LIÊN HỆ GIỮA TRỰC TÂM VÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ...

LIÊN HỆ GIỮA TRỰC TÂM VÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC Đặng Hải Giang – GV: THCS Thị Trấn Cẩm Xuyên – Hà Tĩnh Tính chất sau đây về trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác c

LIÊN HỆ GIỮA TRỰC TÂM VÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP

TAM GIÁC

( Đặng Hải Giang – GV: THCS Thị Trấn Cẩm Xuyên – Hà Tĩnh )

Tính chất sau đây về trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có rất nhiều ứng dụng trong việc giải các bài tập hình học

Tính chất: “Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần

khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến cạnh nối hai đỉnh còn lại”(*)

Chứng minh:+) Xét trường hợp ABC có 3 góc nhọn ( các trường

hợp khác tương tự )

Gọi H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là hình

chiếu của O trên BC Vẽ đường kính BD, suy ra: BAD BCD 90o

 DA // CH và DC // AH; suy ra AHCD là hình bình hành

 AH = CD (1)

Tam giác BCD có OI là đường trung bình  CD = 2.OI (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH = 2.OI (đpcm)

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi M,

N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB Chứng minh rằng các đường thẳng d1 qua

M song song với OA; d2 qua N song song với OB; d3 qua P song song với OC cùng đi qua một điểm

Gợi ý: Theo tính chất (*) thì AH = 2.OM ( H là trực tâm

) lại có d1 song song OA nên dễ dàng nhận thấy d1 đi qua trung

điểm I của AH Từ đó ta chứng minh được OMHI là hình bình

hành  d1 đi qua trung điểm E của OH Tương tự thì d2 và d3

cùng đi qua điểm E

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm là H Chứng minh

rằng 9 điểm gồm chân ba đường cao; trung điểm ba cạnh và

trung điểm các đoạn HA, HB, HC cùng nằm trên một đường

tròn

Gợi ý: Vẽ đường tròn (O;R) ngoại tiếp ABC Gọi D là

chân đường cao vẽ từ A; I và M thứ tự là trung điểm của AH và

BC; IM cắt OH tại E (h.2) Từ tính chất (*) suy ra được AOMI

và IOMH là các hình bình hành

Từ đó ta có: EI = EM = ED = 1

2MI =

1

2OA =

1

2R  D, M, I ( E;

1

2R ) Chứng minh tương

tự thì 6 điểm còn lại cũng thuộc đường tròn ( E;1

2R ).

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có các

đường cao AN và CK ( NBC; KAB ) Đường tròn qua ba

điểm B, K, N cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M Gọi I là

trung điểm của AC Chứng minh IM  MB

Gợi ý: Ta nhận thấy đường tròn ngoại tiếp BKN nhận

BH làm đường kính ( với H là trực tâm của ABC ) nên MH 

MB Do đó để chứng minh IM  MB ta chỉ cần chứng minh M,

H, I thẳng hàng

Mặt khác từ tính chất (*) suy ra OIHJ là hình bình hành (

với J là tâm đường tròn ngoại tiếp BKN ) nên IH // OJ Như

vậy ta chỉ cần chứng minh MH // OJ

Để chứng minh MH // OJ ta làm như sau:

Do JB = JM và OB = OM  JO là trung trực của MB; suy ra JOMB Mặt khác MH  MB ( vì M thuộc đường tròn đường kính BH ) Từ đó suy ra: MH // OJ

Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) Gọi H1, H2, H3, H4 thứ tự là trực tâm của các tam giác ACD, BCD, ABD, ABC Chứng minh rằng:

I

C B

A

D

(h.2)

D E

I

O

M

H

C B

A

J

I O M

H K

N

C

B

A

d1

a) BH1, AH2, CH3, DH4 đồng qui.

b) Tứ giác H1H2H3H4 là tứ giác nội tiếp

Hướng dẫn:

a) Gọi a là khoảng cách từ O tới CD Từ tính chất (*) suy ra AH1 = BH2 = 2a.Tứ giác AH1 H2B có AH1 = BH2

và AH1 // BH2 (cùng vuông góc với CD ) AH1 H2B là hình bình hành Chứng minh tương tự thì CH2H3A,

H1DBH4 cũng là các hình bình hành Từ đó suy ra BH1,

AH2, CH3, DH4 đồng qui tại trung điểm I của mỗi đường

b) Lấy O1 đối xứng với O qua I; suy ra DOH4O1 là hình bình hành O1H4 = OD = R Chứng minh tương tự ta

có O1H3 = OC = R; O1H2 = OA = R; O1H1 = OB = R Suy ra

H1H2H3H4 nội tiếp đường tròn (O1; R)

Bài 5: Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định nằm

ngoài đường tròn Vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC

(A, B, C nằm trên (O;R)).Chứng minh rằng khi cát

tuyến PBC thay đổi thì trực tâm H của ABC chạy

trên một đường cố định

Gợi ý: Khi BC là đường kính thì HA; khi

AC là đường kính thì HBQ ( hình vẽ ) Từ đó ta

dự đoán trực tâm H chạy trên cung tròn đi qua A, H,

Q và ta có lời giải sơ bộ như sau:

Gọi I là hình chiếu của O trên BC; K là trung

điểm của AH Lấy O/ đối xứng với O qua trung điểm

của PA suy ra O/ cố định và AOPO/ là hình bình

hành (1) Từ tính chất (*) suy ra AOIK là hình bình

hành (2) Từ (1) và (2) ta suy ra được PIKO/ là hình

bình hành Suy ra O/K // PI mà PIAH nên O/K

AH O/H = O/A ( không đổi vì O/ và A cố định)  H (O/;O/A) cố định Khi IA thì HM;

ID thì HN (AM = AN = 2R) Vậy H MN cố định (đpcm )

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Chứng minh rằng: Trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác

cùng nằm trên một đường thẳng

Bài 2: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H cố định; còn ba đỉnh A, B, C chạy trên đường tròn

(O;R) cố định Tìm quỹ tích chân các đường cao của ABC

Bài 3: Cho hai điểm H, G nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d ( H, G không

thuộc d ) Dựng tam giác ABC sao cho H là trực tâm; G là trọng tâm và cạnh BC nằm trên đường thẳng d

………

a

O 1

H 4

H 3

H 2

H 1

O

B A

I

R

N

M

O '

D I

K H O

C

B

Q