Lời Giải Và Bình Luận đề Thi VMO 2018 - 123doc

Chứng minh rằng tiếp tuyến tại D của đườngtròn ngoại tiếp tam giác DQG cắt đường thẳng EF tại một điểm nằm trên đường trònngoại tiếp tam giác DLG: Bài 3 5.0 điểm... a Trên mảnh đất thứ n

Trần Nam Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Lê Phúc Lữ – Trần Quang Hùng

Nguyễn Lê Phước - Nguyễn Văn Huyện

1 Thông tin bản quyền

Bản quyền thuộc về tất cả các thành viên trong nhóm biên soạn (Trần Nam Dũng, Võ Quốc BáCẩn, Lê Phúc Lữ, Trần Quang Hùng, Nguyễn Lê Phước, Nguyễn Văn Huyện)

Đây là thành quả của quá trình lao động miệt mài của nhóm để chia sẻ đến cộng đồng Mọi ngườiđều có thể xem tài liệu MIỄN PHÍ Tuy nhiên, vui lòng ghi rõ nguồn khi chia sẻ

Tất cả các hoạt động mua bán, kinh doanh liên quan đến tài liệu này mà không được sự chấpthuận của nhóm là trái pháp luật Chúng ta hãy lên án những hành vi vi phạm bản quyền để bảo

vệ quyền lợi của các tác giả, của những sản phẩm trí tuệ Xin cảm ơn

2 Đề thi

2.1 Ngày thi thứ nhất (11/01/2018)

Bài 1 (5.0 điểm) Cho dãy số xn/ xác định bởi x1D 2 và

xnC1 DpxnC 8 pxnC 3; 8n  1:

a) Chứng minh rằng dãy số xn/ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

b) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh rằng n x1C x2C


C xn n C 1:

Bài 2 (5.0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC và D là một điểm trên cạnh BC: Lấyđiểm E trên cạnh AB và lấy điểm F trên cạnh AC sao cho ∠DEB D ∠DF C: Các đường thẳngDF; DE lần lượt cắt AB; AC tại M; N: Gọi I1/; I2/ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếpcác tam giác DEM; DF N: Ký hiệu J1/ là đường tròn tiếp xúc trong với I1/ tại D và tiếp xúcvới AB tại K; J2/ là đường tròn tiếp xúc trong với I2/ tại D và tiếp xúc với AC tại H; P làgiao điểm của I1/ và I2/; Q là giao điểm của J1/ và J2/ (P; Q khác D)

a) Chứng minh rằng D; P; Q thẳng hàng

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK và đườngthẳng AQ lần lượt tại G và L (G; L khác A) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại D của đườngtròn ngoại tiếp tam giác DQG cắt đường thẳng EF tại một điểm nằm trên đường trònngoại tiếp tam giác DLG:

Bài 3 (5.0 điểm) Một nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật, các mảnh đất đều có kíchthước là 1 2 0 m 100 m:

1

a) Trên mảnh đất thứ nhất, nhà đầu tư muốn xây một ngôi nhà có nền hình chữ nhật kíchthước 2 5 m 35 m và xây bên ngoài 9 bồn hoa hình tròn đường kính 5 m: Chứng minhrằng dù xây trước 9 bồn hoa ở đâu thì trên phần đất còn lại vẫn đủ chỗ xây ngôi nhà đó.

b) Trên mảnh đất thứ hai, nhà đầu tư muốn xây một hồ cá hình một đa giác lồi sao cho từ mộtđiểm bất kỳ trên phần đất còn lại có thể đi không quá 5 m thì đến bờ hồ Chứng minh rằngchu vi của hồ không nhỏ hơn 4 4 0 2 0p

2 m:

Bài 4 (5.0 điểm) Trong mặt phẳng O x y ; cho C / là đồ thị của hàm số y D p3 x2: Một đườngthẳng d thay đổi sao cho d cắt C / tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1; x2; x3:Chứng minh rằng

