Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai | SGK Toán Lớp 10
Có thể bạn quan tâm
A. Lý thuyết
1. Tam thức bậc hai (một ẩn)
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$. Trong đó \(a,b,c\) là nhũng số cho trước với \(a \ne 0\).
Nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$; \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$.
2. Dấu của tam thức bậc hai
Định lí:
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c(a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).
- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).
- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\dfrac{b}{2a}\).
- Nếu \(∆ > 0, f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\)
Chú ý:
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau
Khi xét dấu tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể nhớ theo quy tắc “Trong trái ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với \(a\)
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$.
$a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c \ge 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c < 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$a{x^2} + bx + c \le 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
B. Bài tập vận dụng
Bài 1:
a) Xét dấu tam thức \(3{x^2} - 2x + 1\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta < 0\\a = 3 > 0\end{array} \right.\) suy ra \(3{x^2} - 2x + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
b) Xét dấu tam thức \( - {x^2} + 4x + 5\).
Phương trình \( - {x^2} + 4x + 5 = 0\) có \(\Delta > 0\), a = -1 < 0, hai nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 5.
Bảng xét dấu:
Suy ra \( - {x^2} + 4x + 5 > 0\) khi \(x \in ( - 1;5)\) và \( - {x^2} + 4x + 5 < 0\) khi \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup (5; + \infty )\).
c) Xét dấu tam thức \( - 4{x^2} + 12x - 9\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\a = - 4 < 0\end{array} \right.\), phương trình \( - 4{x^2} + 12x - 9 = 0\) có nghiệm kép \(x = \frac{3}{2}\).
Suy ra \( - 4{x^2} + 12x - 9 < 0\) \(\forall x \ne \frac{3}{2}\).
Bài 2: Tìm m để biểu thức \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) luôn âm.
Với \(m = 0\) thì \(f(x) = - x - 1\) vẫn có thể đạt giá trị dương nên loại m.
Với \(m \ne 0\) thì \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) là tam thức bậc hai.
Để \(f(x) < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta = 1 + 4m < 0\end{array} \right.\) hay \( - \frac{1}{4} < m < 0\).
Vậy để biểu thức \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) luôn âm thì \( - \frac{1}{4} < m < 0\).
Bài 3: Tìm m để \(3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Cần \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_1} \le 0\\{a_1} = 3 > 0\end{array} \right.\)
Ta có \(\Delta {'_1} = {(m + 1)^2} + 3(2{m^2} - 3m + 2) \le 0\) hay \(7{m^2} - 7m + 7 \le 0\).
Xét biểu thức \(7{m^2} - 7m + 7\) có \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _2} = {( - 7)^2} - 4.7.7 = - 147 < 0\\{a_2} = 7 > 0\end{array} \right.\) nên \(7{m^2} - 7m + 7 > 0\).
Suy ra không có giá trị m nào để \(7{m^2} - 7m + 7 \le 0\), hay \(\Delta {'_1} \le 0\).
Vậy không có giá trị m để \(3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Bài 4: Chứng minh hàm số \(y = \sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi m.
ĐKXĐ: \({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 \ge 0\) (*)
Với \(m = 0\) thì (*) đúng với mọi x.
Với \(m \ne 0\), xét tam thức bậc hai \(f(x) = {m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = {m^2} > 0\\\Delta ' = 4{m^2} - 8(2{m^2} + 1) = - 12{m^2} - 8 < 0\end{array} \right.\)
Suy ra \({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số \(y = \sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi m.
Từ khóa » Công Thức Căn Bậc 2 Lớp 10
-
Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp ...
-
Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 10 Quan Trọng - Kiến Guru
-
Công Thức Căn Bậc Hai Và Phương Trình Bậc Nhất
-
Bất Phương Trình Chứa Căn Lớp 10: Công Thức Và Cách Giải
-
Bất Phương Trình Chứa Căn Bậc Hai Lớp 10 - Toán Thầy Định
-
Công Thức Bất Phương Trình Chứa Căn Lớp 10, Bất ...
-
Công Thức Bất Phương Trình - Gia Sư Tâm Tài Đức
-
Các Công Thức Biến đổi Căn Thức Bậc Hai Cần Phải Nhớ Và Bài Tập ...
-
Công Thức Liên Quan Căn Bậc 2 - Toán 10 Trong 2022 - Pinterest
-
Cách Giải Phương Trình Chứa ẩn Dưới Dấu Căn - Toán Lớp 10
-
Bất Phương Trình Toán Lớp 10: Các Dạng Bài Tập Và Cách Giải
-
Cách Giải Phương Trình Chứa Căn, Bất Phương Trình Chứa Căn
-
Lý Thuyết Phương Trình Chứa Căn Môn Toán Lớp 10