ta có  1 cơ sở trực giao của P_2[0;1] là:

P_1(x) = 1 ; P_2(x) = x - \dfrac{1}{2} ; P_3(x) = x^2 - x + \dfrac{1}{6}

8. Định lý:

Mọi hệ trực giao không chứa vec-tơ không đều độc lập tuyến tính.

Chứng minh:

Giả sử x_1, x_2, ... , x_n (\ne 0_E) là 1 hệ vec-tơ trực giao của không gian Euclide E.

Xét: {\alpha}_1x_1+{\alpha}_2x_2 + ... + {\alpha}_nx_n = 0_E

Nhân vô hướng hai vế với x_i ; i = \overline{1,n} ta có:

\langle{{\alpha}_1x_1+{\alpha}_2x_2+...+{\alpha}_nx_n,x_i}\rangle = \langle{0_E,x_i}\rangle = 0 (*)

Mà: \{x_1,x_2,...,x_n\} là hệ trực giao nên: \langle{x_j,x_i}\rangle = 0; \forall j \ne i

Do đó: từ (*) ta có: {\alpha}_i\langle{x_i,x_i}\rangle = 0 ; \forall i = \overline{1,n}

Hơn nữa: do x_i \ne 0 nên \langle{x_i,x_i}\rangle \ne 0

Suy ra: {\alpha}_i = 0 ; \forall i = \overline{1,n}

Nghĩa là: hệ vec-tơ x_1, x_2, ..., x_n độc lập tuyến tính ♦

9. Định lý: (Trực giao hóa Gram – Schmid)

Cho hệ vec-tơ độc lập tuyến tính x_1, x_2, ..., x_m ( m \ge 2) trong không gian vec-tơ Euclide E. Khi đó trong E tồn tại hệ vec-tơ độc lập tuyến tính y_1, y_2, ..., y_m thỏa mãn:

1. Hệ x_1, x_2, ..., x_m biểu thị tuyến tính qua hệ y_1, y_2, ... y_m

2. Hệ y_1, y_2, ..., y_m biểu thị tuyến tính qua x_1, x_2, ..., x_m

3. y_1, y_2, ..., y_m là hệ trực giao.

Chứng minh:

1. Xây dựng hệ vec-tơ y_1, y_2, ... , y_m :

Ta chọn y_1 = x_1 , hiển nhiên y_1 \ne 0

Chọn y_2 = x_2 + ty_1 , t \in R . Khi đó:

– y_2 \ne 0 (nếu không x_2, y_1 hay x_1, x_2 phụ thuộc tuyến tính).

– Ta chọn t \in R sao cho: y_2 \perp y_1 .

Ta có: y_2 \perp y_1 \Leftrightarrow \langle{y_2,y_1}\rangle = 0 \Leftrightarrow \langle{x_2,y_1}\rangle + t. \langle{y_1,y_1}\rangle = 0

Vậy: t = - \dfrac{\langle{x_2,y_1}\rangle}{\langle{y_1,y_1}\rangle}

Chọn y_3 = x_3 + t_{31}y_1+t_{32}y_2 . Khi đó:

y_3 \perp y_i, i = 1, 2 \Leftrightarrow \langle{y_3,y_i}\rangle = 0 \Leftrightarrow t_{3i} = - \dfrac{\langle{x_3,y_i}\rangle}{\langle{y_i,y_i}\rangle}, (i = 1, 2)

Ngoài ra, y_3 \ne 0 (vì nếu không x_1,x_2,x_3 phụ thuộc tuyến tính)

Tương tự, ta xây dựng vec-tơ y_{k} như sau:

y_{k} = x_{k} + t_1y_1+t_2y_2 + t_3y_3 + ... + t_{k-1}y_{k-1}

Khi đó: để hệ y_1,y_2,..., y_k trực giao thì: \langle{y_k,y_i}\rangle = 0 , \forall i =\overline{1;k-1}

\Leftrightarrow \langle{x_k,y_i}\rangle + t_i\langle{y_i,y_i}\rangle = 0 ; \forall i = \overline{1;k-1}

Vậy: t_i =\dfrac{\langle{x_k,y_i}\rangle}{\langle{y_i,y_i}\rangle} \forall i = \overline{1;k-1}

Ngoài ra, y_k \ne 0

Vậy ta đã xây dựng hệ vec-tơ y_1, y_2, ..., y_m thỏa mãn (3).

Với hệ vec-tơ y_1,y_2, ..., y_m xây dựng như trên, ta dễ dàng kiểm tra được hệ thỏa mãn (1),(3). Hơn nữa, từ định lý 8, rõ ràng hệ y_1,y_2,...,y_m là hệ độc lập tuyến tính.

Ví dụ: áp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, xây dựng hệ trực giao từ hệ vec-tơ x1=(1, 0, 0) ; x2=(1, 2, 0) ; x3=(1, 2, 3)

Giải

– Rõ ràng hệ {x1; x2; x3} độc lập tuyến tính.

– Chọn y_1 = x_1 = (1, 0, 0 )

– Chọn y_2 = x_2 + t.y_1 với

t = -\dfrac{\langle{x_2,y_1}\rangle}{\langle{y_1,y_1}\rangle} = - \dfrac{1.1+2.0+0.0}{1^2+0^2+0^2} = -1

Vậy y_2 = x_2 - y_1 = (1, 2, 0) - (1, 0, 0) = (0, 2, 0)

– y_3 = x_3 + t_1y_1 + t_2y_2 với:

t_1 = -\dfrac{\langle{x_3,y_1}\rangle}{\langle{y_1,y_1}\rangle} = - \dfrac{1.1+2.0+3.0}{1^2+0^2+0^2} = -1

t_2 = -\dfrac{\langle{x_3,y_2}\rangle}{\langle{y_2,y_2}\rangle} = -\dfrac{1.0+2.2+3.0}{0^2+2^2+0^2} = -1

Vậy y_3 = x_3 - y_1 - y_2 = (1,2,3)-(1,0,0)-(0,2,0) = (0,0,3)

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • In
  • PDF
  • Email
  • Facebook
Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

21 bình luận về “Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)”

  1. Hình đại diện của kim cận

    Thầy có thể giúp em giải bài này được không ạ: Trong không gian R3 cho tập W={x={x1,x2,x3} : x1=x3} Chứng minh rằng W là một không gian con của R3. Em cảm ơn Thầy.

    ThíchThích

    Được đăng bởi kim cận | 26/11/2014, 15:32 Reply to this comment
  2. Hình đại diện của kim khôi

    Cho B= {u ,v ,w } là một cơ sở của không gian véctơ V và tập S={2u+ v- w, 2u+ v-2w, u+ v-2w } 1. Chứng minh rằng S cũng là một cơ sở của V. 2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang B. 3. Biết tọa độ của véctơ z ∈V theo cơ sở B là (x )B= (3;-4;2) , tìm tọa độ của véctơ này theo co so S giúp e bài này

    ThíchThích

    Được đăng bởi kim khôi | 25/11/2014, 22:56 Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Δ

Từ khóa » Trực Giao Nhau Là Gì