Lũy Thừa Bậc N Của Một Ma Trận Vuông - 123doc

Hãy tính An.. Hãy tính An... Hãy tính An.. Hãy tính An.

Lũy thừa bậc n của một ma trận vuông

Đỗ Viết Lân

Ngày 26 tháng 3 năm 2014

Đỗ Viết Lân

Lớp: Toán 3A - Trường Đại học Sư Phạm Huế

Ví dụ 1: Cho ma trận sau:

A =





−6 1 2

10 1 −2

−20 0 5





Hãy tính An

Giải:

Để tìm đa thức đặc trưng của ma trận A ta dùng lệnh

A.charpoly(’t’)

Đa thức đặc trưng của A là: PA(t) = t3− t

Do đó ta có A3 = A

Khi đó ta có công thức tính An như sau:

Nếu n = 2k thì:

An= A2 =





6 −5 −4

−10 11 8

20 −20 −15





Nếu n = 2k + 1 thì:

An= A =





−6 1 2

10 1 −2

−20 0 5





Ví dụ 2: Cho ma trận sau:

A =





−1 4 −2

−3 4 0

−3 1 3





Hãy tính An

Giải:

Ở đây ta cũng tìm đa thức đặc trưng của A là: PA(t) = t3− 6t2 + 11t − 6

Tuy nhiên đa thức nãy không đặc biệt như trong ví dụ 1

Trong ví dụ này ta phải tính ma trận J là dạng chuẩn Jordan của A và tìm ma trận khả nghịch P sao cho

J = P AP−1

Để tìm J và P ta dùng lệnh sau:

J, P = A.eigenmatrix_left()

Như vậy ta có dạng chuẩn Jordan của A là:

J =





3 0 0

0 2 0

0 0 1





và ma trận khả nghịch P là:

P =

0 1 −1

1 −3 2

1 −53 1



Lúc này ta có A = P−1J P Suy ra An= P−1JnP

Ta tính được An là:

An=





−2 2n+ 3 −3n+ 6 2n− 5 3n− 4 2n+ 3

−3 2n+ 3 −3 3n+ 9 2n− 5 3 3n− 6 2n+ 3

−3 2n+ 3 −4 3n+ 9 2n− 5 4 3n− 6 2n+ 3





Ví dụ 3: Cho ma trận sau:

A =









1 4 1 3

4 1 3 1

1 3 1 4

3 1 4 1









Hãy tính An

Giải:

Dạng chuẩn Jordan của A là:

J =









9 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −5









và ma trận khả nghịch P là:

P =









1 1 1 1

1 1 −1 −1

1 −1 −1 1

1 −1 1 −1









Ta có An= P−1JnP

Ta tính được An là:









1

49n+ 14 (−1)n+14 (−5)n+14 149n−1

4 (−1)n− 1

4 (−5)n+14 149n−1

4 (−1)n+ 14 (−5)n−1

4

1

49n+14 (−1)n− 1

4 (−5)n−1

4

1

49n−1

4 (−1)n− 1

4 (−5)n+14 149n+ 14 (−1)n+14 (−5)n+14 149n+14 (−1)n− 1

4 (−5)n−1

4

1

49n−1

4 (−1)n+ 14 (−5)n−1

4

1

49n−1

4 (−1)n+ 14 (−5)n−1

4

1

49n+14 (−1)n− 1

4 (−5)n−1

4

1

49n+ 14 (−1)n+14 (−5)n+14 149n−1

4 (−1)n− 1

4 (−5)n+14

1

49n+14 (−1)n− 1

4 (−5)n−1

4

1

49n−1

4 (−1)n+ 14 (−5)n−1

4

1

49n−1

4 (−1)n− 1

4 (−5)n+14 149n+ 14 (−1)n+14 (−5)n+14









Ví dụ 4: Cho ma trận sau:

A =





1 1 1

0 1 1

0 0 1





Hãy tính An

Giải:

Ta có A = I + J Trong đó

I =





1 0 0

0 1 0

0 0 1



; J =





0 1 1

0 0 1

0 0 0





Lúc này An = (I + J )n = In+ Cn1In−1J + Cn2In−2J2 = I + Cn1J + Cn2J2

Vì ta có

J3 =





0 0 0

0 0 0

0 0 0





Do do ta co

An =





1 n 12(n + 1)n

0 1 n

0 0 1



