Không Gian Vectơ Hữu Hạn, Các Tính Chất Và Ví Dụ Của ...

Từ Wikipedia, bách khoa toàn thư miễn phí

vectơ(hoặc tuyến tính) khoảng trống- một cấu trúc toán học, là một tập hợp các phần tử, được gọi là vectơ, trong đó các phép toán cộng với nhau và nhân với một số - một đại lượng vô hướng được xác định. Các phép toán này tuân theo tám tiên đề. Vô hướng có thể là các phần tử của một trường số thực, phức hoặc bất kỳ trường số nào khác. Một trường hợp đặc biệt của không gian như vậy là không gian Euclide ba chiều thông thường, ví dụ, các vectơ của chúng được sử dụng để biểu diễn các lực vật lý. Đồng thời, cần lưu ý rằng một vectơ với tư cách là một phần tử của không gian vectơ không nhất thiết phải xác định dưới dạng một đoạn có hướng. Việc khái quát hóa khái niệm "vectơ" thành một phần tử của không gian vectơ có tính chất bất kỳ không những không gây nhầm lẫn về thuật ngữ mà còn cho phép chúng ta hiểu hoặc thậm chí dự đoán một số kết quả có giá trị đối với các không gian có tính chất tùy ý. .

Không gian vectơ là chủ đề nghiên cứu của đại số tuyến tính. Một trong những đặc điểm chính của không gian vectơ là số chiều của nó. Thứ nguyên là số lượng tối đa các phần tử độc lập tuyến tính của không gian, có nghĩa là, bằng cách sử dụng mô tả hình học thô, số hướng không thể diễn tả được về mặt nhau chỉ thông qua các phép toán cộng và nhân với một vô hướng. Không gian vectơ có thể được ưu đãi với các cấu trúc bổ sung, chẳng hạn như chuẩn hoặc sản phẩm chấm. Các không gian như vậy xuất hiện tự nhiên trong giải tích, chủ yếu là không gian hàm vô hạn chiều ( Tiếng Anh), trong đó các vectơ là các hàm. Nhiều bài toán phân tích yêu cầu tìm xem một chuỗi các vectơ có hội tụ với một vectơ cho trước hay không. Có thể xem xét các câu hỏi như vậy trong không gian vectơ có cấu trúc bổ sung, trong hầu hết các trường hợp là một cấu trúc liên kết phù hợp, cho phép người ta xác định các khái niệm về tính gần và tính liên tục. Các không gian vectơ tôpô như vậy, đặc biệt là các không gian Banach và Hilbert, cho phép nghiên cứu sâu hơn.

Ngoài các vectơ, đại số tuyến tính cũng nghiên cứu các tenxơ có hạng cao hơn (một đại lượng vô hướng được coi là một tenxơ hạng 0, một vectơ được coi là một tenxơ hạng 1).

Các công trình đầu tiên dự đoán sự ra đời của khái niệm không gian vectơ có từ thế kỷ 17. Sau đó, hình học giải tích, học thuyết về ma trận, hệ phương trình tuyến tính và vectơ Euclide nhận được sự phát triển của chúng.

Sự định nghĩa

Tuyến tính, hoặc không gian vector V \ left (F \ right) trên cánh đồng F là một bộ tứ có thứ tự (V, F, +, \ cdot), ở đâu

• V- một tập hợp các phần tử không rỗng có tính chất tùy ý, được gọi là vectơ;
• F- Trường (đại số) có các phần tử được gọi là vô hướng;
• Hoạt động được xác định bổ sung vectơ V \ lần V \ đến V, đối sánh từng cặp yếu tố \ mathbf (x), \ mathbf (y) bộ V V gọi họ Tổng và được biểu thị \ mathbf (x) + \ mathbf (y);
• Hoạt động được xác định phép nhân vectơ bằng vô hướng F \ lần V \ đến V, phù hợp với từng phần tử \ lambda lĩnh vực F và mỗi phần tử \ mathbf (x) bộ V phần tử duy nhất của tập hợp V, biểu thị \ lambda \ cdot \ mathbf (x) hoặc \ lambda \ mathbf (x);

Không gian vectơ được xác định trên cùng một tập hợp phần tử nhưng trên các trường khác nhau sẽ là không gian vectơ khác nhau (ví dụ: tập hợp các cặp số thực \ mathbb (R) ^ 2 có thể là không gian vectơ hai chiều trong trường số thực hoặc một chiều - trong trường số phức).

Các thuộc tính đơn giản nhất

1. Không gian vectơ là một nhóm abel bằng phép cộng.
2. yếu tố trung lập \ mathbf (0) \ trong V
3. 0 \ cdot \ mathbf (x) = \ mathbf (0) cho bất cứ ai \ mathbf (x) \ trong V.
4. Cho bất cứ ai \ mathbf (x) \ trong V yếu tố đối lập - \ mathbf (x) \ trong V là cái duy nhất theo sau từ thuộc tính nhóm.
5. 1 \ cdot \ mathbf (x) = \ mathbf (x) cho bất cứ ai \ mathbf (x) \ trong V.
6. (- \ alpha) \ cdot \ mathbf (x) = \ alpha \ cdot (- \ mathbf (x)) = - (\ alpha \ mathbf (x)) bất cứ gì \ alpha \ trong F và \ mathbf (x) \ trong V.
7. \ alpha \ cdot \ mathbf (0) = \ mathbf (0) cho bất cứ ai \ alpha \ trong F.

Các định nghĩa và thuộc tính liên quan

không gian con

Định nghĩa đại số: Không gian con tuyến tính hoặc không gian con vector là một tập hợp con không trống K không gian tuyến tính V như vậy mà K bản thân nó là một không gian tuyến tính đối với những không gian được xác định trong V các phép toán cộng và nhân vô hướng. Tập hợp tất cả các không gian con thường được ký hiệu là \ mathrm (Vĩ độ) (V). Đối với một tập hợp con là một không gian con, điều cần thiết và đủ là

1. cho bất kỳ vectơ nào \ mathbf (x) \ trong K, vectơ \ alpha \ mathbf (x) cũng thuộc về K, bất cứ gì \ alpha \ trong F;
2. cho bất kỳ vectơ nào \ mathbf (x), \ mathbf (y) \ trong K, vectơ \ mathbf (x) + \ mathbf (y) cũng thuộc về K.

Hai câu lệnh cuối tương đương với những câu sau:

Đối với bất kỳ vectơ nào \ mathbf (x), \ mathbf (y) \ trong K, vectơ \ alpha \ mathbf (x) + \ beta \ mathbf (y) cũng thuộc về K bất cứ gì \ alpha, \ beta \ trong F.

Đặc biệt, không gian vectơ chỉ gồm một vectơ 0 là không gian con của không gian bất kỳ; bất kỳ không gian nào cũng là một không gian con của chính nó. Các không gian con không trùng với hai không gian này được gọi là sở hữu hoặc không tầm thường.

Thuộc tính không gian con

• Giao điểm của bất kỳ họ không gian con nào lại là một không gian con;
• Tổng không gian con \ (K_i \ quad | \ quad i \ in 1 \ ldots N \)được định nghĩa là một tập hợp chứa tất cả các tổng phần tử có thể có K_i: \ sum_ (i = 1) ^ N (K_i): = \ (\ mathbf (x) _1 + \ mathbf (x) _2 + \ ldots + \ mathbf (x) _N \ quad | \ quad \ mathbf (x) _i \ in K_i \ quad (i \ in 1 \ ldots N) \).
  • Tổng của một họ không gian con hữu hạn lại là một không gian con.

Kết hợp tuyến tính

Kết thúc tổng lượt xem

\ alpha_1 \ mathbf (x) _1 + \ alpha_2 \ mathbf (x) _2 + \ ldots + \ alpha_n \ mathbf (x) _n

Kết hợp tuyến tính được gọi là:

Nền tảng. Kích thước

Vectơ \ mathbf (x) _1, \ mathbf (x) _2, \ ldots, \ mathbf (x) _n triệu tập phụ thuộc tuyến tính, nếu có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của chúng bằng 0:

\ alpha_1 \ mathbf (x) _1 + \ alpha_2 \ mathbf (x) _2 + \ ldots + \ alpha_n \ mathbf (x) _n = \ mathbf (0), \ quad \ | \ alpha_1 | + | \ alpha_2 | + \ ldots + | \ alpha_n | \ neq 0.

Nếu không, các vectơ này được gọi là độc lập tuyến tính.

Định nghĩa này cho phép tổng quát hóa như sau: một tập vô hạn các vectơ từ V triệu tập phụ thuộc tuyến tính, nếu một vài cuối cùng tập hợp con của nó, và độc lập tuyến tính, nếu có cuối cùng tập con độc lập tuyến tính.

Thuộc tính cơ bản:

• Không tí nào N các yếu tố độc lập tuyến tính N-dạng không gian chiều nền tảng không gian này.
• Bất kỳ vectơ nào \ mathbf (x) \ trong V có thể được biểu diễn (duy nhất) như một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phần tử cơ bản:

\ mathbf (x) = \ alpha_1 \ mathbf (x) _1 + \ alpha_2 \ mathbf (x) _2 + \ ldots + \ alpha_n \ mathbf (x) _n.

Vỏ tuyến tính

Vỏ tuyến tính \ mathcal V (X) tập hợp con X không gian tuyến tính V- giao điểm của tất cả các không gian con V chứa đựng X.

Tuyến tính shell là một không gian con V.

Vỏ tuyến tính còn được gọi là không gian con được tạo X. Người ta cũng nói rằng nhịp tuyến tính \ mathcal V (X)- khoảng trống, kéo dài một loạt các X.

Vỏ tuyến tính \ mathcal V (X) bao gồm tất cả các kết hợp tuyến tính có thể có của các hệ thống con hữu hạn khác nhau của các phần tử từ X. Đặc biệt, nếu X là một tập hợp hữu hạn, sau đó \ mathcal V (X) bao gồm tất cả các kết hợp tuyến tính của các phần tử X. Do đó, vectơ null luôn thuộc khoảng tuyến tính.

Nếu một X là một tập hợp độc lập tuyến tính, sau đó nó là một cơ sở \ mathcal V (X) và từ đó xác định thứ nguyên của nó.

Các ví dụ

• Một khoảng trắng có phần tử duy nhất là 0.
• Không gian của tất cả các chức năng X \ đến F với hỗ trợ hữu hạn tạo thành một không gian vectơ có kích thước bằng X.
• Trường số thực có thể được xem như một không gian vectơ chiều liên tục trong trường số hữu tỉ.
• Bất kỳ trường nào cũng là không gian một chiều ở trên chính nó.

Cấu trúc bổ sung

Xem thêm

Viết nhận xét về bài báo "Không gian vectơ"

Ghi chú

Văn chương

• Gelfand I. M. Các bài giảng về đại số tuyến tính. - ngày 5. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 tr. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Các bài giảng về đại số tuyến tính. Ấn bản thứ 5. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 tr. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I.Đại số tuyến tính và hình học. Xuất bản lần thứ 2. - M .: Nauka, 1986. - 304 tr.
• Kostrikin A.I. Giới thiệu về đại số. Phần 2: Đại số tuyến tính. - lần thứ 3. - M .: Nauka., 2004. - 368 tr. - (Giáo trình đại học).
• Maltsev A.I. Cơ bản của đại số tuyến tính. - lần thứ 3. - M .: Nauka, 1970. - 400 tr.

• Postnikov M. M.Đại số tuyến tính (Bài giảng Hình học. Học kì II). - lần 2. - M .: Nauka, 1986. - 400 tr.
• Strang G.Đại số tuyến tính và các ứng dụng của nó = Đại số tuyến tính và các ứng dụng của nó. - M .: Mir, 1980. - 454 tr.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G.Đại số tuyến tính. Xuất bản lần thứ 6. - M .: Fizmatlit, 2010. - 280 tr. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmosh P. Finite-Dimensional Vector Spaces = Không gian vectơ hữu hạn-chiều. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 263 tr.
• Faddeev D.K. Các bài giảng về Đại số. - ngày 5. - Xanh Pê-téc-bua. : Lan, 2007. - 416 tr.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O.Đại số tuyến tính và hình học. - Ngày 1. - M .: Fizmatlit, 2009. - 511 tr.
• Schreyer O., Shperner G. Giới thiệu về đại số tuyến tính trong trình bày hình học = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / G. Olshansky (dịch từ tiếng Đức). - M. – L.: ONTI, 1934. - 210 tr.

Vectơ và ma trận Vectơ Các khái niệm cơ bản Các loại vectơ Các phép toán trên vectơ Các loại không gian ma trận Các khái niệm cơ bản Khác

Một đoạn trích đặc trưng cho không gian Vectơ

Kutuzov bước qua hàng ngũ, thỉnh thoảng dừng lại và nói vài lời tử tế với các sĩ quan, những người mà ông biết từ cuộc chiến tranh Thổ Nhĩ Kỳ, và đôi khi với những người lính. Nhìn lướt qua đôi giày, anh ta buồn bã lắc đầu vài lần rồi chỉ tay về phía vị tướng Áo với vẻ mặt không ra vẻ trách móc ai về điều này, nhưng cũng không thể không thấy thực hư ra sao. Trung đoàn trưởng mỗi lần chạy trước sợ lỡ lời của Tổng tư lệnh liên quan đến trung đoàn. Phía sau Kutuzov, ở khoảng cách xa đến mức có thể nghe thấy bất kỳ lời nói yếu ớt nào, là một người đàn ông gồm 20 người theo dõi. Các quý ông của đoàn tùy tùng nói chuyện với nhau và đôi khi cười. Sát sau vị tổng tư lệnh là một phụ tá đẹp trai. Đó là Hoàng tử Bolkonsky. Đi bên cạnh anh là đồng chí Nesvitsky, một sĩ quan cao lớn, cực kỳ mập mạp, khuôn mặt đẹp trai hiền lành và hay cười cùng đôi mắt ẩm ướt; Nesvitsky khó có thể kiềm chế để bật cười, bị kích thích bởi viên sĩ quan hắc ám đi bên cạnh anh. Người sĩ quan hussar, không cười, không thay đổi biểu hiện của đôi mắt cố định, nhìn với vẻ mặt nghiêm túc ở phía sau của trung đoàn trưởng và bắt chước từng cử động của ông ta. Mỗi lần trung đoàn trưởng rùng mình rướn người về phía trước, y chang, y chang một cách y chang, tên sĩ quan hussar rùng mình và rướn người về phía trước. Nesvitsky bật cười và đẩy những người khác nhìn vào người đàn ông hài hước. Kutuzov bước chậm rãi và bơ phờ qua hàng nghìn con mắt đang đảo ra khỏi hốc mắt, theo dõi ông chủ. Đang san bằng đại đội 3 thì anh đột ngột dừng lại. Người tùy tùng, không lường trước được điểm dừng này, bất giác tiến về phía anh ta. - À, Timokhin! - vị tổng tư lệnh nói, nhận ra vị thuyền trưởng có chiếc mũi đỏ, người chịu đựng chiếc áo khoác xanh. Dường như không thể căng hơn Timokhin căng được, trong khi trung đoàn trưởng khiển trách. Nhưng ngay lúc đó Tổng tư lệnh ngỏ lời với anh ta, đội trưởng đã đứng dậy, dường như nếu Tổng tư lệnh nhìn anh ta thêm một chút nữa, đội trưởng sẽ không thể chịu đựng được. ; và do đó, Kutuzov, dường như hiểu rõ vị trí của mình và mong muốn, ngược lại, tất cả những gì tốt nhất cho thuyền trưởng, đã vội vàng quay đi. Một nụ cười khó nhận ra lướt qua khuôn mặt đầy vết thương của Kutuzov. “Một đồng chí khác của Izmaylovsky,” anh nói. "Sĩ quan dũng cảm!" Bạn có hài lòng với nó? Kutuzov hỏi trung đoàn trưởng. Và người trung đoàn trưởng, như được phản chiếu trong một tấm gương, vô hình với chính mình, trong người sĩ quan hớt hãi, rùng mình, tiến lên và trả lời: “Rất hân hạnh, thưa ngài. “Tất cả chúng ta không phải là không có điểm yếu,” Kutuzov nói, mỉm cười và rời xa anh ta. “Anh ấy có một sự gắn bó với Bacchus. Trung đoàn trưởng sợ không trách được chuyện này, không trả lời. Viên sĩ quan ngay lúc đó đã chú ý đến khuôn mặt của vị thuyền trưởng với chiếc mũi đỏ và cái bụng hóp lại, và bắt chước khuôn mặt và tư thế của anh ta đến mức Nesvitsky không thể nhịn được cười. Kutuzov quay lại. Rõ ràng là viên sĩ quan có thể kiểm soát khuôn mặt của mình theo ý muốn: tại thời điểm Kutuzov quay lại, viên cảnh sát cố gắng nhăn mặt, và sau đó biểu hiện nghiêm túc, tôn trọng và vô tội nhất. Công ty thứ ba là công ty cuối cùng, và Kutuzov nghĩ, dường như đang nhớ ra điều gì đó. Hoàng tử Andrei bước ra khỏi đoàn tùy tùng và khẽ nói bằng tiếng Pháp: - Anh được lệnh nhắc nhở về Dolokhov bị giáng chức trong trung đoàn này. - Dolokhov ở đâu? Kutuzov hỏi. Dolokhov, đã mặc chiếc áo khoác màu xám của người lính, không đợi được gọi đến. Dáng người thanh mảnh của một người lính tóc vàng với đôi mắt xanh trong veo bước ra từ đằng trước. Anh ta đến gần vị tổng tư lệnh và làm một người bảo vệ. - Yêu cầu? - Khẽ cau mày, Kutuzov hỏi. “Đây là Dolokhov,” Hoàng tử Andrei nói. - MỘT! Kutuzov nói. - Mong bài này sửa em, phục vụ tốt. Hoàng đế nhân từ. Và anh sẽ không quên em nếu em xứng đáng. Đôi mắt xanh trong veo nhìn vị tổng tư lệnh cũng hùng hổ như khi nhìn trung đoàn trưởng, như thể bằng nét mặt của họ, họ đang xé bỏ bức màn thông thường ngăn cách vị tổng tư lệnh với người lính. “Tôi xin ngài một điều, thưa ngài,” anh ta nói với giọng vang, chắc chắn, không vội vàng. “Tôi yêu cầu bạn cho tôi một cơ hội để sửa đổi tội lỗi của mình và chứng minh sự tận tâm của tôi đối với hoàng đế và nước Nga. Kutuzov quay đi. Đôi mắt nụ cười ấy thoáng hiện trên khuôn mặt anh như lúc anh quay lưng lại với Đội trưởng Timokhin. Anh quay đi và nhăn mặt, như thể anh muốn thể hiện bằng điều này rằng tất cả những gì Dolokhov đã nói với anh, và tất cả những gì anh có thể nói với anh, anh đã biết từ lâu, rất lâu rằng tất cả những điều này đã khiến anh chán nản và tất cả những điều này đã xảy ra. không phải ở tất cả những gì anh ta cần. Anh quay người và đi về phía xe ngựa. Trung đoàn sắp xếp theo các đại đội và hướng đến các căn hộ được chỉ định cách Braunau không xa, nơi họ hy vọng sẽ mang giày, mặc quần áo và nghỉ ngơi sau những chuyển tiếp khó khăn. - Anh đừng giả vờ với tôi, Prokhor Ignatich? - trung đoàn trưởng nói, vòng qua đại đội 3 tiến về nơi rồi lái xe đến chỗ đại úy Timokhin đang đi trước mặt. Gương mặt của vị trung đoàn trưởng sau buổi tổng duyệt vui vẻ ra đi hiện lên niềm vui không thể nào tả xiết. - Dịch vụ hoàng gia ... bạn không thể ... lần khác bạn sẽ cắt đứt ở phía trước ... Tôi sẽ là người đầu tiên xin lỗi, bạn biết tôi ... Cảm ơn bạn rất nhiều! Và anh ta chìa tay ra cho người chỉ huy. "Xin lỗi, Tướng quân, tôi có dám không!" - đội trưởng trả lời, mặt mũi đỏ bừng, cười để lộ ra nụ cười thiếu hai chiếc răng cửa, bị Ishmael hất một cái vào mông. - Vâng, hãy nói với ông Dolokhov rằng tôi sẽ không quên ông ấy, để ông ấy bình tâm. Vâng, xin hãy nói cho tôi biết, tôi cứ muốn hỏi, anh ấy là người như thế nào, anh ấy cư xử như thế nào? Và mọi thứ... Timokhin nói: “Anh ấy rất tận tâm trong công việc của mình, thưa ngài ... nhưng người điều khiển ...”. - Và cái gì, nhân vật là gì? trung đoàn trưởng hỏi. Thuyền trưởng nói: “Anh ấy tìm thấy, thưa Đức ngài, trong nhiều ngày,“ anh ấy thông minh, học hỏi và tốt bụng. Và đó là một con thú. Ở Ba Lan, anh ta đã giết một người Do Thái, nếu bạn biết ... - Vâng, vâng, vâng, - trung đoàn trưởng nói, - ông vẫn thấy tiếc cho người thanh niên bất hạnh. Sau tất cả, những kết nối tuyệt vời ... Vì vậy, bạn ... “Tôi đang lắng nghe, thưa ngài,” Timokhin nói, với một nụ cười cho thấy rằng anh hiểu mong muốn của ông chủ. - Vâng vâng. Trung đoàn trưởng đã tìm thấy Dolokhov trong hàng ngũ và cho lên ngựa. “Trước trường hợp đầu tiên, epaulettes,” anh ta nói với anh ta. Dolokhov nhìn quanh, không nói gì và không thay đổi biểu hiện trên khuôn miệng đang cười chế giễu. “Chà, vậy là tốt rồi,” trung đoàn trưởng tiếp tục. “Mọi người nhận từ tôi một ly vodka,” anh nói thêm, để những người lính có thể nghe thấy. - Cảm ơn tất cả! Cảm ơn Chúa! - Và anh ta, đã vượt qua một công ty, lái xe đến một công ty khác. “Chà, anh ấy thực sự là một người đàn ông tốt; Bạn có thể phục vụ cùng với anh ta, ”Timokhin subaltern nói với viên cảnh sát đi bên cạnh anh ta. - Một chữ, màu đỏ! ... (Trung đoàn trưởng được đặt biệt danh là vua đỏ) - vị sĩ quan cấp dưới vừa nói vừa cười. Tâm trạng vui mừng của các cơ quan chức năng sau khi kiểm điểm được truyền đến các chiến sĩ. Rota đã rất vui. Những người lính đang nói chuyện từ mọi phía. - Họ nói như thế nào, Kutuzov bị cong, về một bên mắt? - Nhưng không! Hoàn toàn quanh co. - Không phải ... anh ơi, mắt to hơn anh. Boots và vòng cổ - đã nhìn xung quanh mọi thứ ... - Anh ơi, anh ơi, anh nhìn chân em thế nào ... cũng được! nghĩ… - Còn người kia là người Áo, anh ta đi cùng, như bôi phấn. Như bột mì, màu trắng. Tôi là trà, cách họ làm sạch đạn dược! - Cái gì, Fedeshow! ... anh ta nói, có lẽ, khi lính canh bắt đầu, bạn đã đứng gần hơn? Họ đã nói tất cả mọi thứ, Bunaparte mình đang đứng ở Brunov. - Bunaparte đứng! bạn nói dối, đồ ngốc! Cái gì không biết! Bây giờ người Phổ đang nổi dậy. Người Áo, do đó, làm yên lòng anh ta. Ngay sau khi anh ta hòa giải, chiến tranh sẽ mở ra với Bounaparte. Và sau đó, anh ấy nói, ở Brunov, Bunaparte đang đứng! Rõ ràng là anh ta là một tên ngốc. Bạn lắng nghe thêm. “Nhìn kìa, những người thuê nhà chết tiệt! Đại đội thứ năm, nhìn kìa, đã vào làng rồi, họ sẽ nấu cháo, còn chúng tôi thì chưa tới nơi. - Cho tôi một cái bánh quy, chết tiệt. "Hôm qua bạn có cho thuốc lá không?" Vậy đó, anh trai. Vâng, Chúa ở cùng bạn. - Chỉ cần họ dừng lại, nếu không bạn sẽ không ăn thêm năm dặm proprem. - Thật tuyệt khi người Đức cho chúng tôi những chiếc xe đẩy. Bạn đi, biết rằng: điều quan trọng! - Còn đây anh ơi, mọi người rầm rộ hết cả lên. Ở đó mọi thứ dường như là một Cực, mọi thứ đều thuộc về vương miện của Nga; và bây giờ, người anh em, một nước Đức vững chắc đã ra đi. - Nhạc sĩ đi trước! - Tôi nghe thấy tiếng kêu của đội trưởng. Và hai mươi người chạy ra trước công ty từ các cấp bậc khác nhau. Người đánh trống hát quay mặt về phía sách bài hát, và vẫy tay, hát một bài hát của người lính đã được vẽ, bắt đầu: "Trời chưa rạng đông, mặt trời đã chia tay ..." và kết thúc bằng các từ: "Đó, các anh em, sẽ là vinh quang cho chúng ta cùng với cha Kamensky ..." Bài hát này được sáng tác ở Thổ Nhĩ Kỳ và hiện đã được hát ở Áo, chỉ với sự thay đổi thay cho "cha Kamensky" là dòng chữ được chèn: "Cha của Kutuzov . " Xé những lời cuối cùng này như một người lính và khua tay như thể đang ném thứ gì đó xuống đất, người đánh trống, một người lính khô khan và đẹp trai khoảng bốn mươi, nghiêm nghị nhìn xung quanh những người lính viết nhạc và nhắm mắt lại. Sau đó, đảm bảo rằng mọi ánh mắt đều dán vào mình, anh ta dường như cẩn thận nâng bằng cả hai tay lên một thứ vô hình, quý giá trên đầu, giữ nó như vậy trong vài giây, và đột nhiên ném nó một cách tuyệt vọng: Ôi, bạn, tán của tôi, tán của tôi! “Canopy my new…”, hai mươi giọng nói vang lên, và người cầm thìa, bất chấp sức nặng của đạn dược, nhanh chóng nhảy về phía trước và đi lùi về phía trước của đại đội, di chuyển vai và đe dọa ai đó bằng thìa. Các chiến sĩ, vung tay theo nhịp bài hát, bước đi rộng rãi, bất giác đập vào chân. Phía sau công ty vang lên âm thanh của bánh xe, tiếng lò xo kêu và tiếng ngựa chạy. Kutuzov với tùy tùng của mình đang quay trở lại thành phố. Tổng tư lệnh ra hiệu cho mọi người tiếp tục đi lại tự do, và khuôn mặt của ông và tất cả các tùy tùng của ông thể hiện sự vui mừng trước âm thanh của bài hát, khi nhìn thấy người lính đang nhảy múa và những người lính hành quân vui vẻ và nhanh nhẹn của công ty. Ở hàng thứ hai, từ bên cánh phải, từ đó cỗ xe vượt qua các đại đội, một người lính mắt xanh, Dolokhov, vô tình bắt gặp ánh mắt của họ, người bước đi đặc biệt nhanh nhẹn và uyển chuyển theo nhịp bài hát và nhìn vào khuôn mặt của những người qua đường với vẻ mặt như thể anh ta thương hại những người không đi cùng công ty vào thời điểm này. Một chiếc cornet hussar từ tùy tùng của Kutuzov, bắt chước trung đoàn trưởng, tụt lại phía sau xe ngựa và lái đến Dolokhov. Con chó săn hussar Zherkov một thời ở St.Petersburg thuộc về xã hội bạo lực do Dolokhov lãnh đạo. Zherkov đã gặp Dolokhov ở nước ngoài với tư cách là một người lính, nhưng không cho rằng cần phải công nhận anh ta. Bây giờ, sau cuộc trò chuyện của Kutuzov với người bị giáng chức, anh ấy quay sang anh ta với niềm vui của một người bạn cũ: - Bạn thân mến cậu khoẻ chứ? - anh nói theo tiếng hát, sánh bước ngựa của mình với bước của đại đội. - Tôi như thế nào? - Dolokhov lạnh lùng trả lời, - như anh thấy. Bài hát sôi động đặc biệt coi trọng giai điệu vui tươi táo tợn mà Zherkov nói, và sự lạnh lùng có chủ ý trong câu trả lời của Dolokhov. - Vậy, làm thế nào để bạn hòa hợp với các cơ quan chức năng? Zherkov hỏi. Không có gì đâu, mọi người tốt. Làm thế nào bạn vào được trụ sở chính? - Biệt phái, tôi đang làm nhiệm vụ. Họ im lặng. “Tôi đã để con chim ưng ra khỏi tay áo bên phải của mình,” bài hát nói, bất giác khơi dậy một cảm giác vui vẻ, sảng khoái. Cuộc trò chuyện của họ có lẽ đã khác nếu họ không nói với âm thanh của một bài hát. - Sự thật là gì, người Áo đã bị đánh? Dolokhov hỏi. “Ma quỷ biết, họ nói. “Tôi rất vui,” Dolokhov trả lời ngắn gọn và rõ ràng, như bài hát yêu cầu. - Chà, hãy đến gặp chúng tôi khi vào buổi tối, pharaoh sẽ cầm đồ, - Zherkov nói. Hay bạn có nhiều tiền? - Đến. - Nó bị cấm. Anh đã đưa ra một lời thề. Tôi không uống rượu hay chơi cho đến khi nó xong việc. Chà, trước khi điều đầu tiên ... - Bạn sẽ thấy nó ở đó. Một lần nữa họ lại im lặng. “Vào đi, nếu bạn cần bất cứ điều gì, mọi người ở trụ sở sẽ giúp đỡ…” Zherkov nói. Dolokhov cười khúc khích. “Tốt hơn hết là bạn không nên lo lắng. Những gì tôi cần, tôi sẽ không hỏi, tôi sẽ tự nhận lấy. "Ừm, tôi rất ... - À, tôi cũng vậy. - Tạm biệt. - Hãy khỏe mạnh… ... và cao và xa, Về phía đội chủ nhà ... Zherkov chạm vào con ngựa của mình bằng cựa của mình, ba lần, phấn khích, đá, không biết bắt đầu từ đâu, xoay sở và phi nước đại, vượt qua đại đội và bắt kịp cỗ xe, cũng kịp với bài hát.

