Lý Thuyết Giới Hạn Của Dãy Số (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn→+∞un=0 hay un → 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với un=−1nn2. Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xét un=1n2=1n2

Với n > 10 n2 > 102 = 100

⇒un=1n2=1n2<1100⇒limn→∞un=0

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu limn→+∞vn−a=0

Kí hiệu: limn→+∞vn=a hay vn → a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số vn=−n−13+2n. Chứng minh rằng limn→∞vn=−12.

Giải

Ta có limn→∞vn+12=limn→∞−n−13+2n+12=limn→∞=123+2n=0

Do đó: limn→∞vn=−12.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) limn→+∞1n=0,limn→+∞1nk=0 với k nguyên dương;

b) limn→+∞qn nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì limn→+∞un=limn→+∞c=c.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho limn→+∞un=a ta viết tắt là lim un = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab (nếu b≠0)

Nếu un≥0 với mọi n và limun­ = a thì:

limun=a và a≥0.

Ví dụ 3. Tính limn2−2n+1

Giải

limn2−2n+1=limn3+n2−2n+1=lim1+1n−2n31n2+1n3=lim1+1n−2n3:lim1n2+1n3=lim1+lim1n−lim2n3:lim1n2+lim1n3=+∞

Ví dụ 4. Tìm lim2+9n21+4n

Giải

lim2+9n21+4n=limn22n2+9n1n+4=limn2n2+9n1n+4=lim2n2+91n+4=34.

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...=u11−qq<1

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1;−12;14;−18;...;−12n−1;...

Giải

Ta có dãy số 1;−12;14;−18;...;−12n−1;... là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=−12.

Khi đó ta có:

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì limunvn=0

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì limunvn=+∞

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì limun.vn=+∞

Ví dụ 6. Tính lim2n+1n.

Giải

lim2n+1n=lim2n+lim1n

Vì lim2n=+∞ và lim1n=0

⇒lim2n+1n=+∞

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) lim2n+8n−9;

b) lim4−n3−12n21+2n3;

c) lim3n−4n+12.4n+2n.

Lời giải

a) lim2n+8n−9=lim2+8n1−9n=2.

b)

lim4−n3−12n21+2n3=lim4n3−1−12n1n3+2=−12.

c)

lim3n−4n+12.4n+2n=lim34n−1+14n2+12n=−12.

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là 23 và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải

Số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: un=23n.

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u1=1

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: S=u11−q=11−23=113=3.

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: un=23n và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 3.

Bài 3. Biết dãy số (un) thỏa mãn un−1<1n3 với mọi n. Chứng minh rằng limun = 1.

Lời giải

Đặt vn = un - 1

Chọn số dương bé tùy ý d, tồn tại n0=1d3+1 với mọi n≥n0 sao cho:

vn<1n3<1n03=11d3+13<11d33=d

Theo định nghĩa ta có: limvn = 0.

Do đó: lim (un – 1) = 0

⇒limun=1.

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) limn2+n−n2−1;

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1).

Lời giải

a)

limn2+n−n2−1=limn2+n−n2−1n2+n+n2−1n2+n+n2−1=limn+1n2+n+n2−1=lim1+1n1+1n+1−1n2=11+1=12.

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) = limn31+2n−1n2+1n3=limn3.lim1+2n−1n2+1n3=∞

(Vì limn3=∞,lim1+2n−1n2+1n3=1).

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Câu 1: Cho cấp số nhân un=12n∀n≥1 .Khi đó:

A. S=1

B. S=12n

C. S=0

D. S=2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn có:

u1=12;q=12

⇒S=u11−q=121−12=1

Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn 0 ?

A. un=n2

B. un=2n

C. un=n

D. un=n

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Dãy số un mà un=2n có giới hạn 0.

Câu 3: Cho un là một cấp số nhân công bội q=13 và số hạng đầu u1=2,

Đặt S=u1+u2+...+un . Giá limSn là:

A. 1

B. 23

C. 43

D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Do 0<q=13<1 nên cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+...+un

=u1(1−qn)1−q

⇒limSn=u1(1−qn)1−q

=u11−q=21−13=3

Câu 4: Cấp số nhân un có u1=2,u2=1. Đặt Sn=u1+u2+...+un ), khi đó:

A. Sn=41−12n

B. Sn=4

C. Sn=2

D. Sn=1−12n

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Vì Sn=u1+u2+...+un nên đây là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân công bội

q=  u2u1= 12.

Theo công thức tính tổng Sn=u1(1−qn)1−q ta được:

Sn=2(1−12n)1−12=41−12n

Câu 5: Giá trị của C=lim3.3n+4n3n+1+4n+1bằng:

A. +∞

B. 12

C. 0

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

C=lim3.3n+4n3n+1+4n+1

=lim3.3n+4n3.3n+4.4n

=lim3.34n+13.34n+4

=3.0+​13.0+​  4=12

Câu 6: Biết limun=3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. lim3un−1un+1=3

B. lim3un−1un+1=−1

C. lim3un−1un+1=2

D. lim3un−1un+1=1

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

lim3un−1un+1=3limun−1limun+1

=3.3−13+1=84=2

Câu 7: Biết limun=+∞. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. limun+13un2+5=1

B. limun+13un2+5=0

C. limun+13un2+5=13

D. limun+13un2+5=+∞

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có :

limun+13un2+5=limun21un+1un2un23+5un2

=lim1un+1un23+5un2=0+03+0=0

Câu 8: Cho hai dãy số un , vn với un=1n,vn=−1nn.

Biết (−1)nn≤1n. Chọn kết luận không đúng:

A. limun=0

B. limvn=0

C. limun−limvn=0

D. Không tồn tại

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Dễ thấy limun=0 nên A đúng.

Do (−1)nn≤1n và lim1n=0 nên

lim−1nn=0 hay limvn=0

Do đó các đáp án B và C đúng.

Câu 9: Giới hạn lim3.2n+1−5.3n+7nbằng :

A. −∞.

B. +∞.

C. 3.

D. −5.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

lim3.2n+1−5.3n+7n

=lim6.2n−5.3n+7n

=lim3n623n−5+7n3n

=−∞

Vì lim​  3n= +  ∞;

 lim623n−5+7n3n

=6.0−5+​7.0=  −5<​  0

Câu 10: Giới hạn lim2−5n3(n+1)22−25n5 bằng?

A. −4.

B. −1.

C. 5.

D. −32.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

lim(2−5n)3(n+1)22−25n5

=lim(2−5n)3n3.(n+1)2n22−25n5n5

=lim2−5nn3.n+1n22n5−25

lim2n−53.1+​ 1n22n5−25

=0−53(1+0)20−25

=−53.12−25=5

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Hàm số liên tục

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm