Logic Mệnh đề Trong Một Số Bài Toán ở Phổ Thông - Tài Liệu Text

Tải bản đầy đủ (.pdf) (61 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Khoa Học Tự Nhiên
>>
3. Toán học

Logic mệnh đề trong một số bài toán ở phổ thông

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (732.3 KB, 61 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁNHoàng Phương ThúyLOGIC MỆNH ĐỀTRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNGKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCHà Nội – Năm 2017BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁNHoàng Phương ThúyLOGIC MỆNH ĐỀTRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNGChuyên ngành: Đại sốKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:ThS. Dương Thị LuyếnHà Nội – Năm 2017Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương ThúyLời cảm ơnTrong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhậnđược sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy cô trong tổ Đạisố nói riêng và các thầy cô trong khoa Toán trường đại học Sư phạmHà Nội 2 nói chung, cùng với sự hỗ trợ giúp đỡ của các bạn sinhviên.Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toántrường đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúpđỡ em trong những năm học vừa qua và tạo điều kiện để em hoànthành khóa luận này.Đặc biệt, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáoThS. Dương Thị Luyến đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡem trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này.Em xin chân thành cảm ơn!Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017Tác giả khóa luậnHoàng Phương ThúyKhóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương ThúyLời cam đoanKhóa luận tốt nghiệp này của tôi được hoàn thành dưới sự hướngdẫn của cô giáo ThS. Dương Thị Luyến cùng với đó là sự cố gắngcủa bản thân.Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tham khảo và kế thừa nhữngthành quả nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.Tôi xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kếtquả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kếtquả của các tác giả khác.Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017Tác giả khóa luậnHoàng Phương ThúyMục lụcLời cảm ơnLời cam đoanLời mở đầu11 Logic mệnh đề31.1Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.2Các phép toán logic trên mệnh đề . . . . . . . . . . .41.2.1Phép phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2.2Phép hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.3Phép tuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.4Phép kéo theo . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.5Phép tương đương . . . . . . . . . . . . . . .71.3Công thức của logic mệnh đề. . . . . . . . . . . . .71.3.1Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.3.2Sự tương đương logic giữa hai công thức . . .81.3.3Những đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . .91.4Phép biến đổi công thức . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5Các mệnh đề liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúy1.5.1Các mệnh đề liên hợp . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần vàđủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.61.7Luật của logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.1Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2Một số luật quan trọng của logic mệnh đề . . 141.6.3Liên hệ giữa đẳng thức và luật . . . . . . . . . 