Trở về sau cuộc duyệt binh, Kutuzov, cùng với viên tướng Áo, đến văn phòng của ông ta và gọi phụ tá, ra lệnh đưa cho mình một số giấy tờ liên quan đến tình trạng của quân đội đến, và những bức thư nhận được từ Archduke Ferdinand, người chỉ huy quân tiền phương. . Hoàng tử Andrei Bolkonsky với những giấy tờ cần thiết bước vào văn phòng của tổng tư lệnh. Trước kế hoạch được bày ra trên bàn là Kutuzov và một thành viên Áo của Hofkriegsrat. “Ah ...” Kutuzov nói, nhìn lại Bolkonsky, như thể từ này mời người phụ tá đợi, và tiếp tục cuộc trò chuyện bắt đầu bằng tiếng Pháp. “Tôi chỉ nói một điều thôi, thưa Đại tướng,” Kutuzov nói với một biểu cảm và ngữ điệu dễ chịu, buộc người ta phải lắng nghe từng từ được nói ra một cách nhàn nhã. Rõ ràng là Kutuzov đã lắng nghe bản thân một cách thích thú. - Tôi chỉ nói một điều, thưa Đại tướng, rằng nếu vấn đề phụ thuộc vào mong muốn của cá nhân tôi, thì ý nguyện của Hoàng đế Franz đã được thực hiện từ lâu. Tôi đã tham gia Archduke từ lâu. Và hãy tin vinh dự của tôi, rằng đối với cá nhân tôi, được chuyển giao quyền chỉ huy quân đội cao hơn tôi cho một vị tướng hiểu biết và tài giỏi, chẳng hạn như nước Áo rất dồi dào, và được giao tất cả trách nhiệm nặng nề này đối với cá nhân tôi sẽ là một niềm vui. . Nhưng hoàn cảnh mạnh hơn chúng ta, nói chung. Và Kutuzov mỉm cười với vẻ mặt như thể anh ấy đang nói: “Bạn có quyền không tin tôi, và thậm chí tôi không quan tâm bạn có tin tôi hay không, nhưng bạn không có lý do gì để nói với tôi điều này. Và đó là toàn bộ vấn đề. " Vị tướng Áo có vẻ không hài lòng, nhưng không thể trả lời Kutuzov bằng một giọng điệu. “Ngược lại,” anh ta nói với giọng cáu kỉnh và tức giận, trái ngược với ý nghĩa tâng bốc của những lời đã nói, “trái lại, sự tham gia của Bệ hạ vào sự nghiệp chung rất được Bệ hạ coi trọng; nhưng chúng tôi tin rằng sự suy giảm thực sự sẽ tước đi những vinh quang của quân đội Nga và những người chỉ huy của họ khỏi những vinh quang mà họ quen gặt hái được trong các trận chiến, ”ông kết thúc câu nói có vẻ đã được chuẩn bị trước. Kutuzov cúi đầu mà không thay đổi nụ cười. - Và tôi rất tin tưởng, dựa trên bức thư cuối cùng mà Công chúa Archduke Ferdinand vinh danh cho tôi, tôi cho rằng quân Áo, dưới sự chỉ huy của một phụ tá tài giỏi như Tướng Mack, giờ đã giành được một chiến thắng quyết định và không còn nữa. cần sự giúp đỡ của chúng tôi, - Kutuzov nói. Tướng quân cau mày. Mặc dù không có tin tức tích cực nào về thất bại của quân Áo, nhưng có quá nhiều tình tiết xác nhận những tin đồn bất lợi chung; và do đó giả định của Kutuzov về chiến thắng của người Áo rất giống với một lời chế giễu. Nhưng Kutuzov mỉm cười hiền hòa, vẫn với vẻ mặt như cũ nói rằng anh có quyền cho rằng điều này. Thật vậy, bức thư cuối cùng anh nhận được từ quân đội của Mack đã thông báo cho anh biết về chiến thắng và vị trí chiến lược có lợi nhất của quân đội. “Đưa tôi bức thư này,” Kutuzov nói, quay sang Hoàng tử Andrei. - Của bạn đây, nếu bạn muốn xem. - Và Kutuzov, với một nụ cười chế giễu trên môi, đọc đoạn văn sau trong bức thư của Archduke Ferdinand từ tướng Đức-Áo: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubdientiten, rất sai lầm. ” [Chúng tôi có một lực lượng tập trung hoàn toàn, khoảng 70.000 người, để chúng tôi có thể tấn công và đánh bại kẻ thù nếu hắn vượt qua Lech. Vì chúng ta đã sở hữu Ulm, chúng ta có thể giữ lợi thế chỉ huy cả hai bờ sông Danube, do đó, cứ mỗi phút, nếu kẻ thù không vượt qua Lech, hãy băng qua Danube, hãy lao đến đường liên lạc của hắn, băng qua sông Danube hạ lưu và kẻ địch. , nếu anh ta quyết định tập trung tất cả sức mạnh của mình cho các đồng minh trung thành của chúng ta, để ngăn ý định của anh ta không được thực hiện. Vì vậy, chúng ta sẽ vui vẻ chờ đợi thời điểm khi quân đội đế quốc Nga đã hoàn toàn sẵn sàng, và sau đó chúng ta sẽ cùng nhau dễ dàng tìm ra cơ hội để chuẩn bị cho kẻ thù số phận mà anh ta xứng đáng.

Golovizin V.V. Bài giảng Đại số và Hình học. 4

Bài giảng Đại số và Hình học. Học kỳ 2.

Bài giảng 22. Không gian vectơ.

Nội dung tóm tắt: định nghĩa không gian vectơ, tính chất đơn giản nhất của nó, hệ thức vectơ, tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ, tổ hợp tuyến tính nhỏ và không tầm thường, hệ phụ thuộc tuyến tính và độc lập của vectơ, điều kiện để phụ thuộc tuyến tính hoặc độc lập của hệ vectơ, hệ con của một hệ vectơ, hệ thống cột của một không gian vectơ số học.

Mục 1. Định nghĩa không gian vectơ và các tính chất đơn giản nhất của nó.

Sau đây, để bạn đọc tiện theo dõi, chúng tôi xin nhắc lại nội dung đoạn 13 của bài giảng 1.

Sự định nghĩa. Giả sử là một tập khác rỗng tùy ý, có các phần tử mà chúng ta sẽ gọi là vectơ, trường K, có các phần tử mà chúng ta sẽ gọi là vô hướng. Để một phép toán đại số nhị phân bên trong được xác định trên tập, chúng ta sẽ ký hiệu bằng dấu + và gọi là phép cộng vectơ. Cũng để xác định một phép toán đại số nhị phân bên ngoài trên tập hợp, mà chúng ta sẽ gọi là phép nhân vectơ với một đại lượng vô hướng và biểu thị bằng dấu nhân. Nói cách khác, hai ánh xạ được định nghĩa:

Một tập hợp với hai phép toán đại số này được gọi là không gian vectơ trên trường K nếu các tiên đề sau đây đúng:

1. Phép cộng có tính chất liên kết, tức là

2. Có một vectơ không, tức là

3. Đối với bất kỳ vectơ nào, có một đối diện:

Vectơ y, đối diện với vectơ x, thường được ký hiệu là -x, do đó

4. Phép cộng có tính chất giao hoán, tức là .

5. Phép nhân một vectơ với một vô hướng tuân theo luật kết hợp, tức là

trong đó sản phẩm là tích của các đại lượng vô hướng được xác định trong trường K.

6., trong đó 1 là đơn vị của trường K.

7. Phép nhân một vectơ với một đại lượng vô hướng có phân phối đối với phép cộng vectơ:

8. Phép nhân một vectơ với một đại lượng vô hướng là có phân phối đối với phép cộng vô hướng:.

Sự định nghĩa. Không gian vectơ trên trường số thực được gọi là không gian vectơ thực.

Định lý. (Các tính chất đơn giản nhất của không gian vectơ.)

1. Chỉ có một vectơ rỗng trong không gian vectơ.

2. Trong không gian vectơ, bất kỳ vectơ nào cũng có một đối duy nhất đối với nó.

3. hoặc .

4. .

Bằng chứng. 1) Tính duy nhất của vectơ 0 được chứng minh giống như tính duy nhất của ma trận nhận dạng và nói chung, như tính duy nhất của phần tử trung tính của bất kỳ phép toán đại số nhị phân nội bộ nào.

Gọi 0 là vectơ không của không gian vectơ V. Khi đó. Để cho được là một vectơ khác không. Sau đó. Hãy lấy trường hợp đầu tiên , và trong lần thứ hai . sau đó và , từ đó nó theo sau đó , vân vân.

2a) Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng tích của một vô hướng không và bất kỳ vectơ nào cũng bằng một vectơ không.

Để cho được . Sau đó, áp dụng tiên đề không gian vectơ, chúng ta nhận được:

Đối với phép cộng, không gian vectơ là một nhóm Abel và luật hủy bỏ được giữ trong bất kỳ nhóm nào. Áp dụng quy luật giảm dần, đẳng thức cuối cùng ngụ ý

.

2b) Bây giờ chúng ta hãy chứng minh khẳng định 4). Để cho được là một vectơ tùy ý. sau đó

Ngay sau đó, vectơ là đối lập của x.

2c) Hãy để bây giờ . Sau đó, áp dụng tiên đề không gian vectơ, và chúng tôi nhận được:

2d) Để và giả sử rằng . Như , trong đó K là một trường, thì tồn tại . Hãy nhân đẳng thức để lại cho :, khi nào theo sau hoặc hoặc .

Định lý đã được chứng minh.

mục 2. Các ví dụ về không gian vectơ.

1) Tập hợp các hàm số thực một biến, liên tục trên khoảng (0; 1) đối với các phép toán cộng và nhân một hàm số với một số thông thường.

2) Tập hợp các đa thức từ một chữ cái với các hệ số từ trường K liên quan đến phép cộng các đa thức và phép nhân các đa thức với một vô hướng.

3) Tập hợp các số phức đối với phép cộng số phức và phép nhân với một số thực.

4) Tập hợp các ma trận có cùng kích thước với các phần tử từ trường K liên quan đến phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với một vô hướng.

Ví dụ sau đây là một trường hợp đặc biệt quan trọng của Ví dụ 4.

