Lim Là Gì? Phương Pháp Tính Và Bài Tập Về Giới Hạn Lim

Định nghĩa Lim là gì?

• Lim – viết tắt của Limit trong tiếng anh với nghĩa là “giới hạn”. Định nghĩa về “giới hạn” được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó.
• Khái niệm về giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước trong một không gian đầy đủ. Giới hạn được xem là một khái niệm quan trọng của môn Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân.
• Định nghĩa về giới hạn dãy số được tổng quát hóa thành giới hạn của một lưới topo, và được liên hệ chặt chẽ với các khái niệm giới hạn và giới hạn trực tiếp trong lý thuyết phạm trù. Ký hiệu giới hạn bằng chữ lim.
• Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số \((a_{n}\)) ta viết \(lim(a_{n})=a\) hoặc \((a_{n})\rightarrow a\)

Định nghĩa giới hạn của hàm số lớp 11

Giới hạn của hàm số là gì?

Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_{0}\). Ta nói rằng hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\) (có thể trừ điểm \(x_{0}\) có giới hạn là \(L\) khi \(x\)dần tới \(x_{0}\) nếu với dãy số \((x_{n})\) bất kỳ, \((x_{n})\in K\setminus \left \{ x_{0} \right \}\)và \(x_{n} \rightarrow x_{0}\), ta có: \(f(x_{n}) \rightarrow L\).

Ký hiệu: \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L\) hay \(f(x)\rightarrow L\)

khi \(x\rightarrow x_{0}\).

Giới hạn vô cực là gì?

• Hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn dần tới dương vô cực khi \(x\) dần tới \(x_{0}\) nếu với mọi dãy số \((x_{n})\):

\(x_{n}\rightarrow x_{0}\) thì \(f(x_{n})\rightarrow +\infty\)

Kí hiệu: \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty\)

• Tương tự cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực.
• Ta cũng định nghĩa như trên khi thay \(x_{0}\) bởi \(-\infty ;+\infty\)

Giới hạn tại vô cực

• Hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \((a;+\infty )\) có giới hạn là L khi \(x\rightarrow +\infty\) nếu với mọi dãy số \((x_{n}):x_{n}>a\) và \(x_{n}\rightarrow +\infty\) thì \(f(x_{n})\rightarrow L\).

Kí hiệu: \(\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x_{n})=L\)

• Hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \((-\infty;b )\) có giới hạn là L khi \(x\rightarrow -\infty\) nếu với mọi dãy số \((x_{n})\)

Kí hiệu: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x_{n})=L\)

Các định lý về giới hạn

Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương khi \(x\rightarrow x_{0}\)(hay \(x\rightarrow -\infty ;x\rightarrow +\infty\)) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi \(x\rightarrow x_{0}\) (hay \(x\rightarrow -\infty ;x\rightarrow +\infty\)).

***Chú ý: Định lý trên chỉ ấp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

Bài tập giới hạn một bên

Giới hạn một bên

• Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \((x_{0};b)\). Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f(x)\) khi \(x\) dần tới \(x_{0}\) nếu với mọi dãy\( (x_{n}):x_{0}<x_{n}<b\) mà \(x_{n}\rightarrow x_{0}\) thì có \(f(x_{n})\rightarrow L\)

Kí hiệu: \(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)= L\)

• Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên \((a;x_{0})\). Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f(x)\)khi \(x\) dần tới \(x_{0}\) nếu với mọi dãy \((x_{n}):a<x_{n}<x_{0}\) mà \(x_{n}\rightarrow x_{0}\) thì có \(f(x_{n})\rightarrow L\)

Kí hiệu: \(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)= L\)

• ***Chú ý: \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=L\)

Ứng dụng của giới hạn lim là gì?

Ứng dụng của giới hạn trong công nghiệp

Một người kỹ sư được yêu cầu sản xuất 1 chiếc đĩa tròn bằng kim loại với tiết diện mặt là \(1000 cm^{2}\)

Theo định nghĩa của \(\epsilon ,\delta\), \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)= L\), thì x là gì?\(f(x)\) là gì? a là gì? L là gì? giá trị \(\epsilon\) là bao nhiêu? Giá trị tương ứng của\(\delta\) là bao nhiêu?

Điều kiện để tồn tại giới hạn

Định lý 1 cơ bản

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \left \{ x_{n} \right \}\subset X\)

\(\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x_{0}\) thì \(\lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A\)

Định lý 2 (định lý Bônxanô-Côsi)

\(f(x)\) xác định trên X, khi đó:

\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0 \forall x’,x”:0<\left | x’-a \right |<\delta ;0<\left | x” -a\right |<\delta \Rightarrow \left | f(x’)-f(x”) \right |<\varepsilon\)

Định lý 3: Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên tập X

\(\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=l\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}\) sao cho \( \forall x’,x”<\left | x’ \right |>N;\left | x” \right |>N\Rightarrow \left | f(x’)-f(x”) \right |<\varepsilon\)

Định nghĩa về giới hạn vô cùng

• Hàm số \(f(x), x\) xác định trên khoảng \((a,b)\) được gọi là một vô cùng bé, nếu

\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0\) khi \(a\in (a,b)\) hoặc \(\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0\)

Kí hiệu là: VCB

• Hàm số \(f(x), x\) xác định trên khoảng \((a,b)\) được gọi là một vô cùng lớn, nếu:

\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty\) khi \(a\in (a,b)\) hoặc \(\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty\)

Kí hiệu là: VCL.

Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp những kiến thức hữu ích về chủ đề lim là gì, giới hạn là gì cũng như những nội dung liên quan. Nếu có bất cứ đóng góp hay câu hỏi gì cho bài viết về chủ đề lim là gì, đừng quên để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!

Xem thêm >>> Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải