Luyện Thi Đại Học Môn Toán - Ứng Dụng Của Tích Phân

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Luyện thi Đại học môn Toán - Ứng dụng của tích phân

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 1: DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG

I. Lý thuyết:

1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là

18 trang

ngochoa2017 Lượt xem

2101

0 Download Bạn đang xem tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán - Ứng dụng của tích phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 1: DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG Lý thuyết: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là S = 2. Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Diện tích giới hạn bởi y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là S = Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và x = a, x = b. II. Các dạng toán thường gặp: Phương pháp giải: + Diện tích cần tìm là S = + Xét dấu f(x) trên [a; b] S = + Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì S = + Nếu f(x) đổi dấu trên [a; b], giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = a; x = b (a <b ) thì Ví dụ1 (ĐHBK HN – 2000). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sin2xcos3x; y = 0 và x = 0; x = . S = Giải: + Diện tích cần tìm S = Với mọi x Î [0; ] thì cosx ≥ 0, do đó S = * Tính S: Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx Đổi cận Ví dụ 2 (HVBCVT HN – 2001 - 2002). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x; y = 0 và x = -1; x = e. Khi đó S = === (đvdt). Giải: Diện tích cần tìm S = Tính A = Đặt A = = = Tính B = Đặt B = = = . Vậy S = - A + B = (đvdt). Ví dụ 3 (ĐH Huế - 1999) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi y = , y = 0 và x = 1; x = e. Giải: Diện tích cần tìm là S = Với mọi x Î [1; e] Þ lnx ≥ 0, do đó S = Tính S: Đặt Ví dụ 4 (ĐHTN – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 – 2x; y = 0; x = -1 và x = 2. S = (đvdt). Giải: Diện tích cần tìm là: S = Xét dấu f(x) = x2 – 2x trên [-1; 2] f(x) = 0 khi x = 0 và x = 2. x -1 0 2 f(x) + 0 - 0 Khi đó: S = Ví dụ 5 (ĐH Huế 2000 – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ; y = 0 và x = 1; x = e. = = (đvdt). Giải: Diện tích cần tìm: S = Với mọi x Î[1; e] Þ lnx ≥ 0. do đó: S = Tính S: Đặt t = Þ t2 = 1 + lnx Þ 2tdt = Đổi cận Ví dụ 6 (HVNH TPHCM 1999) Tính diện tích của miền giới hạn bởi (C) y = , trục Ox và x = 1. S = (đvdt). Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: = 0 Û x = 0. Diện tích cần tính là: S = Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x); y = g(x); x = a và x = b. = (đvdt). Phương pháp giải: + Diện tích cần tìm S = . + Xét dấu: f(x) – g(x) trên [a; b] Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu trên [a; b] thì S = Nếu f(x) – g(x) đổi dấu trên [a; b], giả sử PT f(x) – g(x) có nghiệm x = a; x = b (a < b) thì Ví dụ 1 (ĐHTCKT – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2 + sinx và y = 1 + cos2x với x Î [0; p]. S = Giải: Diện tích cần tìm S = = Ví dụ 2 (HVKTQS – 2000) Tính diện tích hình phẳng y = ; y = và x = ; x = . = (đvdt). Giải: Diện tích cần tìm S = Xét dấu f(x) = với x Î Trên đoạn ta có f(x) = 0 khi x = . Dấu của f(x) x p/6 p/4 p/3 f(x) + 0 - Khi đó S = Ví dụ 3 (HVBCVT – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2x; y = 3 – x và x = 0. = (đvdt). Giải: Xét PT: 2x = 3 – x Û 2x + x – 3 = 0 (1) Xét hàm số f(x) = 2x + x – 3 ta có f’(x) = 2xln2 + 1 > 0, "x Î R Þ f(x) đồng biến trên R. Mà f(1) = 0 Þ PT(1) có nghiệm duy nhất x = 1. Ta có diện tích cần tính S = (đvdt). Chú ý: Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x); y = 0 và x = a. Khi đó ta chỉ cần giải PT f(x) = 0 để tìm cận còn lại. Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ; y = x; x = 4. Giải: Xét phương trình: =x Û . Vẽ hình: 1 S = = = 3 (đvdt). Bài toán 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x) và y = g(x). Phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) có nghiệm x1 < x2 < x3 < < xn. Diện tích cần tìm là: Ví dụ 1 (ĐH-CĐ khối A 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (e + 1)x; y = (1 + ex)x. S = Giải: Xét PT: (e + 1)x = (1 + ex)x Û x(ex – e)= 0 Û x = 0 v x = 1. Khi đó diện tích cần tìm S = = Tính I: Đặt I = Vậy S = (đvdt). Ví dụ 2 (ĐHCĐ khối A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x2-4x+3| và y = x + 3. Giải: Xét phương trình |x2 – 4x + 3| = x + 3 Û Û Û Diện tích cần tính là S = = = = =(đvdt). Ví dụ 3 (ĐHBK – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = và x2 + 3y = 0. Giải: Xét phương trình: Û x4 + 9x2 – 36 = 0 Û x = ± . Diện tích cần tìm: S = Tính A: Đặt x = 2sint, t Î Þ dx = 2costdt Đổi cận: A = = . Ví dụ 4 (ĐHSPHN – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x2 – 1| và y = |x| + 5. Vậy S = (đvdt). Giải: Xét phương trình: |x2 – 1| = |x| + 5 (1). Bảng xét dấu x -¥ -1 0 1 +¥ x - - 0 + + x2 - 1 + 0 - - 0 + Nếu x < - 1: (1) trở thành: x2 – 1 = - x + 5 Û x2 + x – 6 = 0 Û x = 2 hoặc x = - 3 Þ x = - 3. Nếu – 1 £ x < 0: (1) trở thành: 1 – x2 = - x + 5 Û x2 – x + 6 = 0 (vô nghiệm). Nếu 0 £ x < 1: (1) trở thành: 1 – x2 = - x + 5 Û x2 – x + 4 = 0 (vô nghiệm). Nếu x ≥ 1: (1) trở thành: x2 – 1 = x + 5 Û x2 – x – 6 = 0 Û x = -2 hoặc x = 3 Þ x = 3. Từ đồ thị ta có: S = = = (đvdt). Ví dụ 5 (ĐHCông Đoàn – 2000) tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Giải: Cách 1: Từ đồ thị ta có: S = = (đvdt). Cách 2: Có x + y – 2 = 0 Û x = 2 – y. Xét phương trình: Û Diện tích cần tìm: S = (đvdt). Chú ý: Một số bài toán có thể coi y là ẩn số. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x = f(y); x = g(y) và y = a và y = b là S = . Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y2 = x3 và y2 = (2-x)3. Giải: Có y2 = x3 Û x = . y2 = (2 – x)3 Û x = 2 - . Xét PT: = 2 - Û =1 Û y = ± 1. Diện tích hình phẳng cần tìm: S = (đvdt). Bài toán 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x); y = g(x); y = h(x). Giải: + Vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 1 (ĐHCĐ – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2; y = ; y = . + Xác định hình phẳng cần tính diện tích. Giải: Xét PT: x2 = Û x = 2; = Û x = 4. Diện tích cần tìm: S = (đvdt). Ví dụ 2 (ĐH Thủy Lợi – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x + 2; y = x2 + 4x + 5; y = 1. Giải: Xét PT: x2 – 2x + 2 = x2 + 4x + 5 Û 6x = -3 Û x = . Diện tích cần tìm: S = = (đvdt) Ví dụ 3 (ĐHKTQD – 2001) Tính hình phẳng giới hạn bởi (P) y = 4x – x2 và các đường thẳng tiếp tuyến với (P) biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua M. Giải: + Gọi d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc k: d: y = k(x - ) + 6 + d tiếp xúc với (P) Û có nghiệm. Từ hệ ta có: x2 – 5x + 4= 0 Û Tiếp tuyến qua M có hệ số góc k = 2 d1: y = 2x + 1. Tiếp tuyến qua M có hệ số góc k = - 4 d2: y = - 4x + 16 + Hoành độ giao điểm của d1, d2 là nghiệm của phương trình 2x + 1 = - 4x + 16 Û x = Hoành độ giao điểm của d1 và (P) là nghiệm của PT: 4x – x2 = 2x +1 Û x2 – 2x + 1 = 0 Û x = 1. Hoành độ giao điểm của d2 và (P) là nghiệm của PT: 4x – x2 = - 4x + 16 Û x2 8x + 16 = 0 Û x = 4 Diện tích cần tìm S = = (đvdt). Ví dụ 4 (ĐH Y Thái Bình – 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ; y = 0 và x = 0; y = 3 – x. Giải: Xét phương trình: =3 – x Û + x – 3 = 0 (*) Hàm số f(x) = + x – 3 có f’(x) = ln5 + 1 > 0, "x Î R Þ f(x) đồng biến trên R. Mà f(2) = 0 Þ PT (*) có nghiệm duy nhất x = 2. Diện tích cần tìm Bài toán 5: Tính diện tích hình tròn. S = (đvdt). Ví dụ 1: Tính diện tích (C): x2 + y2 = R2. Giải: Có y2 = R2 – x2 Û y = . Gọi S1 là diện tích thuộc góc phần tư thứ nhất. Diện tích hình tròn là S = 4S1. S1 là hình phẳng giới hạn bởi y = (vì y ≥ 0); trục Ox; x = 0 và x = R. S1 = Đặt x = Rsint, t Î Þ dx = Rcostdt. Đổi cận S1 = = Ví dụ 2: Parabol (P): y2 = 4x chia hình tròn (C) x2 + y2 = 32 thành hai phần. Tính diện tích mỗi phần. Vậy S = pR2. Giải: Ta có (C) tâm O(0; 0), bán kính R = Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là nghiệm của PT: x2 + 4x – 32 = 0 Û Gọi S1 là diện tích hình phần bị gạch; S2 là phần không bị gạch. S1 = = Tính I: Đặt x = sint, t Î Þ dx = costdt Đổi cận: I = Þ S1 = (đvdt) Hình tròn (C) bán kính R = Þ Diện tích S = pR2 = 32p Þ Diện tich phần không bị gạch Bài toán 6: Tính diện tích Elíp S2 = 32p - . Ví dụ 1: Tính diện tích Elíp (E): (a > b). Giải: * Ta có y2 = Û y = Gọi S1 là phần diện tích thuộc goc s phần tư thứ nhất S1 = Đặt x = asint; t Î Þ dx = a costdt Đổi cận: S1 = = . Vậy diện tích (E): S = 4S1 = pab. VẤN ĐỀ 2: TÍNH DIỆN TÍCH LƠN NHẤT – NHỎ NHẤTCỦA HÌNH PHẲNG. + Tính diện tích hình phẳng S theo các tham số m + Tìm GTLN – GTNN bằng cách sử dụng Tam thức bậc 2 Bất đẳng thức Đạo hàm Ví dụ 1(ĐH Ngoại Thương – 2000) Cho parabol (P): y = x2 +1 và đường thẳng d: y = mx + 2. Chứng mih rằng khi m thay đổi đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm m sao cho phần diện tích giới hạn bởi d và (P) là nhỏ nhất. Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): x2 + 1 = mx + 2 Û x2 – mx – 1 = 0 (1) Ta có D = m2 + 4 > 0, "m Î R Þ PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy d luôn căt (P) tại hai điểm phân biệt "m. Giả sử d cắt (P) tại A(a; ma + 2) và B(b; mb + 2) (a < b). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P) là: S = = = Þ S2 = = Vì a, b là nghiệm của (1) nên Þ S2 = (m2 + 4) ≥ 4. = Þ S ≥ . Vậy Smin = khi m = 0. Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = x2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P) nhỏ nhất. Giải: Phương trình đường thẳng d đi qua M: y = m(x-1) + 3 = mx +3 – m Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): x2 – mx + m – 3 = 0 (1) Ta có: = m2 – 4m +12 > 0 m d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;Bm Giả sử A(a; ma + 3 – m) ; B(b; mb +3 – m) Diện tích cần tính: S== = S2 = Vì a,b là nghiệm phương trình (1) nên: S2 = = Smin = đạt được khi m = 2. Vậy phương trình đường thẳng d: y = 2x + 1. VD3: Trên parabol (P): y = x2 lấy hai đểm A(-1;1) và B(2;4). Tìm M trên cung AB sao cho diện tích tam giác MAB là lớn nhất. Giải: Giả sử M(a;a2) -1<a<2 Phương trình đường thẳng AB: Phương trình đường thẳng AM: Phương trình đường thẳng BM: Diện tích : S = = = = Xét hàn số: f(a) = với a(-1;2) Ta có: Bảng biến thiên: a -1 1/2 1 f’(a) + 0 - f(a) 27/8 Từ bảng biến thiên ta có Smax = 27/8 khi a = ½. Vậy M(1/2; ¼). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. (ĐH Nông Nghiệp I, khối A -99) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = và y = Bài 2. (ĐHTL – 99) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = và y = Bài 3. (CĐSP Hà Nội – 99) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): và đường thẳng Bài 4. (ĐHTL – 2000) Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c (a0) . Gọi d là tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ x00. CMR: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi(P), d và trục Oy là: S = Bài 4. (HVCNBCVT – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ; và Bài 5. (CĐ Kiểm Sát – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = (x+1)2 ; và y = 0 với Bài 6. (ĐH Tây Nguyên, khối A – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 ; y = 4x2 ; y = 4. Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và Bài 8. (ĐH Cảnh Sát Nhân Dân – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ; trục Ox và x = 0; x = Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 3x -1 Trục Ox và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3. Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và y = x + 3. Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y2 = 2px và x2 = 2py (p>0) Bài 12. (ĐHKT – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ; trục Ox và x = 1; x = -1. Bài 13. Tính diện tích phần chung của hai elip: (E1): và (E2): Bài 14. Tính tỷ số mà parabol (P): y2 = 2px (p>0) chia (E): Bài 15. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): . Đường thẳng y = (d) cắt (E) tại M,N. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và phần (E) phía trên đường thẳng đó.

Tài liệu đính kèm:

LTDH BAC NINH 0640.doc

Tài liệu liên quan

Giáo án Giải tích cơ bản 12 tiết 10: Tiệm cận của hàm số
Lượt xem: 1116 Lượt tải: 1
Giáo án Ôn thi tốt nghiệp lớp 12 môn Toán theo chủ đề
Lượt xem: 3528 Lượt tải: 2
Bài tập ôn thi đại học phương trình lương giác
Lượt xem: 1403 Lượt tải: 0
Bộ đề luyện thi Đại học môn Toán có lời giải - Đề 22
Lượt xem: 1644 Lượt tải: 0
Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 (Đề số 5)
Lượt xem: 1054 Lượt tải: 0
Giáo án Giải Tích 12 Cơ bản - Trường THPT Trà Cú
Lượt xem: 965 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học môn Toán khối: A, B, D
Lượt xem: 1081 Lượt tải: 0
Đề cương ôn tập hình học 12 năm học 2009 – 2010
Lượt xem: 1020 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học lần 10 môn Toán
Lượt xem: 1419 Lượt tải: 0
Chuyên đề 8: Lượng giác
Lượt xem: 1398 Lượt tải: 1