Lôgarit Tự Nhiên (đổi Hướng Từ Logarit Tự Nhiên - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (10 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo Dục - Đào Tạo
>>
3. Cao đẳng - Đại học

Lôgarit tự nhiên (đổi hướng từ logarit tự nhiên

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (134.31 KB, 10 trang )

Lôgarit tự nhiên (đổi hướng từ Logarit tựnhiênMục lục12Lôgarit tự nhiên11.1Lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3Những định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.4Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.5Logarit tự nhiên trong giải tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.6Giá trị số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.6.1Độ chính xác cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.7Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.8am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.9Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Sốe42.1Lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42.2Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42.2.1Bài toán lãi suất kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42.2.2Phép thử Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42.2.3Derangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Số e trong giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.3.152.32.4Các đặc điểm khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.4.1Hàm tựa-mũ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.4.2Lý thuyết số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.4.3Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6Biểu diễn của số e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.5.1Biểu diễn số e dưới dạng liên phân số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.5.2Số chữ số thập phân đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.6Số e trong văn hóa máy tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.7Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.8Ghi chú. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.9am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.10 Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.11 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.5iiiMỤC LỤC2.11.1 Văn bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.11.2 Hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.11.3 Giấy phép nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Chương 1Lôgarit tự nhiên2ln(xy) = ln(x) + ln(y)246Do đó, hàm số logarit là một hàm số đơn điệu đi từ tậpsố thực dương dưới phép nhân vào tập số thực dướiphép cộng. Được miêu tả:8-2ln : R+ → R.Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, khôngchỉ là số e; tuy nhiên, logarit của các cơ số khác chỉkhác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiênvà thường được định nghĩa bằng thuật ngữ sau cùng.Logarit được sử dụng để tính các phương trình có số mũlà biến số. Ví dụ, Logarit được sử dụng để tính chu kìbán rã, hằng số phân rã, hoặc thời gian chưa biết trongnhững vấn đề phân rã chứa mũ. Logarit rất quan trọngtrong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học và đượcsử dụng trong tài chính để giải quyết những vấn đề liênquan đến lãi suất kép.-4-6Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên.Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơsố e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là:ln(x), logₑ(x) đôi khi còn viết là log(x) Logarit tự nhiêncủa một số x là bậc của số e để số e lũy thừa lên bằng 1.1 Lịch sửx. Tức là ln(x)=a <=> ea =x. Ví dụ, ln(7,389) bằng 2 vìe2 =7.389… Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 vàNgười đầu tiên đề cập đến logarit tự nhiên là Nicholaslogarit tự nhiên của 1 bằng 0Mercator trong tác phẩm Logarithmotechnia được côngLogarit tự nhiên được xác định với mọi số thực a (trừ số bố vào năm 1668, mặc dù giáo viên toán John Speidell0) là vùng dưới đồ thị y=1/x từ 1 đến a. Sự đơn giản của đã biên soạn một bản về logarit tự nhiên. Ban đầu nóđịnh nghĩa được sánh với các công thức khác kéo theo được gọi là logarit hyperbol, vì nó tương ứng với diệnlogarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ “tự nhiên”. Định tích của một hyperbol. Nó cũng đôi khi được gọi lànghĩa có thể được mở rộng đến số phức, được giải thích logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữdưới đây.này là hơi khác nhau.Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số cónghĩa của biến thực, là hàm số của hàm mũ. Điều nàydẫn đến sự đồng nhất:1.2 Nguồn gốc của thuật ngữlogarit tự nhiêneln(x) = xkhi x > 0Ban đầu, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơsố này “tự nhiên” hơn cơ số e. Nhưng theo toán học, sốln(e ) = x.10 không có ý nghĩa đặc biệt. Ứng dụng của nó về vănNhư tất cả các logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành hóa - làm cơ sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, cócộng:khả năng phát sinh từ đặc trưng các ngón tay của conx12CHƯƠNG 1. LÔGARIT TỰ NHIÊNngười. Các nền văn hóa khác đã dựa trên hệ thống số Số e sau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để lnđếm của họ cho sự lựa chọn chẳng hạn như 5, 8, 12, 20, (a) = 1.và 60.Ngoài ra, nếu hàm số mũ được định nghĩa bằng cáchLogₑ là logarit tự nhiên bởi vì nó được bắt nguồn và sử dụng chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được nghĩaxuất hiện thường xuyên trong toán học. Ví dụ hãy xem là hàm ngược của nó, tức là, ln là một hàm số sao choxét các vấn đề phân biệt một hàm lôgarit:eln(x) = x . Vì phạm vi của hàm mũ trên những đốisố thực là tất cả các số thực dương và vì hàm số mũ làhàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cảsố()dd11 d1 dương x.logb (x) =ln x =ln x =dxdx ln(b)ln(b) dxx ln(b)Nếu cơ số b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn giản là 1/x, vàtại x=1 thì đạo hàm bằng 1. Một hướng khác cho rằnglogarit cơ số e là logarit tự nhiên nhất vì nó có thể đượcđịnh nghĩa khá dễ dàng trong thuật ngữ của tích phânđơn giản hay dãy Taylor và điều này lại không đúngđối với logarit khác.1.4 Tính chất• ln(1) = 0• ln(−1) = iπ• ln(x) < ln(y)Những chiều hướng sau của sự tự nhiên không có ứngdụng trong tính toán. Như ví dụ sau, có một số dãy sốđơn giản liên quan đến logarit tự nhiên. Pietro Mengolivà Nicholas Mercator gọi nó là logarithmus naturalistrong vài thập kỷ trước khi Isaac Newton và GofriedLeibniz phát triển phép tính.•h1+hfor01, giá trị của x càng gần 1, tốc độ củasự hội tụ càng nhanh. Những sự đồng nhất kết hợp vớilogarit tự nhiên có thể được đẩy lên để khai thác điềunày:Kỹ thuật này đã được sử dụng trước máy tính, bằngcách tham khảo bảng số và thực hiện các thao tác nhưtrên.1.6.1Độ chính xác caoĐể tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác,hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu quảvì sự hội tụ rất chậm. Vì vậy, các nhà toán học đã thaythế hướng này và sử dụng phương pháp Newton để đảongược hàm mũ để có sự hội tụ của dãy nhanh hơn.Cách tính khác cho một kết quả có độ chính xác khácao là công thức:ln x ≈π− m ln 22M (1, 4/s)với M là dãy truy hồi giữa trung bình cộng và trungbình nhân của 1 và 4/s và:s = x 2m > 2p/2 ,1.9 Liên kết ngoài• Demystifying the Natural Logarithm (ln) |BeerExplainedChương 2SốeHằng số toán học e là cơ số của logarit tự nhiên. ỉnhthoảng nó được gọi là số Euler, đặt theo tên nhà toánhọc ụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số Napier đểghi công nhà toán học Scotland John Napier người đãphát minh ra logarit. (e không được nhầm lẫn với γ hằng số Euler-Mascheroni, đôi khi được gọi đơn giản làhằng số Euler). Số e là một trong những số quan trọngnhất trong toán học [1] . Nó có một số định nghĩa tươngđương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dưới đây.Lý do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưađược biết, nhưng có thể đó là chữ cái đầu tiên của từexponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường là tăngnhanh chóng, nghĩa trong toán học là hàm mũ). Mộtkhả năng khác đó là Euler sử dụng nó bởi vì nó lànguyên âm đầu tiên sau a, chữ cái mà ông đã sử dụngcho một số khác, nhưng tại sao ông lại sử dụng nguyênâm thì vẫn chưa rõ. Dường như không phải Euler sửdụng chữ cái đó bởi vì nó là chữ cái đầu trong tên củaông, do ông là một người rất khiêm tốn, luôn cố gắngtuyên dương đúng đắn công trình của người khác.[2]Số này có tham gia vào đẳng thức Euler.Do e là số siêu việt, và do đó là số vô tỉ, giá trị của nókhông thể được đưa ra một cách chính xác dưới dạng sốthập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn hoặc phân2.2 Ứng dụngsố liên tục hữu hạn hay tuần hoàn. Nó là một số thựcvà do đó có thể được biểu diễn bởi một phân số liên tụcvô hạn không tuần hoàn. Giá trị số của e tới 20 chữ số 2.2.1 Bài toán lãi suất képthập phân là:Jacob Bernoulli đã khám phá ra hằng số này khi nghiêncứu vấn đề về lãi suất kép2,71828 18284 59045 23536…Một ví dụ đơn giản là một tài khoản bắt đầu với $1.00và trả 100% lợi nhuận mỗi năm. Nếu lãi suất được trảmột lần, thì đến cuối năm giá trị là $2.00; nhưng nều lãi2.1 Lịch sửsuất được tính và cộng hai lần trong năm, thì $1 được2= $2.25. Lãi képChỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất nhân với 1.5 hai lần, ta được $1.00×1.54hàngquýtađược$1.00×1.25=$2.4414…,và lãi képbản vào 1618 trong bảng phụ lục của một công trình12hàngthángtađược$1.00×(1.0833…)=$2.613035….về logarit của John Napier. ế nhưng, công trình nàykhông chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn vớisách các logarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e. kì lãi kép càng ngày nhỏ dần. Lãi kép hàng tuần taCó thể là bảng này được soạn bởi William Oughtred. được $2.692597… trong khi lãi kép hàng ngày ta đượcChỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện $2.714567…, chỉ thêm được hai cent. Gọi n là số kì lãibởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức: kép, với lãi suất 1/n trong mỗi kì, giới hạn của n rấtlớn là một số mà bây giờ ta gọi là số e; với lãi kép liêntục, giá trị tài khoản sẽ tiến tới $2.7182818…. Tổng quát)n(hơn, một tài khoản mà bắt đầu bằng $1, và nhận được1lim 1 +(1+R) đô-la lãi đơn, sẽ nhận được eR đô-la với lãi képn→∞nliên tục.Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểudiễn bởi chữ cái b, là trong liên lạc thư từ giữa GofriedLeibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và 1691. 2.2.2 Phép thử BernoulliLeonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng sốvào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn Số e cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất, trongbản là cuốn Mechanica của Euler (1736). Trong những đó nó phát triển theo cách mà không hiển nhiên liênnăm sau đó một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ cái c, quan đến độ tăng hàm mũ. Giả sử rằng một con bạce trở nên phổ biến và cuối cùng trở thành tiêu chuẩn. chơi slot machine, một triệu lần, kỳ vọng được thắng42.3. SỐ E TRONG GIẢI TÍCH5một lần. Khi đó xác suất mà con bạc không thắng đượcgì là (xấp xỉ) 1/e.d1Đây là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Mỗi lần con dx loge x = x .bạc chơi một lượt, có thêm một trong một triệu cơ hộithắng. Việc chơi một triệu lần được mô hình hóa qua Logarit trong trường hợp đặc biệt này được gọi làphân phối nhị thức, có liên hệ mật thiết với định lý nhị logarit tự nhiên (thường được ký hiệu là “ln”), và nócũng dễ dàng lấy vi phân vì không có giới hạn chưathức. Xác suất thằng k lần và thua các lần còn lại làxác định nào phải thực hiện trong khi tính toán.( 6)610 ( −6 )k10(1 − 10−6 )10 −k .kDo đó có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e. Mộtcách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số ax là ax . Mộtcách khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số alà 1/x. Mỗi trường hợp đều đi đến một lựa chọn thuậntiện để làm giải tích. ực tế là, hai cơ số có vẻ rất khácnhau này lại chỉ là một, số e.Đặc biệt, xác suất không thắng lần nào (k=0) là()10611− 6.102.3.1 Các đặc điểm khácSố này rất gần với giới hạn sau ho 1/eMột số đặc điểm khác của số e: một là về giới hạn dãy,một cái khác là về chuỗi vô hạn, và vẫn còn một số khácvề tích phân. Trên đây ta đã giới thiệu hai tính chất:()n11= lim 1 −.e n→∞n2.2.31. Số e là số thực dương duy nhất màDerangement= et . : Đạo hàm của hàm số mũ cơ số echính là hàm số đód tdt e2.3 Số e trong giải tíchLý do chính để đưa ra số e, đặc biệt trong giải tích, làđể lấy vi phân và tích phân của hàm mũ và logarit.[3]Một hàm mũ tổng quát y=ax có đạo hàm dưới dạng giớihạn:d xax+h − axax ah − axa = lim= lim= axh→0h→0dxhh(2. Số e là số thực dương duy nhất màd1loge t = .dttCác tính) chất khác sau đây cũng được chứng minh làhatương− 1đương:lim.h→0h e là giới hạn3. SốGiới hạn ở bên phải độc lập với biến x: nó chỉ phụ thuộcvào cơ số a. Khi cơ số là e, giới hạn này tiến tới một, vàdo đó e được định nghĩa bởi phương trình:(e = limn→∞d xe = ex .dx11+n)n4. Số e là tổng của chuỗi vô hạnDo đó, hàm mũ với cơ số e trong một số trường hợp∞∑phù hợp để làm giải tích. Chọn e, không như một số số111111=+ + + + + ···khác, là cơ số của hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu e =n!0!1!2!3!4!n=0về đạo hàm đơn giản hơn rất nhiều.Một lý do khác đến từ việc xét cơ số logarit a.[4] Xét trong đó n! là giai thừa của n.định nghĩa của đạo hàm của logₐx bởi giới hạn:5. Số e là số thực dương duy nhất mà)1 ∫ elim loga (11+ u) .u→0 udt = 11 tMột lần nữa, có một giới hạn chưa xác định mà chỉ phụthuộc vào cơ số a, và nếu cơ số đó là e, giới hạn là một. (nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f (t) =1/t từ 1 tới e là bằng một)Vậyloga (x + h) − loga (x)1dloga x = lim=h→0dxhx(6CHƯƠNG 2. SỐE2.4 Tính chất2.7 Xem thêm2.4.1Hàm tựa-mũSố Pi2.4.2Lý thuyết số2.8 Ghi chúChứng minh e là số vô tỉ.Giả sử e là số hữu tỉ, suy ra[1] Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to theHistory of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston.pe=q[2] O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; e MacTutor Historyof Mathematics archive: “e number e"; University ofSt Andrews Scotland (2001)Dựa vào công thức:e=[3] See, for instance, Kline, M. (1998) Calculus: An intuitiveand physical approach, Dover, section 12.3 “e DerivedFunctions of Logarithmic Functions.”∞∑111111=+ + + + + ···n!0! 1! 2! 3! 4!n=0[4] is is the approach taken by Klein (1998).[5] New Scientist, 21-7-2007, tr. 40.1 1 11 1 11111e.q! = ( + + +· · · ).q! = ( + + +· · ·+ ).q!+[6] Byte+ Magazine, yển+6, số 6 (tháng 6 năm 1981) tr.+·392)··0! 1! 2!0! 1! 2!q!q +“e1 (q+ 1)(q +2) (q+ 1)(q +e 2)(q+ 3) placesImpossibleDream:Computingto 116,00011+ (q+1)(q+2)+e.q! là số nguyên dương, suy ra: q+11(q+1)(q+2)(q+3) + · · · là số nguyên dương.111Mặt khác: q+1+ (q+1)(q+2)+ (q+1)(q+2)(q+3)+···