16Hệ quả logic và qui tắc suy luận . . . . . . . . . . . . 171.7.1Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7.2Luật và qui tắc suy luận . . . . . . . . . . . . 181.7.3Một số qui tắc suy luận thường được vận dụngtrong các suy luận toán học . . . . . . . . . . 191.8Logic vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8.1Vị từ (hay hàm mệnh đề) . . . . . . . . . . . 221.8.2Các phép toán logic trên các vị từ 1 - ngôi . . 241.8.3Lượng từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.8.4Qui tắc suy luận trong logic vị từ . . . . . . . 282 Suy luận và chứng minh2.12.229Suy luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.1Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2Hai kiểu suy luận . . . . . . . . . . . . . . . . 29Chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.1Khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.2Kết cấu của chứng minh . . . . . . . . . . . . 312.2.3Các phương pháp chứng minh trong toán học31Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúy3 Các yếu tố logic trong một số vấn đề Toán học ở phổthông353.1Yếu tố logic trong các định nghĩa Toán học . . . . . . 353.2Yếu tố logic trong các định lí Toán học . . . . . . . . 363.3Yếu tố logic trong các hằng đẳng thức và bất đẳngthức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4Yếu tố logic trong phương trình, hệ phương trình, bấtphương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . . . . 373.5Các yếu tố logic trong một số bài toán chứng minh ởphổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6Những sai lầm thường gặp trong chứng minh . . . . . 453.6.1Sai lầm do suy luận không hợp logic . . . . . 463.6.2Dựa vào tiền đề sai hoặc tiền đề chưa đượcchứng minh, hoặc dựa vào một điều khôngđúng với giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . 48Kết luận52Tài liệu tham khảo54Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương ThúyLời mở đầuLogic mệnh đề với các qui tắc suy luận logic có vai trò rất quantrọng trong Toán học nói chung và trong môn Toán ở phổ thông nóiriêng. Việc sử dụng logic mệnh đề cùng các qui tắc suy luận logicsẽ giúp người học không chỉ nắm vững kiến thức, hiểu rõ bản chấtvấn đề mà còn rèn luyện khả năng tư duy Toán học. Vận dụng logicmệnh đề người học có thể dễ dàng suy luận, chứng minh, giải cácbài toán một cách đúng đắn, chính xác và hạn chế việc mắc sai lầmkhi giải bài. Vai trò của logic mệnh đề còn được đánh giá cao trongsự phát triển tư duy cho con người, trong các hoạt động nhận thứckhoa học và trong cả các hoạt động nhận thức khác trong đời sống.Do đó em lựa chọn nghiên cứu đề tài "Logic mệnh đề trong mộtsố bài toán ở phổ thông".Khóa luận gồm ba chương.Chương 1 "Logic mệnh đề" trình bày một số khái niệm, côngthức, luật và qui tắc suy luận trong logic mệnh đề.Chương 2 "Suy luận và chứng minh" trình bày một số khái niệm,tìm hiểu chứng minh và kết cấu của chứng minh, các phương phápchứng minh toán học thường dùng.Chương 3 "Các yếu tố logic trong một số bài toán ở phổ thông"vận dụng logic mệnh đề để phân tích một số định nghĩa, định lí,phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, phân tích các suyluận, một số bài toán chứng minh ở phổ thông, đưa ra một số sai1Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúylầm thường gặp trong chứng minh.Tác giả luận văn xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc và kínhtrọng tới ThS. Dương Thị Luyến đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảotác giả trong quá trình nghiên cứu, đọc tài liệu, góp ý chi tiết vềcách trình bày một số kết quả trong luận văn.Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô giáo tổ Đại sốđã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập vàthực hiện bản khóa luận này.Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng do hạn chế về năng lực, khảnăng tự nghiên cứu của bản thân nên khóa luận không thể tránhkhỏi những thiếu sót. Vậy kính mong quý thầy cô và các bạn xemxét, góp ý để khóa luận này được hoàn thiện hơn.Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017Tác giả khóa luậnHoàng Phương Thúy2Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương ThúyChương 1Logic mệnh đề1.1Mệnh đềTrong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề là một khái niệm nguyênthủy không định nghĩa. Những câu phản ánh đúng hay sai thực tếkhách quan được coi là những mệnh đề.Ví dụ: "Số 30 chia hết cho 4" là mệnh đề sai."Tam giác có 3 góc nhọn là tam giác nhọn" là mệnh đề đúng.Các câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm thán và nói chung các câukhông nhằm phản ánh tính đúng sai của thực tế khách quan đềukhông được coi là mệnh đề.Ví dụ: Các câu sau đây đều không là mệnh đề:"Số 15 có phải hợp số không?""Hãy xác định trung bình cộng của 3 và 7.""Số tự nhiên n là số nguyên tố.""Căn phòng này đẹp quá!"Ta thừa nhận rằng: Mỗi mệnh đề là đúng hoặc sai, không cómệnh đề nào không đúng mà cũng không sai, không có mệnh đề3Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúynào vừa đúng vừa sai.Như vậy ta hiểu: Mệnh đề là một câu khẳng định mà ta biếtđược tính đúng sai của nó.Mệnh đề đúng ta gán cho giá trị 1, mệnh đề sai ta gán cho giátrị 0. Các giá trị 0, 1 gọi là giá trị chân lí của mệnh đề.Ta thường kí hiệu mệnh đề là p, q, r, ... và gọi đó là các mệnh đềđơn giản hay mệnh đề sơ cấp.Khi p là mệnh đề đúng ta qui ước viết p = 1 và viết p = 0 khi plà mệnh đề sai.1.21.2.1Các phép toán logic trên mệnh đềPhép phủ địnhĐịnh nghĩa 1.1. Phép phủ định của mệnh đề p, ký hiệu là p, làmột mệnh đề sai khi p đúng và đúng khi p sai.p10p01Bảng 1.1: Bảng chân lí của phép phủ định.Phép phủ định trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của từ"không" trong ngôn ngữ thông thường.Ví dụ: Cho mệnh đề p: "9 chia hết cho 3" là mệnh đề đúng. Khi đóphủ định của mệnh đề p là:Mệnh đề p: "9 không chia hết cho 3" là mệnh đề sai.4Khóa luận tốt nghiệp Đại học1.2.2Hoàng Phương ThúyPhép hộiĐịnh nghĩa 1.2. Cho 2 mệnh đề p và q, hội của 2 mệnh đề này làmột mệnh đề đúng khi cả p và q cùng đúng và sai trong các trườnghợp còn lại, ký hiệu là p ∧ q.p1100q p∧q11001000Bảng 1.2: Bảng chân lí của phép hội.Phép hội trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của từ "và"trong ngôn ngữ thông thường.Ví dụ: Cho 2 mệnh đề đúng là p: "2 là số chẵn" và q: "2 là số nguyêntố". Khi đó mệnh đề hội của p và q là mệnh đề p ∧ q: "2 là số chẵnvà 2 là số nguyên tố" và đây là mệnh đề đúng theo định nghĩa củaphép hội.1.2.3Phép tuyểnĐịnh nghĩa 1.3. Cho 2 mệnh đề p và q, tuyển của 2 mệnh đề nàylà một mệnh đề sai khi cả p và q cùng sai và đúng trong các trườnghợp còn lại, ký hiệu là p ∨ q.p1100q p∨q11011100Bảng 1.3: Bảng chân lí của phép tuyển.5Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương ThúyPhép tuyển trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của từ"hoặc" trong ngôn ngữ thông thường. Tuy nhiên, liên từ "hoặc"trong ngôn ngữ thông thường thường có 2 nghĩa loại trừ và khôngloại trừ. Phép tuyển ở đây (sử dụng trong Toán học) được hiểu theonghĩa không loại trừ.Ví dụ: Cho mệnh đề đúng p: "2 < 5" và mệnh đề sai q: "2 = 5".Khi đó tuyển của p và q là mệnh đề p ∨ q: "2 ≤ 5" và đây là mệnhđề đúng theo định nghĩa của phép tuyển.1.2.4Phép kéo theoĐịnh nghĩa 1.4. Cho 2 mệnh đề p và q, p kéo theo q là một mệnhđề chỉ sai khi p đúng và q sai, và đúng trong các trường hợp còn lại,ký hiệu là p ⇒ q.p1100q p⇒q11001101Bảng 1.4: Bảng chân lí của phép kéo theo.Phép kéo theo trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của cụmtừ "nếu ... thì..." trong ngôn ngữ thông thường.Ví dụ: Cho 2 mệnh đề đúng p: "Tam giác ABC cân tại A" vàq: "Tam giác ABC có AB = AC". Khi đó p kéo theo q là mệnh đềp ⇒ q: "Nếu tam giác ABC cân thì AB = AC" và là mệnh đề đúngtheo định nghĩa của kéo theo.6Khóa luận tốt nghiệp Đại học1.2.5Hoàng Phương ThúyPhép tương đươngĐịnh nghĩa 1.5. Cho 2 mệnh đề p và q, p tương đương q là mộtmệnh đề đúng khi cả 2 mệnh đề p, q cùng đúng hoặc cùng sai, vàsai trong các trường hợp còn lại, ký hiệu là p ⇔ q.p1100q p⇔q11001001Bảng 1.5: Bảng chân lí của phép tương đương.Phép kéo theo trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của cụmtừ "nếu và chỉ nếu" hay "khi và chỉ khi" trong ngôn ngữ thôngthường.Ví dụ: Cho 2 mệnh đề đúng p: "Tam giác ABC là tam giác vuông"và q: "Tam giác ABC có AB 2 +AC 2 = BC 2 ". Khi đó p tương đươngq là mệnh đề p ⇔ q: "Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khiAB 2 + AC 2 = BC 2 " và là một mệnh đề đúng theo định nghĩa củaphép tương đương.1.3Công thức của logic mệnh đềTừ các mệnh đề sơ cấp, nhờ các phép toán logic đã được địnhnghĩa ở trên, ta có thể lập được những mệnh đề phức tạp hơn.1.3.1Định nghĩai) Các mệnh đề đơn giản p, q, r, ... là các công thức (ta gọi là cácbiến mệnh đề).7Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúyii) Nếu P, Q là các công thức thì P , P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Qlà các công thức.iii) Mọi dãy kí hiệu khác, không được xác định theo các qui tắc i)và ii) đều không phải là công thức.Trong logic mệnh đề, khái niệm công thức tương tự như khái niệmbiểu thức trong Toán học. Vì vậy, các công thức logic thực chất làcác biểu thức logic.Như vậy, một công thức logic bao gồm: biến mệnh đề, các phéptoán logic, các dấu ngoặc đơn để chỉ thứ tự thực hiện các phép toán.1.3.2Sự tương đương logic giữa hai công thứcMỗi công thức của logic mệnh đề sẽ nhận được những giá trịchân lí 1 hoặc 0 tùy thuộc vào những hệ giá trị chân lí mà ta gáncho các biến mệnh đề có mặt trong nó.Định nghĩa 1.6. Cho hai công thức P và Q. Ta nói rằng P tươngđương logic với Q, ký hiệu P ≡ Q, nếu chúng cùng nhận giá trị chânlí như nhau với mọi hệ giá trị chân lí có thể có của các biến mệnhđề có mặt trong chúng.Hệ thức P ≡ Q gọi là một đẳng thức hay một tương đương logic.Khái niệm đẳng thức trong logic mệnh đề tương tự như khái niệmhằng đẳng thức trong Toán học.8Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương ThúyChú ý1. Trong định nghĩa sự tương đương logic của hai công thức, khôngbắt buộc phải giả thiết chúng cùng chứa các biến mệnh đề nhưnhau.2. Để chứng minh đẳng thức P ≡ Q ta có thể dùng phương pháplập bảng chân lí.1.3.3Những đẳng thức cơ bản1. Đẳng thức về phủ định của phủ địnhp≡p(1.1)2. Tính chất giao hoán của phép hội và phép tuyểnp∧q ≡q∧p(1.2)p∨q ≡q∨p(1.3)3. Tính chất kết hợp của phép hội và phép tuyển(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)(1.4)(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)(1.5)4. Tính chất phân phối của phép hội đối với phép tuyển và củaphép tuyểnp ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)9(1.6)Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúyp ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)(1.7)5. Tính chất lũy đẳng của phép hội và phép tuyểnp∧p≡p(1.8)p∨p≡p(1.9)p∧q ≡p∨q(1.10)p∨q ≡p∧q(1.11)6. Luật De Morgan7. Đẳng thức liên quan đến phép kéo theo(p ⇒ q) ≡ p ∨ q(1.12)(p ⇒ q) ≡ p ∧ q(1.13)p⇒q≡q⇒p(1.14)8. Đẳng thức có liên quan đến phép tương đươngp ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)(1.15)p⇔q≡q⇔p(1.16)p⇔q≡p⇔q(1.17)9. Đẳng thức có liên quan đến các hằng 0 và 1p∧0≡010(1.18)Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúyp∧1≡p(1.19)p∨0≡p(1.20)p∨1≡1(1.21)p∨p≡1(1.22)p∧p≡0(1.23)Các đẳng thức trên đều có thể chứng minh được bằng cách lập bảnggiá trị chân lí. Sau đây ta sẽ chứng minh minh họa một đẳng thức,các đẳng thức còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự.Chứng minh đẳng thức (p ⇒ q) ≡ p ∨ q (1.12) ta lập bảng các giátrị chân lí như sau:p1100q p1 00 01 10 1p⇒q1011p∨q1011Từ bảng giá trị chân lí, ta thấy hai công thức p ⇒ q và p∨q nhậngiá trị chân lí như nhau với mọi hệ chân lí có thể có của các biếnmệnh đề có mặt trong chúng. Do đó ta có đẳng thức (p ⇒ q) ≡ p∨q(1.12).1.4Phép biến đổi công thứcCũng giống như các phép biến đổi đồng nhất trong Toán học,trong logic mệnh đề, từ các đẳng thức đã cho, chúng ta có thể thựchiện phép biến đổi đồng nhất. Phép biến đổi đồng nhất được sửdụng để chứng minh một đẳng thức hoặc đưa một công thức về11Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúydạng đơn giản hơn. Để biến đổi đồng nhất thuận tiện, người ta quiước như sau:1. Không viết dấu ngoặc ngoài cùng đối với mỗi công thức. Nếucó dấu phủ định trên một công thức nào đó thì ta bỏ dấu ngoặcở hai đầu công thức.2. Có thể thay ký hiệu ∧ (và) bởi dấu "." hoặc bỏ hẳn nó đi.3. Các phép toán logic được thực hiện theo thứ tự: phủ định, hội,tuyển, kéo theo, tương đương và ưu tiên thực hiện trong ngoặctrước, ngoài ngoặc sau.1.51.5.1Các mệnh đề liên hợpCác mệnh đề liên hợpTrong Toán học, các mệnh đề thường được viết dưới dạng mệnhđề kéo theo p ⇒ q , trong đó p là giả thiết, q là kết luận.Nếu ta gọi p ⇒ q (1) là mệnh đề thuận thì:q ⇒ p (2) là mệnh đề đảo của (1)p ⇒ q (3) là mệnh đề phản của (1)q ⇒ p (4) là mệnh đề phản đảo của (1)Ta gọi bốn mệnh đề (1), (2), (3), (4) là những mệnh đề liên hợp vớinhau.Khi đó ta có kết luận về sự liên quan giữa các mệnh đề liên hợp:+ Mệnh đề thuận tương đương logic với mệnh đề phản đảo.+ Mệnh đề đảo tương đương logic với mệnh đề phản.12Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương ThúyTrong toán học, khi ta đã chứng minh được mệnh đề p ⇒ q làđúng thì ta có thể kết luận rằng mệnh đề q ⇒ p là đúng mà khôngcần phải chứng minh, khi đã biết mệnh đề p ⇒ q là sai ta kết luậnmệnh đề q ⇒ p là sai.1.5.2Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủTrong toán học, khi ta đã chứng minh được mệnh đề có dạngp ⇒ q là đúng, ta nói rằng:+ p là điều kiện đủ để có q.+ q là điều kiện cần của p.Do đó khi đã chứng minh được mệnh đề p ⇔ q là đúng bằng cáchchứng minh hai mệnh đề p ⇒ q và q ⇒ p là đúng, ta nói rằng p làđiều kiện cần và đủ để có q hay p là điều kiện cần và đủ của q.1.61.6.1Luật của logic mệnh đềĐịnh nghĩaĐịnh nghĩa 1.7. Cho công thức A. Khi đó:+ A gọi là hằng đúng nếu A nhận giá trị 1 với mọi hệ giá trị chânlí có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong A.Khi đó ta cũng gọi A là một luật của logic mệnh đề và ký hiệu| = A.