5) Cho là một số tự nhiên tùy ý. Biểu thị bằng tập hợp tất cả các cột có chiều cao n, tức là tập hợp các ma trận trên một trường có kích thước K .

Tập hợp là một không gian vectơ trên trường K và được gọi là không gian vectơ số học của các cột có chiều cao n trên trường K.

Đặc biệt, nếu thay vì một trường K tùy ý, chúng ta lấy trường các số thực, thì không gian vectơ được gọi là không gian vectơ số học thực của các cột có chiều cao n.

Tương tự, tập hợp các ma trận trên một trường có kích thước K cũng là một không gian vectơ hoặc, nếu không, các chuỗi có độ dài n. Nó cũng được ký hiệu là và còn được gọi là không gian vectơ số học của các chuỗi có độ dài n trên một trường K.

mục 3. Hệ các vectơ của một không gian vectơ.

Sự định nghĩa. Hệ thống các vectơ của không gian vectơ là một tập hữu hạn không rỗng các vectơ của không gian này.

Chỉ định: .

Sự định nghĩa. Biểu hiện

, (1)

đâu là các vô hướng của trường K, là các vectơ của không gian vectơ V, được gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ các vectơ . Hệ số vô hướng được gọi là hệ số của tổ hợp tuyến tính này.

Sự định nghĩa. Nếu tất cả các hệ số của tổ hợp tuyến tính (1) đều bằng 0, thì tổ hợp tuyến tính như vậy được gọi là tầm thường, ngược lại thì không tầm thường.

Ví dụ. Để cho được hệ ba vectơ trong không gian vectơ V. sau đó

là một tổ hợp tuyến tính tầm thường của một hệ thống các vectơ cho trước;

là một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của một hệ thống các vectơ đã cho, vì hệ số đầu tiên của sự kết hợp này .

Sự định nghĩa. Nếu bất kỳ vectơ x nào của không gian vectơ V có thể được biểu diễn dưới dạng:

thì chúng ta nói rằng vectơ x được biểu thị tuyến tính theo các vectơ của hệ . Trong trường hợp này, chúng tôi cũng nói rằng hệ thống biểu diễn tuyến tính vectơ x.

Nhận xét. Trong định nghĩa này và định nghĩa trước đây, từ "tuyến tính" thường bị bỏ qua và hệ thống được cho là đại diện cho một vectơ, hoặc vectơ được biểu thị theo các vectơ của hệ thống, v.v.

Ví dụ. Để cho được là một hệ hai cột trong không gian vectơ thực số học gồm các cột có chiều cao là 2. Khi đó cột được biểu thị tuyến tính theo các cột của hệ thống, hoặc hệ thống cột đã cho biểu thị tuyến tính cột x. Thật sự,

mục 4. Hệ thức độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của vectơ trong không gian vectơ.

Vì tích của một vô hướng bằng không với bất kỳ vectơ nào là một vectơ không và tổng các vectơ không bằng một vectơ 0, nên đối với bất kỳ hệ thức vectơ nào thì bằng

Theo đó, vectơ null được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ của bất kỳ hệ thống vectơ nào, hay nói cách khác, bất kỳ hệ thống vectơ nào cũng biểu diễn tuyến tính cho vectơ null.

Ví dụ. Để cho được . Trong trường hợp này, cột rỗng có thể được biểu diễn tuyến tính theo các cột của hệ thống theo nhiều cách:

hoặc

Để phân biệt giữa các phương pháp biểu diễn tuyến tính của vectơ 0, chúng tôi giới thiệu định nghĩa sau.

Sự định nghĩa. Nếu bình đẳng

và tất cả các hệ số, sau đó chúng ta nói rằng hệ thống đại diện cho vectơ null một cách nhỏ giọt. Nếu trong đẳng thức (3) thì ít nhất một trong các hệ số không bằng 0, khi đó ta nói rằng hệ các vectơ đại diện cho vectơ null theo một cách không tầm thường.

Từ ví dụ cuối cùng, chúng ta thấy rằng có những hệ thống vectơ có thể biểu diễn vectơ null một cách không tầm thường. Từ ví dụ sau, chúng ta sẽ thấy rằng có những hệ thống vectơ không thể biểu diễn một cách khác thường vectơ null.

Ví dụ. Để cho được là một hệ thống gồm hai cột từ không gian vectơ. Hãy xem xét sự bình đẳng:

,

ở đâu hệ số chưa biết. Sử dụng các quy tắc để nhân một cột với một đại lượng vô hướng (số) và thêm các cột, chúng ta nhận được đẳng thức:

.

Nó theo định nghĩa của đẳng thức ma trận mà và .

Do đó, hệ thống đã cho không thể biểu diễn cột rỗng theo một cách không tầm thường.

Từ các ví dụ trên, có hai loại hệ vectơ. Một số hệ thống đại diện cho vectơ null theo một cách không tầm thường, trong khi những hệ thống khác thì không. Lưu ý một lần nữa rằng bất kỳ hệ thống vectơ nào cũng đại diện cho vectơ rỗng.

Sự định nghĩa. Hệ thống véc tơ không gian véc tơ biểu thị véc tơ 0 CHỈ một cách nhỏ giọt được cho là độc lập tuyến tính.

Sự định nghĩa. Hệ thống các vectơ trong không gian vectơ có thể biểu diễn một cách khác thường một vectơ rỗng được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Định nghĩa cuối cùng có thể được đưa ra dưới dạng chi tiết hơn.

Sự định nghĩa. Hệ thống vectơ không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một tập vô hướng khác 0 của trường K

Nhận xét. Bất kỳ hệ thống vectơ nào có thể đại diện cho vectơ null một cách đáng kể:

Nhưng điều này vẫn chưa đủ để tìm ra liệu một hệ vectơ đã cho là phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính. Nó dựa trên định nghĩa rằng một hệ thống vectơ độc lập tuyến tính không thể biểu diễn vectơ 0 theo một cách không tầm thường, mà chỉ theo một cách tầm thường. Do đó, để xác minh tính độc lập tuyến tính của một hệ vectơ đã cho, cần phải xem xét biểu diễn của 0 bằng một tổ hợp tuyến tính tùy ý của hệ vectơ này:

Nếu đẳng thức này là không thể, với điều kiện là ít nhất một hệ số của tổ hợp tuyến tính này khác 0, thì hệ này, theo định nghĩa, độc lập tuyến tính.

Vì vậy, trong các ví dụ của đoạn trước, hệ thống cột là độc lập tuyến tính và hệ thống cột là phụ thuộc tuyến tính.

Tính độc lập tuyến tính của hệ thống cột được chứng minh tương tự ,, ... ,

từ không gian, trong đó K là trường tùy ý, n là số tự nhiên tùy ý.

Các định lý sau đây đưa ra một số tiêu chí cho sự phụ thuộc tuyến tính và do đó, sự độc lập tuyến tính của các hệ vectơ.

Định lý. (Điều kiện cần và đủ cho sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ.)

Hệ vectơ trong không gian vectơ phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ khi một trong các vectơ của hệ được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ khác của hệ này.

Bằng chứng. Nhu cầu. Hãy để hệ thống phụ thuộc tuyến tính. Sau đó, theo định nghĩa, nó đại diện cho vectơ null theo một cách không tầm thường, tức là có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của hệ thống các vectơ này bằng vectơ 0:

trong đó ít nhất một trong các hệ số của tổ hợp tuyến tính này không bằng 0. Để cho được ,.

Chia cả hai phần của đẳng thức trước cho hệ số khác 0 (nghĩa là nhân với :

Chứng tỏ: , ở đâu.

những thứ kia. một trong các vectơ của hệ thống được biểu thị tuyến tính theo các vectơ khác của hệ thống này, v.v.

Tính đầy đủ. Để một trong các vectơ của hệ được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ khác của hệ này:

Hãy di chuyển vector ở bên phải của phương trình này:

Vì hệ số tại vectơ bằng , thì chúng ta có một biểu diễn không tầm thường của số 0 bởi một hệ thống các vectơ , có nghĩa là hệ thống vectơ này phụ thuộc tuyến tính, v.v.

Định lý đã được chứng minh.

Hậu quả.

1. Một hệ vectơ trong không gian vectơ là độc lập tuyến tính nếu và chỉ khi không vectơ nào của hệ được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ khác của hệ này.

2. Một hệ các vectơ chứa một vectơ bằng 0 hoặc hai vectơ bằng nhau thì phụ thuộc tuyến tính.

Bằng chứng.

1) Sự cần thiết. Để hệ thống độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại và có một vectơ của hệ được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ khác của hệ này. Sau đó, theo định lý, hệ thống phụ thuộc tuyến tính, và chúng ta đi đến một mâu thuẫn.

Tính đầy đủ. Không để vectơ nào của hệ được biểu diễn theo các vectơ khác. Hãy giả sử ngược lại. Cho hệ phụ thuộc tuyến tính, nhưng sau đó theo định lý rằng có một vectơ hệ được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ khác của hệ này, và chúng ta lại đi đến một mâu thuẫn.

2a) Cho hệ chứa một vectơ không. Giả sử chắc chắn rằng vectơ :. Sau đó, bình đẳng

những thứ kia. một trong các vectơ của hệ được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ khác của hệ này. Theo định lý, một hệ thống các vectơ như vậy là phụ thuộc tuyến tính, cứ như vậy.

Lưu ý rằng thực tế này có thể được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của một hệ phụ thuộc tuyến tính của vectơ.

Như , thì sự bình đẳng sau đây là hiển nhiên

Đây là một biểu diễn không tầm thường của vectơ 0, có nghĩa là hệ thống là phụ thuộc tuyến tính.

2b) Cho hệ có hai vectơ bằng nhau. Hãy để cho sự dứt khoát . Sau đó, bình đẳng

Những thứ kia. vectơ đầu tiên được biểu thị tuyến tính theo các vectơ khác của cùng một hệ. Theo định lý, hệ đã cho là phụ thuộc tuyến tính, v.v.

Tương tự như điều trước, khẳng định này cũng có thể được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của một hệ phụ thuộc tuyến tính.

Thật vậy, kể từ , sau đó là bình đẳng

những thứ kia. chúng ta có một biểu diễn không tầm thường của vectơ null.

Hệ quả được chứng minh.

Định lý (Về sự phụ thuộc tuyến tính của hệ một véc tơ.

Hệ thống bao gồm một vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ này bằng 0.

Bằng chứng.

Nhu cầu. Hãy để hệ thống phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại một biểu diễn không tầm thường của vectơ null

,

ở đâu và . Nó tuân theo các thuộc tính đơn giản nhất của không gian vectơ mà sau đó .

Tính đầy đủ. Để hệ thống bao gồm một vectơ không . Sau đó, hệ thống này đại diện cho vectơ 0 một cách không thường xuyên

,

khi đó tuân theo sự phụ thuộc tuyến tính của hệ thống .

Định lý đã được chứng minh.

Hậu quả. Hệ thống bao gồm một vectơ là độc lập tuyến tính nếu và chỉ khi vectơ này khác không.

Chứng minh được để lại cho người đọc như một bài tập.

Bài giảng 6. Không gian vectơ.

Các câu hỏi chính.

1. Không gian vectơ pháp tuyến.

2. Cơ sở và số chiều của không gian.

3. Định hướng không gian.

4. Phân rã của một vectơ về cơ sở.

5. Tọa độ vectơ.

1. Không gian vectơ pháp tuyến.

Một tập hợp bao gồm các phần tử có tính chất bất kỳ, trong đó các phép toán tuyến tính được xác định: phép cộng hai phần tử và phép nhân một phần tử với một số được gọi là không gian và các yếu tố của chúng là vectơ không gian này và được biểu thị theo cùng một cách với đại lượng vectơ trong hình học:. Vectơ các không gian trừu tượng như vậy, như một quy luật, không có điểm chung nào với các vectơ hình học thông thường. Các phần tử của không gian trừu tượng có thể là các hàm, một hệ thống số, ma trận, v.v., và trong trường hợp cụ thể là các vectơ thông thường. Do đó, các không gian như vậy được gọi là không gian vector .

Không gian vectơ là, Ví dụ, tập hợp các vectơ thẳng hàng, được ký hiệu là V1 , tập hợp các vectơ đồng phẳng V2 , tập hợp các vectơ thông thường (không gian thực) V3 .

Đối với trường hợp cụ thể này, chúng ta có thể đưa ra định nghĩa sau về không gian vectơ.

Định nghĩa 1. Tập hợp các vectơ được gọi là không gian vector, nếu tổ hợp tuyến tính của bất kỳ vectơ nào của tập hợp cũng là một vectơ của tập hợp này. Bản thân các vectơ được gọi là các yếu tố không gian vectơ.

Quan trọng hơn cả về mặt lý thuyết và ứng dụng là khái niệm tổng quát (trừu tượng) của không gian vectơ.

Định nghĩa 2. Một loạt các R phần tử, trong đó cho hai phần tử bất kỳ và tổng được xác định và cho bất kỳ phần tử nào https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif "width =" 68 "height =" 20 "> được gọi vectơ(hoặc tuyến tính) khoảng trống và các phần tử của nó là vectơ, nếu các phép toán cộng vectơ và nhân một vectơ với một số thỏa mãn các điều kiện sau ( tiên đề) :

1) phép cộng có tính chất giao hoán, tức là ...gif "width =" 184 "height =" 25 ">;

3) có một phần tử như vậy (vectơ 0) đối với bất kỳ https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 "height =" 20 ">. Gif" width = "99" height = "27">;

5) đối với bất kỳ vectơ và và bất kỳ số λ nào, thì bình đẳng được giữ nguyên;

6) cho bất kỳ vectơ và bất kỳ số nào λ và µ bình đẳng hợp lệ https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 height = 20 "height =" 20 "> và bất kỳ số nào λ và µ công bằng ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 "height =" 20 ">.

Từ tiên đề xác định không gian vectơ theo đơn giản nhất kết quả :

1. Trong không gian vectơ, chỉ có một không - một phần tử - một vectơ không.

2. Trong không gian vectơ, mỗi vectơ có một vectơ đối duy nhất.

3. Đối với mỗi phần tử, đẳng thức được thực hiện.

4. Đối với bất kỳ số thực nào λ và vectơ không https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif "width =" 68 "height =" 25 ">.

5..gif "width =" 145 "height =" 28 ">

6..gif "width =" 15 "height =" 19 src = ">. Gif" width = "71" height = "24 src ="> là một vectơ thỏa mãn đẳng thức https://pandia.ru/text / 80 /142/images/image026_26.gif "width =" 73 "height =" 24 ">.

Vì vậy, thực sự, tập hợp tất cả các vectơ hình học cũng là một không gian tuyến tính (vectơ), vì đối với các phần tử của tập hợp này, các hành động của phép cộng và phép nhân với một số được xác định thỏa mãn các tiên đề đã công thức.

2. Cơ sở và số chiều của không gian.

Các khái niệm cơ bản của không gian vectơ là các khái niệm về cơ sở và thứ nguyên.

Sự định nghĩa. Tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính, được lấy theo một thứ tự nhất định, qua đó bất kỳ vectơ nào của không gian được biểu diễn tuyến tính, được gọi là nền tảng không gian này. Vectơ. Các khoảng trống tạo nên cơ sở được gọi là nền tảng .

Cơ sở của tập các vectơ nằm trên một đường bất kỳ có thể được coi là một thẳng hàng với vectơ đường thẳng này.

Cơ sở trên máy bay chúng ta hãy gọi hai vectơ không thẳng hàng trên mặt phẳng này, được lấy theo một thứ tự nhất định https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width =" 61 "height =" 24 ">.

Nếu các vectơ cơ sở vuông góc với nhau (trực giao), thì cơ sở được gọi là trực giao và nếu các vectơ này có độ dài bằng một, thì cơ sở được gọi là chính thống .

Số vectơ độc lập tuyến tính lớn nhất trong không gian được gọi là kích thước không gian này, tức là, số chiều của không gian trùng với số vectơ cơ sở của không gian này.

Vì vậy, theo các định nghĩa sau:

1. Không gian một chiều V1 là một đường thẳng và cơ sở bao gồm một collinear vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif "width =" 39 "height =" 23 src = ">.