Bài 5 (6.0 điểm) Cho các số nguyên dương n và d : Xét tập hợp Sn d / gồm tất cả các bộ số

có thứ tự x1; : : : ; xd/ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

i) xi 2 f1; 2 ; : : : ; ng với mọi chỉ số 1  i  d I

ii) xi ¤ xi C1 với mọi chỉ số 1  i  d 1I

iii) không tồn tại các chỉ số 1  i < j < k < l  d sao cho xi D xk và xj D xl:

a) Tính số phần tử của tập hợp S3 5 / :

b) Chứng minh rằng tập hợp Sn d / khác rỗng khi và chỉ khi d  2 n 1 :

Bài 6 (7.0 điểm) Cho dãy số xn/ xác định bởi x 0 D 2 ; x1 D 1 và

xn C2 D xn C1 C xn; 8n  0:

a) Với n  1; chứng minh rằng nếu xnlà số nguyên tố thì n là số nguyên tố hoặc n không

có ước nguyên tố lẻ

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm m ; n / sao cho xnchia hết cho xm:

Bài 7 (7.0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân A B C có trọng tâm G nội tiếp đường tròn O / :Gọi Ha; Hb; Hc lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh A ; B ; C của tam giác A B C

và D ; E ; F lần lượt là trung điểm các cạnh B C ; C A ; A B : Các tia GHa; GHb; GHc lầnlượt cắt O / tại các điểm X ; Y ; Z :

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác X C E đi qua trung điểm đoạn thẳng BHa:

b) Gọi M ; N ; P tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng A X ; B Y ; C Z : Chứng minhrằng các đường thẳng DM ; E N ; F P đồng quy

xn C1 > 1 và xn C xn C1 < 2 :

 Bài 2là một bài toán hình học phẳng với cấu hình khá rối rắm Lời giải ý a) chủ yếu sửdụng phương tích và trục đẳng phương trong khi đó lời giải ý b) b) có phần phức tạp hơn,nếu chúng ta biết nhiều kiến thức về phép vị tự quay (phép đồng dạng) và các tính chất vềhàng điểm điều hòa thì cũng có thể giải quyết được bài toán nhưng nếu nghĩ một cách đơngiản thì chúng ta hoàn toàn có thể giải bài toán này chỉ bằng tính toán góc

 Bài 3là một bài toán hình học tổ hợp ở mức độ khá đơn giản với hai ý riêng biệt Ý a)

đã xuất hiện trong nhiều tài liệu về hình học tổ hợp, chẳng hạn cuốn Hình học tổ hợp củanhà giáo Vũ Hữu Bình mà Sputnik Education vừa phát hành trong năm 2017 vừa qua Ýb) có thể coi là phiên bản đơn giản của bài toán con giun do thầy Văn Như Cương đềxuất cho IMO 1982 (điều kiện đa giác lồi sẽ giúp học sinh hình dung cấu hình và lý luậnđơn giản hơn) Tuy không phức tạp cả về ý tưởng lẫn kỹ thuật nhưng đây là một dịp hiếmhoi mà hình học tổ hợp xuất hiện trong các đề thi VMO và TST, do đó có thể sẽ gây khókhăn cho các thí sinh

 Bài 4là một bài toán cơ bản sử dụng định lý Vieta và khảo sát hàm số Nếu biết cách đặt

ẩn số phù hợp thì ta có thể khử các căn thức một cách dễ dàng Có thể nói rằng bài 4 còn

dễ xử lý hơn bài 1 Tuy nhiên vì bài này đặt ở vị trí bài 4 nên cả về mặt tự nhiên lẫn tâm lý,nhiều học sinh có thể sẽ bỏ qua món quà này của ban đề thi

Nhìn chung đề thi ngày thứ nhất có nhiều đất diễn, nặng về kỹ thuật do đó bạn nào có kỹ năng xử

lý vấn đề nhanh gọn sẽ có lợi thế Tất cả các bài toán đều có ý a), b) nên điểm thi chắc sẽ mịn hơn

Ở ngày thi thứ hai:

 Bài 5là một bài toán tổ hợp khá đẹp mà chứng minh sử dụng phép quy nạp toán học.Đáng tiếc đây chỉ là phát biểu lại của một bài toán thi Olympic Iran năm 2011, có chothêm ý a) để cho điểm và gợi ý Nguyên văn bài toán của Iran như sau:Cầu vồng là tên của một loài chim Con chim này có n màu và màu của nó trong hai ngày liên tiếp không

giống nhau Không tồn tại 4 ngày trong cuộc đời của con chim này là i < j < k < l

sao cho chim có cùng màu trong hai ngày i và k và cùng màu trong hai ngày j và l và

khác màu với màu mà nó có trong các ngày i và k / : Hỏi chim cầu vồng có thể sống tối đa

bao nhiêu ngày tính theo n / ‹

 Bài 6là một kết quả kinh điển về số Lucas:Lmchia hết cho Ln khi và chỉ khi m là bội

số lẻ củan :Kết quả này suy ra một cách khá dễ dàng từ công thức

Lm C2 n D LmL2 n Lm 2 n;

trong đó L n D 1/nLn: Công thức này lại có thể suy ra dễ dàng từ công thứctổng quát cho dãy số Lucas: Ln D ˛n C ˇn với ˛ ; ˇ là hai nghiệm của phương trình

x2 x 1 D 0: Do đó trong bài toán này, ngoài các thuật ngữ mang tính số học nhưchia hết, số nguyên tố thì bản chất hoàn toàn là đại số

 Bài 7là một bài toán hình có cấu hình khá đẹp và gọn Ý a) của bài toán có thể giải bằngkiến thức cấp hai nhưng ý b) là một ý khó, cần sử dụng đến các kiến thức ít phổ biến hơnnhư định lý Ceva, định lý Desargues

Tổng thể về cấu trúc, đề thi có hai bài đại số và giải tích (bài 1 và bài 4 có thể tính là giải tích hayđại số đều được), hai bài hình (bài 2 và bài 7), một bài hình tổ hợp (bài 3), một bài tổ hợp (bài 5)

và một bài số học có bản chất đại số Về tính mới, có lẽ chỉ có câu 1b), câu 4a) và các bài hình là

có ý mới, còn lại các bài 3, 4b), 5, 6 đều là các bài khai thác các ý cũ Về độ khó thì 4 bài ngàyđầu khá đều nhau, bài nào học sinh cũng có thể làm được Ở ngày 2 thì bài 7b được coi là khónhằn nhất, còn lại các bài khác đều nhau, khó dễ tùy theo sở trường

Về mặt phương pháp giải toán, có thể thấy trong đề thi này, phương pháp quy nạp toán họcđược vận dụng khá nhiều trong các vấn đề khác nhau: ở bài 1, bài 5 và bài 6 Hai bài hìnhthuần túy đều có chất từa tựa nhau, ngày càng sử dụng nhiều các tính chất và định lý mạnhliên quan đến đường tròn

Qua phân tích đề thi một cách chủ quan, chúng tôi cho rằng điểm thi năm nay sẽ khá mịn Dựđoán để lọt vào vòng 2, thí sinh sẽ phải hoàn chỉnh 4.5 bài toán, tương ứng khoảng 25-26 điểm.Điểm đạt giải ba sẽ vào khoảng 20, tương ứng 3.5 bài Điểm đạt giải khuyến khích vào khoảng

15, tương ứng 2.5 bài

4 Lời giải và bình luận các bài toán

Bài 1 (5.0 điểm) Cho dãy số xn/ xác định bởi x1 D 2 và

xn C1 D pxnC 8 pxn C 3; 8n  1:

a) Chứng minh rằng dãy số xn/ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

b) Với mỗi số nguyên dương n ; chứng minh rằng n  x1 C x2 C


C xn  n C 1:

Lời giải a)Dễ thấy xn > 0 với mọi n 2 N: Với mỗi số nguyên dương n ; ta có



1p

xnC 8 C 3

1p

xn C 3 C 2

 ˇˇˇˇ

 jxn 1j



1p

xn C 8 C 3 C

1p

xnC 3 C 2



 jxn 1j 1

3 C 12



D 5

6jxn 1j:

Bây giờ, xét hàm số g x / D x C f x / D x C px C 8 px C 3 với x > 0; ta có g x /

 Nếu x > 1 thì g x / > g 1 / D 2 :

 Nếu 0 < x < 1 thì g x / < g 1 / D 2 :

Từ nhận xét trên suy ra

x2 k 1 C x2 k > 2 > x2 k C x2 k C1; 8k 2 N:Bây giờ, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đã cho Xét hai trường hợp:

 Trường hợp 1: n D 2k k 2 N/:Dễ thấy 2 < x1C x2 < 3 nên bất đẳng thức đã chođúng khi k D 1: Xét k > 1; ta có

x1C x2C


C xnD x1C x2/C x3C x4/C


C x2k 1C x2k/

> 2C 2 C


C 2

D 2kvà

Điều “thú vị” là bài toán này có cùng dạng với bài dãy số trong đề chọn đội tuyển chuyên ĐHSP

Hà Nội, 2014:Cho dãy số.xn/ được xác định bởi x1 D 1 và

xnC1 D 5pxnC 11 pxnC 4; 8n 2 N:

Chứng minh rằng dãy số.xn/ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Ý b) của bài toán có nhiều nét mới Ý tưởng chủ đạo để giải phần này là sử dụng nhận xét:

x2k 1C x2k > 2 > x2k C x2kC1; 8k 2 N:Ngoài cách tiếp cận như trên, ta cũng có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học

Một số bài toán với dạng phát biểu tương tự:

1 (IMO Shortlist, 2015)Cho dãy các số dương a1; a2; : : : thỏa mãn

akC1  kak

a2kC k 1; 8k 2 N:Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n 2; ta có a1C a2C


C an n:

2 (IMO Shortlist, 2013)Cho số nguyên dương n và dãy các số nguyên dương a1; a2; : : : ; an:Người ta mở rộng dãy trên thành dãy tuần hoàn gồm vô hạn số hạng theo quy tắc anCi D aivới mọi i 2 N: Biết rằng 1 a1  a2 


an  a1C n và

aai  n C i 1; 8i 2 N;chứng minh bất đẳng thức sau

Bài 2 (5.0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC và D là một điểm trên cạnh BC: Lấyđiểm E trên cạnh AB và lấy điểm F trên cạnh AC sao cho ∠DEB D ∠DF C: Các đườngthẳng DF; DE lần lượt cắt AB; AC tại M; N: Gọi I1/; I2/ tương ứng là các đường trònngoại tiếp các tam giác DEM; DF N: Ký hiệu J1/ là đường tròn tiếp xúc trong với I1/ tại

D và tiếp xúc với AB tại K; J2/ là đường tròn tiếp xúc trong với I2/ tại D và tiếp xúc với

AC tại H; P là giao điểm của I1/ và I2/; Q là giao điểm của J1/ và J2/ (P; Q khác D)

Lời giải (Hình vẽ xem ở trang sau.)

a)Do ∠DEB D ∠DF C nên ∠DEA D ∠DFA; suy ra tứ giác MNEF nội tiếp

Ta có ∠DI2F D 2∠DNF D 2∠EMF và ∠I2DF D 90ı 12∠DI2F nên I2D ? ME: MàJ1K ? ME nên I2D k J1K:

Chứng minh tương tự, ta cũng có I1D k J2H:

Từ đó suy ra ∠I2DK D ∠DKJ1 D ∠KDJ1 hay DK là phân giác góc I2DI1: Tương tự, tacũng có DH là phân giác góc I2DI1: Do đó, ba điểm D; H; K thẳng hàng

Do tứ giác MNEF nội tiếp nên AE
AM D AF
AN nên A thuộc trục đẳng phương của I1/

Lại có ∠AKH D 90ı ∠DKJ1 D 90ı ∠DHJ2 D ∠DHF D ∠AHK nên AH D AK:Suy ra A có cùng phương tích với J1/ và J2/, hay A thuộc trục đẳng phương của J1/ và J2/:

Lại có 4LEF  4QKH (g-g) nên 4LES  4QKD (c-g-c) Từ đó ∠KQD D ∠ELS;

mà ∠KQG D ∠KHG D ∠EF G D ∠ELG nên ∠SLG D ∠DQG D ∠GDS: Kết quả này

Từ (3) và (4), ta có điều phải chứng minh

I1 I2

A D

N

M E

F

Bình luận Hai ý bài toán này khá độc lập Ý a) thể hiện rõ tinh thần dùng trục đẳng phương Ýb) được giải đơn giản nhờ tính toán góc Ý b) có nhiều tổng quát nhưng hai bài toán sau đây cóthể coi là một mô hình tổng quát mạnh nhất cho ý b) khi ta thay tiếp tuyến thành cát tuyến (ta cóthể giải hai bài toán này bằng góc định hướng khá đơn giản):

1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O/: E; F là hai điểm bất kỳ nằm trên các đườngthẳng CA và AB: Đường tròn AEF / cắt lại đường tròn O/ tại G: Lấy điểm P bất kỳnằm trên EF và lấy điểm Q bất kỳ nằm trên đường tròn AEF /: Đường thẳng AQ cắtđường tròn GPQ/ tại R khác Q: Đường thẳng PR cắt đường thẳng BC tại D: Chứngminh rằng AQ đi qua giao điểm khác G của O/ và GRD/:

2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O/: E; F là hai điểm bất kỳ nằm trên các đườngthẳng CA và AB: EF cắt BC tại G: Lấy điểm P bất kỳ nằm trên EF và lấy điểm Q bất

kỳ nằm trên đường tròn AEF /: Đường thẳng AQ cắt đường tròn GPQ/ tại R khác Q:Đường tròn APR/ cắt lại O/ tại D: Chứng minh rằng các đường thẳng AQ và BC cắtnhau tại một điểm nằm trên đường tròn GRD/:

Bài 3 (5.0 điểm) Một nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật, các mảnh đất đều cókích thước là 1 2 0 m 100 m:

a) Trên mảnh đất thứ nhất, nhà đầu tư muốn xây một ngôi nhà có nền hình chữ nhậtkích thước 2 5 m  35 m và xây bên ngoài 9 bồn hoa hình tròn đường kính 5 m:Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ở đâu thì trên phần đất còn lại vẫn đủ chỗxây ngôi nhà đó

b) Trên mảnh đất thứ hai, nhà đầu tư muốn xây một hồ cá hình một đa giác lồi sao cho từmột điểm bất kỳ trên phần đất còn lại có thể đi không quá 5 m thì đến bờ hồ Chứngminh rằng chu vi của hồ không nhỏ hơn 4 4 0 2 0p

2 m:

Lời giải Để tiện lợi cho trình bày, ta sẽ không viết đơn vị độ dài, mặc định đơn vị là mét

a)Xét hình chữ nhật A B C D có A B D C D D 120 và AD D B C D 100: Chia hình chữnhật thành 1 0 hình chữ nhật “con” kích thước 3 0  40 như hình vẽ

Xét 9 điểm là tâm của các giếng nước Theo nguyên lý Dirichlet (ngược), tồn tại một hình chữnhật con không chứa điểm nào trong 9 tâm nói trên Xét hình chữ nhật tương ứng, chẳng hạn

là hình chữ nhật X Y Z T có X Y D Z T D 40; X T D Y Z D 30: Ta xét hình chữ nhật

X0Y0Z0T0nằm bên trong X Y Z T và có các cạnh song song và cách cạnh của hình chữ nhật