+ A gọi là hằng sai nếu A nhận giá trị 0 với mọi hệ giá trị chân lícó thể có của các biến mệnh đề có mặt trong A.Khi đó ta cũng gọi A là một mâu thuẫn.13Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúy+ A gọi là thực hiện được nếu nó nhận giá trị 1 với ít nhất một hệgiá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt trong A.Nhận xét 1.1. Dựa vào định nghĩa ta thấy:1. Công thức A là hằng đúng khi và chỉ khi phủ định của nó A làhằng sai.2. Nếu A là hằng đúng thì A là thực hiện được.3. Hai công thức hằng đúng thì tương đương logic với nhau. Haicông thức hằng sai cũng tương đương logic với nhau.1.6.2Một số luật quan trọng của logic mệnh đề|= p∨p(1.24)|= p∧p(1.25)|= p⇒p(1.26)|= p⇒p(1.27)|= p⇒p(1.28)|= p∧q ⇒p(1.29)|= p∧q ⇒q(1.30)|= p⇒p∨q(1.31)|= q ⇒p∨q(1.32)| = p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q(1.33)| = p ∧ (p ∨ q) ⇒ q(1.34)| = (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇒ (p ⇔ q)(1.35)14Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúy| = (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)(1.36)| = (p ⇔ q) ⇒ (q ⇒ p)(1.37)| = (p ⇔ q) ∧ (p ⇒ q) ⇒ p(1.38)| = (p ⇔ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)(1.39)| = (p ⇔ q) ⇔ (q ⇒ p)(1.40)| = p ⇒ (q ⇒ p)(1.41)| = (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ∨ q ⇒ r)(1.42)| = (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ⇒ (p ⇒ q ∨ r)(1.43)|= p⇔p(1.44)|= p∧p⇔p(1.45)|= p∨p⇔p(1.46)|= p∧q ⇔q∧p(1.47)|= p∨q ⇔q∨p(1.48)| = (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)(1.49)| = (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)(1.50)| = p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)(1.51)| = p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)(1.52)| = (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)(1.53)|= p∨q ⇔p∧q(1.54)|= p∧q ⇔p∨q(1.55)| = (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)(1.56)| = (p ⇔ q) ⇔ (p ⇔ q)(1.57)| = (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ p) ⇒ (p ⇔ q)(1.58)15Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúy| = (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r) ⇒ (p ⇔ r)(1.59)| = (p ⇒ q) ⇔ p ∨ q(1.60)| = (p ⇒ q) ⇔ p ∧ q(1.61)| = (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇔ (q ⇒ (p ⇒ r))(1.62)| = (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇔ ((p ∧ q) ⇒ r)(1.63)Ta hoàn toàn có thể chứng minh các luật trên bằng cách lập bảnggiá trị chân lí.Chẳng hạn ta chứng minh luật: | = p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q (1.33) như sau:Ta lập bảng các giá trị chân lí của công thức p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q (*)p1010q p⇒q00011111p ∧ (p ⇒ q)0010p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q1111Từ bảng giá trị chân lí ta thấy công thức (*) luôn nhận giá trị1 với mọi hệ giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt trong nó.Do đó ta có luật (1.33).1.6.3Liên hệ giữa đẳng thức và luậtĐẳng thức và luật là hai khái niệm khác nhau của logic mệnhđề, tuy nhiên, giữa chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.Thật vậy, giả sử có A và B là hai công thức.Nếu ta có luật | = A ⇔ B, tức là công thức A ⇔ B luôn nhậngiá trị 1 với mọi hệ giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặttrong nó. Mà A ⇔ B chỉ nhận giá trị 1 khi và chỉ khi A và B cùngnhận giá trị 1 hoặc 0. Khi đó ta có A ≡ B.16Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương ThúyNgược lại, nếu ta có đẳng thức A ≡ B, tức là A và B cùngnhận giá trị như nhau với mọi hệ giá trị chân lí của các biến mệnhđề có mặt trong chúng. Khi đó công thức A ⇔ B luôn nhận giá trị1 hay ta có luật | = A ⇔ B.Vì vậy, ta có thể rút ra mối quan hệ giữa đẳng thức và luật quađịnh lí sau.