3. Không gian thông thường là không gian ba chiều V3 , mà cơ sở của nó bao gồm ba không đồng phẳng vectơ.

Từ đây ta thấy rằng số vectơ cơ sở trên một đường thẳng, trên một mặt phẳng, trong không gian thực trùng với cái mà trong hình học thường gọi là số kích thước (thứ nguyên) của một đường thẳng, mặt phẳng, không gian. Do đó, việc đưa ra một định nghĩa tổng quát hơn là điều đương nhiên.

Sự định nghĩa. không gian vector R triệu tập N- chiều nếu nó chứa nhiều nhất N vectơ độc lập tuyến tính và được ký hiệu là R N. Con số N triệu tập kích thước khoảng trống.

Theo kích thước của không gian được chia thành hữu hạn chiều và chiều vô hạn. Số chiều của không gian rỗng, theo định nghĩa, được giả định là số không.

Nhận xét 1. Trong mỗi không gian, bạn có thể chỉ định bao nhiêu cơ sở tùy thích, nhưng tất cả các cơ sở của không gian này đều chứa cùng một số vectơ.

Nhận xét 2. TẠI N- trong không gian vectơ chiều, một cơ sở là bất kỳ tập hợp có thứ tự nào N vectơ độc lập tuyến tính.

3. Định hướng không gian.

Cho vectơ cơ sở trong không gian V3 có khởi đầu chung và ra lệnh, tức là nó được chỉ ra rằng vectơ nào được coi là vectơ đầu tiên, vectơ nào - thứ hai và vectơ nào - thứ ba. Ví dụ, trong cơ sở, các vectơ được sắp xếp theo chỉ mục.

Vì để định hướng không gian, cần phải đặt ra một số cơ sở và tuyên bố nó tích cực .

Có thể chỉ ra rằng tập hợp tất cả các cơ sở của một không gian thuộc hai lớp, nghĩa là thành hai tập con không giao nhau.

a) tất cả các cơ sở thuộc một tập hợp con (lớp) có như nhauđịnh hướng (các căn cứ cùng tên);

b) hai cơ sở bất kỳ thuộc đa dạng tập con (lớp), có đối nghịch sự định hướng, ( những cái tên khác nhau căn cứ).

Nếu một trong hai lớp cơ sở của không gian được khai báo là dương và lớp kia là âm, thì chúng ta nói rằng không gian này định hướng .

Thông thường, khi định hướng không gian, một số cơ sở được gọi là đúng, trong khi những người khác thì những người cánh tả .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width =" 61 "height =" 24 src = "> được gọi đúng, nếu khi quan sát từ cuối vectơ thứ ba, vòng quay ngắn nhất của vectơ đầu tiên https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "width =" 16 "height =" 23 "> được thực hiện ngược đồng hồ khôn ngoan(Hình 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif "width =" 16 "height =" 24 ">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif "width =" 15 "height =" 23 ">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif "width =" 13 "height =" 19 ">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "width =" 16 "height =" 23 ">

Cơm. 1.8. Cơ sở bên phải (a) và cơ sở bên trái (b)

Thông thường, cơ sở đúng của khoảng trắng được khai báo là cơ sở dương

Cơ sở bên phải (bên trái) của không gian cũng có thể được xác định bằng cách sử dụng quy tắc của vít hoặc gimlet "bên phải" ("bên trái").

Tương tự với điều này, khái niệm bên phải và bên trái sinh ba các vectơ không bổ sung mà phải có thứ tự (Hình 1.8).

Do đó, trong trường hợp tổng quát, hai bộ ba có thứ tự của vectơ không đồng phẳng có cùng hướng (có cùng tên) trong không gian V3 nếu cả hai bên phải hoặc cả hai bên trái, và - hướng ngược lại (ngược lại), nếu một trong hai hướng bên phải và hướng còn lại bên trái.

Điều tương tự cũng được thực hiện trong trường hợp không gian V2 (máy bay).

4. Phân rã của một vectơ về cơ sở.

Để đơn giản hóa việc suy luận, chúng ta sẽ xem xét câu hỏi này bằng cách sử dụng ví dụ về không gian vectơ ba chiều R3 .

Đặt https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif "width =" 15 "height =" 19 "> là một vectơ tùy ý của không gian này.

4.3.1 Định nghĩa không gian tuyến tính

Để cho được ā , , - các phần tử của một số tập hợp ā , , Đất λ , μ - số thực, λ , μ R..

Tập hợp L được gọi làtuyến tính hoặckhông gian vector, nếu hai hoạt động được xác định:

1 0 . Phép cộng. Mỗi cặp phần tử của tập hợp này được liên kết với một phần tử của cùng một tập hợp, được gọi là tổng của chúng

ā + =

2 °.Phép nhân với một số. Bất kỳ số thực nào λ và phần tử ā L một phần tử của cùng một tập hợp được chỉ định λ ā L và các thuộc tính sau được đáp ứng:

1. ā += + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. tồn tại phần tử rỗng , như vậy mà ā +=ā ;

4. tồn tại yếu tố đối lập - như vậy mà ā +(-ā )=.

Nếu một λ , μ - số thực, sau đó:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Các phần tử của không gian tuyến tính ā, , ... được gọi là vectơ.

Một bài tập. Hãy tự chứng minh rằng những tập hợp này tạo thành không gian tuyến tính:

1) Tập hợp các vectơ hình học trên mặt phẳng;

2) Tập hợp các vectơ hình học trong không gian ba chiều;

3) Tập hợp các đa thức bậc nào đó;

4) Tập hợp các ma trận có cùng thứ nguyên.

4.3.2 Vectơ phụ thuộc tuyến tính và độc lập. Kích thước và cơ sở của không gian

Kết hợp tuyến tính vectơ ā 1 , ā 2 , …, ā N Lđược gọi là vectơ cùng không gian có dạng:

,

ở đâu λ i - số thực.

Vectơ ā 1 , .. , ā N triệu tậpđộc lập tuyến tính, nếu kết hợp tuyến tính của chúng là một vectơ 0 nếu và chỉ khi tất cả λ tôi bằng 0, I E

λ i = 0

Nếu kết hợp tuyến tính là một vectơ 0 và ít nhất một trong số λ tôi khác 0 thì các vectơ này được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Điều sau có nghĩa là ít nhất một trong các vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ khác. Thật vậy, hãy để và, ví dụ, . sau đó, , ở đâu .

Một hệ vectơ có thứ tự tuyến tính cực đại độc lập được gọi là nền tảng khoảng trống L. Số vectơ cơ sở được gọi là kích thước khoảng trống.

Hãy giả sử rằng có N vectơ độc lập tuyến tính thì không gian được gọi là N-không gian. Các vectơ không gian khác có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính N vectơ cơ sở. mỗi cơ sở N- không gian chiều có thể được thực hiện không tí nào N vectơ độc lập tuyến tính của không gian này.

Ví dụ 17. Tìm cơ sở và số chiều của không gian tuyến tính đã cho:

a) tập hợp các vectơ nằm trên một dòng (thẳng hàng với một số dòng)

b) tập các vectơ thuộc mặt phẳng

c) tập hợp các vectơ của không gian ba chiều

d) tập hợp các đa thức bậc nhiều nhất là hai.

Quyết định.

một) Hai vectơ bất kỳ nằm trên một dòng sẽ phụ thuộc tuyến tính, vì các vectơ thẳng hàng , sau đó , λ - vô hướng. Do đó, cơ sở của không gian này chỉ là một (bất kỳ) vectơ khác 0.

Thông thường không gian này là R, thứ nguyên của nó là 1.

b) hai vectơ không thẳng hàng bất kỳ là độc lập tuyến tính và ba vectơ bất kỳ trong mặt phẳng đều phụ thuộc tuyến tính. Đối với bất kỳ vectơ nào , có những con số  và  như vậy mà . Không gian được gọi là hai chiều, ký hiệu là R 2 .

Cơ sở của không gian hai chiều được hình thành bởi hai vectơ không thẳng hàng bất kỳ.

trong) Bất kỳ ba vectơ không đồng phẳng nào sẽ độc lập tuyến tính, chúng tạo thành cơ sở của không gian ba chiều R 3 .

G)Để làm cơ sở cho không gian của đa thức bậc nhiều nhất là hai, người ta có thể chọn ba vectơ sau: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 là một đa thức, đồng dạng với một). Không gian này sẽ là không gian ba chiều.