X Y Z T một khoảng cách bằng 2 : 5 thì X0Y0Z0T0có kích thước 2 5  35 và rõ ràng là hìnhchữ nhật này không chạm vào bất cứ một giếng nước nào Ta có điều phải chứng minh

b)Xét hình chữ nhật A B C D có A B D C D D 120 và AD D B C D 100: Gọi L là chu

vi của hồ Theo đề bài, tồn tại các điểm A0; B0; C0; D0thuộc L sao cho

A A0; BB0; C C0; DD0  5:

Vì chu vi hồ là một đa giác lồi nên các đường gấp khúc nối A0B0; B0C0; C0D0; D0A0khôngchườm lên nhau Do đó

jLj  A0B0 C B0C0 C C0D0 C D0A0: 1 /

Hạ A0A1 vuông góc với A D ; A0A2 vuông góc với A B ; B0B1 vuông góc với B C ; B0B2vuông góc với A B ; C0C1 vuông góc với B C ; C0C2 vuông góc với C D ; D0D1 vuông gócvới A D ; D0D2 vuông góc với C D: Ta có

A0A1 C A0A2 

q

2 A0A21 C A0A22/ D p2 A0A2  5p2 :Tương tự, ta cũng có

Chú ý rằng kết luận của bài toán là tồn tại hình chữ nhật kích thước 2 5 35 không tương đươngvới việc tồn tại một phần diện tích 8 7 5 không nằm trong các hình tròn Việc chia mô hình thànhcác đối tượng nhỏ hơn để sử dụng nguyên lý Dirichlet là rất phổ biến trong hình tổ hợp, bên dưới

ta xét một số bài tương tự như sau:

1 Cho 6 điểm nằm bên trong một hình chữ nhật kích thước 3 4 : Chứng minh rằng có haiđiểm có khoảng cách không vượt quáp

5 :

2 (EGMO, 2012)Một hình vuông đơn vị được chia thành các đa giác, sao cho mỗi cạnh của

đa giác đều song song với cạnh của hình vuông cho trước Nếu tổng độ dài các đoạn thẳngnằm bên trong hình vuông (không tính hình vuông) là 2 n (với n là một số thực dương),chứng minh rằng tồn tại một đa giác có diện tích lớn hơn n C1/1 2:

3 Trong hình vuông cạnh 2 0 0 cm có 2 0 1 0 đa giác lồi mà mỗi đa giác có diện tích khôngquá 2  cm2và chu vi không quá 3  cm: Chứng minh trong hình vuông luôn tồn tại mộthình tròn có bán kính bằng 1 cm không cắt bất cứ đa giác nào

Ở ý b), mấu chốt là xem xét khoảng cách từ đỉnh hình vuông (là các điểm đặc biệt) cho đến biêncủa đa giác để đưa đa giác bất kỳ của đề bài về tứ giác và việc đánh giá sẽ dễ dàng hơn nhiều Cóthể thấy phát biểu của bài toán rất gần với bài toán trong đề IMO 1982 của thầy Văn Như Cương,nhưng ở mức độ nhẹ nhàng hơn:Ngày xưa ở xứ Nghệ/ có một ngôi làng hình vuông mỗi cạnh

1 0 0 km: Có một con sông chạy ngang quanh làng Bất cứ điểm nào trong làng cũng cách con

sông không quá 0 : 5 km: Chứng minh rằng có hai điểm trên sông có khoảng cách đường chim

bay không quá 1 km, nhưng khoảng cách dọc theo dòng sông không ít hơn 1 9 8 km:

Để ý rằng con số 1 9 8 ở đây có thể tính toán ra theo cách tương tự như câu b) ở trên nhưng phảichia đôi 1 0 0
4 4
0:5

p 2

2  198 để thể hiện cho nửa chu vi Và dĩ nhiên, nếu có nắm ý tưởnggiải của bài IMO này thì việc xử lý câu 3b sẽ trở nên nhẹ nhàng, sáng sủa hơn nhiều

Bài 4 (5.0 điểm) Trong mặt phẳng O x y ; cho C / là đồ thị của hàm số y D p3 x2: Mộtđường thẳng d thay đổi sao cho d cắt C / tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là

C 3

rx3x1

x2 2

C 3

rx1x2

x2 3