Định lí 1.1. Giả sử A và B là hai công thức.Ta có luật | = A ⇔ B khi và chỉ khi ta có đẳng thức A ≡ B.Dựa vào định lí này, từ một đẳng thức ta sẽ rút ra một luật vàngược lại.Ví dụ:+ Từ đẳng thức (p ⇒ q) ≡ p ∨ q (1.12) đã được chứng minh ở trang11 ta có thể suy ra luật | = (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q) và đây cũng chính làluật (1.61).+ Từ luật | = (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) (1.54) ta có thể rút ra đẳng thứcp ⇒ q ≡ q ⇒ p.1.7Hệ quả logic và qui tắc suy luậnPhân tích các suy luận trong chứng minh toán học, người ta thấymỗi chứng minh bao gồm một số hữu hạn bước suy luận đơn giản.Trong mỗi bước suy luận đơn giản đó, ta đã "ngầm" vận dụng mộtsố qui tắc suy luận tổng quát để từ các mệnh đề đã được thừa nhậnlà đúng (tiên đề, định lí, định nghĩa, giả thiết) có thể rút ra mộtmệnh đề mới. Người ta gọi các mệnh đề xuất phát đã được thừa17Khóa luận tốt nghiệp Đại họcHoàng Phương Thúynhận là đúng là các tiên đề, còn mệnh đề mới được rút ra (nhờ vậndụng các qui tắc suy luận tổng quát) gọi là hệ quả logic của các tiênđề.Để có thể tìm ra những qui tắc suy luận tổng quát, ta đưa ramột định nghĩa chính xác của khái niệm này.1.7.1Định nghĩaĐịnh nghĩa 1.8. Giả sử A1 , A2 , ..., An , B là những công thức.Nếu tất cả các hệ giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt trongcác công thức đó làm cho A1 , A2 , ..., An nhận giá trị 1 cũng đồngthời làm cho B nhận giá trị 1 thì ta gọi B là hệ quả logic của cáctiên đề A1 , A2 , ..., An , khi đó ta cũng nói rằng có 1 qui tắc suy luậntừ các tiên đề A1 , A2 , ..., An tới hệ quả logic B.Qui tắc suy luận đó được kí hiệu làA1 , A2 , ..., AnBhay A1 , A2 , ..., An | = B1.7.2Luật và qui tắc suy luậnGiữa hai khái niệm luật và qui tắc suy luận có mối liên hệ chặtchẽ. Định lí dưới đây phản ảnh mối liên hệ quan trọng giữa luật vàqui tắc suy luận.Định lí 1.2. Cho các công thức A1 , A2 , ..., An , B.Ta có luật | = A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An ⇒ B khi và chỉ khi ta có qui tắcA1 , A2 , ..., Ansuy luận.B18

Tài liệu liên quan

• Toán tử Owa trong một số bài toán tối ưu
  • 50
  • 654
  • 3
• Sử dụng hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt
  • 55
  • 2
  • 15
• Phương pháp xác suất để giải một số bài toán khác nhau
  • 69
  • 748
  • 8
• ỨNG DỤNG độ bất bão hòa TRONG một số bài TOÁN
  • 7
  • 5
  • 94
• Phương pháp tính nhanh thời gian trong một số bài toán: dao động điều hòa, sóng cơ, điện xoay chiều, mạch dao động... bằng công thức định nghĩa tần số góc
  • 19
  • 771
  • 0
• Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp độ lệch pha để giải một số bài toán giao thoa sóng và sóng dừng
  • 20
  • 1
  • 0
• rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng các tính chất hình học để giải một số bài toán về “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
  • 19
  • 1
  • 1
• áp dụng phương pháp quy đổi nguyên tử để giải một số bài toán hóa vô cơ
  • 13
  • 1
  • 2
• sử dụng đồ thị trong một số bài toán chuyển động cơ học
  • 14
  • 5
  • 8
• SKKN: Sử dụng hàm để giải một số bài toán ở THCS
  • 11
  • 1
  • 6

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(732.3 KB - 61 trang) - Logic mệnh đề trong một số bài toán ở phổ thông Tải bản đầy đủ ngay ×