Lý Thuyết Hàm Số Lũy Thừa | SGK Toán Lớp 12
Có thể bạn quan tâm
1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in R} \right)\). Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo \(\alpha\):
- Nếu \(\alpha\) nguyên dương thì tập các định là \(R\).
- Nếu \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha = 0\) thì tập các định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\).
- Nếu \(\alpha \) không nguyên thì tập các định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Chú ý: Hàm số \(y = \sqrt x \) có tập xác định là \(\left[ {0; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) có tập xác định \(R\), trong khi đó các hàm \(y = {x^{\frac{1}{2}}},y = {x^{\frac{1}{3}}}\) đều có tập xác định \((0; +∞)\). Vì vậy \(y = \sqrt x \) và \(y = {x^{\frac{1}{2}}}\) ( hay \(y = \sqrt[3]{x}\) và \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\)) là những hàm số khác nhau.
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
- Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có đạo hàm tai mọi \(x ∈ (0; +∞)\) và \(y' = \left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)
- Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }\left( x \right)\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \[y' = \left[ {{u^\alpha }\left( x \right)} \right]' = \alpha {u^{\alpha - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có tập xác định là \(R\) và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành \(\forall x \in R,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\] nếu \(u= u(x) \) có đạo hàm trong khoảng \(J\).
4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\) và có đạo hàm tại mọi \(x\) khác \(0\), công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành \(\forall x \ne 0,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]
nếu \(u= u(x) \ne 0\) có đạo hàm trong khoảng \(J\).
5. Đạo hàm của căn thức
Hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) (tập xác định của \(y = \sqrt[n]{x}\) chứa tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) và trên tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) thì hai hàm số trùng nhau).
Khi \(n\) lẻ thì hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có tập xác định \(R\). Trên khoảng \((0; +∞) \) ta có \(y = \sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) và \(\left( {{x^{\frac{1}{n}}}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\frac{1}{n} - 1}}\), do đó \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\).
Công thức này còn đúng cả với \(x < 0\) và hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) không có đạo hàm tại \(x= 0\).
Khi \(n\) chẵn hàm \(y = \sqrt[n]{x}\) có tập xác định là \([0;+∞)\), không có đạo hàm tại \(x= 0\) và có đạo hàm tại mọi \(x > 0\) tính theo công thức:
\[ \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\]
Tóm lại, ta có \( \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) đúng với mọi \(x\) làm cho hai vế có nghĩa.
Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu \(u=u(x)\) là hàm có đạo hàm trên khoảng \(J\) và thỏa mãn điều kiện \(u(x) > 0, ∀x ∈ J\) khi \(n\) chẵn, \(u\left( x \right) \ne 0,\forall x \in J\) khi \(n\) lẻ thì
\[\forall x \in J,\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}\]
6. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên khoảng \((0; +∞)\)
Chú ý: Khi khảo sát hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha \) cụ thể, cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng \((0; +∞)\) như trên).
Loigiaihay.com
Từ khóa » Các Công Thức Về Lũy Thừa Lớp 12
-
Tổng Hợp đầy đủ Bộ Công Thức Luỹ Thừa Cần Nhớ
-
Các Công Thức Hàm Số Mũ Hàm Số Lũy Thừa Lôgarít Lớp 12
-
Công Thức Lũy Thừa (của Một Tích, Một Thương, Số Hữu Tỉ) - Toán Lớp 12
-
Toán 12 - Bảng Công Thức Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Logarit | 7scv
-
Bộ Công Thức Về Lũy Thừa Chính Xác Nhất Và Bài Tập ứng Dụng Liên Quan
-
Công Thức Lũy Thừa: Tổng Hợp Công Thức Chi Tiết - VerbaLearn
-
Các Dạng Bài Tập Về Công Thức Lũy Thừa, Logarit Và Cách Giải
-
Toàn Bộ Công Thức Phần Mũ - Logarit
-
Bài Tập Công Thức Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Logarit Lớp 12 Có đáp án Chi Tiết
-
Công Thức Lũy Thừa - Trung Tâm Gia Sư Tâm Tài Đức
-
Công Thức Lũy Thừa Lớp 12 - Randy-rhoads
-
[ Công Thức Lũy Thừa ] Của Một Tích, Lớp 7 , Lớp 12, Bậc 3
-
Công Thức Logarit Và Công Thức Lũy Thừa Logarit – Giải Tích Lớp 12