Lý Thuyết Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn Và Các Dạng Bài ...

Nếu đang tìm kiếm một tài liệu học tập về phần hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, các em hãy tham khảo ngay tài liệu dưới đây với hệ thống lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cùng các dạng bài tập thường gặp, giúp các em nắm được trọn vẹn phần kiến thức này. Các thầy cô cũng có thể sử dụng bài tổng hợp này như một tài liệu hữu ích phục vụ quá trình dạy học của mình.

Cùng tham khảo nhé!

I. Lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho trước, x và y là ẩn số

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung \(({x_0},\,{y_0})\) thì \(({x_0},\,{y_0})\) được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Hệ phương trình tương đươngHai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng \(d:ax + by = c\) và \(d':a'x + b'y = c'.\)

Trường hợp 1. \(d \cap d' = A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow\)  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\);

Trường hợp 2. \(d//d' \Leftrightarrow\)  Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. \(d \equiv d' \Leftrightarrow\)  Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\);

Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\);

Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\).

II. Các dạng toán thường gặp về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.

Phương pháp:

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\)

- Hệ phương trình vô nghiệm  \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)

- Hệ phương trình có vô số nghiệm  \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\)

Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?

Phương pháp:

Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị

Phương pháp:

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ hai đường thẳng d:ax + by = c và d':a'x + b'y = c' trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm củ hai đường thẳng.

Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 (hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng).

III. Bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho phương trình 3x – 2y = 5

a) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất

b) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ vô nghiệm

c) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có vô số nghiệm

Lời giải:

Ta có \(3x - 2y = 5 \Leftrightarrow y = \displaystyle{3 \over 2}x - {5 \over 2}\)

a) Ta cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất. Do đó ta phải thêm đường thẳng có hệ số góc khác \(\displaystyle{3 \over 2}\).

Chẳng hạn ta thêm đường thẳng

\(y =\displaystyle {2 \over 3}x + {1 \over 3} \Leftrightarrow 2x - 3y =  - 1\)

Khi đó ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\matrix{ {3x - 2y = 5} \cr  {2x - 3y = - 1} \cr} } \right.\)

và hệ này có nghiệm duy nhất.

b) Ta cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được môt hệ vô nghiệm. Do đó ta phải thêm đường thẳng có hệ số góc bằng \( \displaystyle{3 \over 2}\) và tung độ gốc khác \(\displaystyle - {5 \over 2}\).

Chẳng hạn ta thêm đường thẳng

\( y = \displaystyle{3 \over 2}x - {1 \over 2} \Leftrightarrow 3x - 2y = 1\)

Khi đó ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\matrix{ {3x - 2y = 5} \cr  {3x - 2y = 1} \cr} } \right.    \)

và hệ này vô nghiệm.

c) Ta cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có vô số nghiệm. Do đó ta phải thêm đường thẳng có hệ số góc bằng \(\displaystyle{3 \over 2}\) và tung độ gốc bằng  \(\displaystyle - {5 \over 2}\).

Chẳng hạn ta thêm đường thẳng

\(y = \displaystyle{3 \over 2}x - {5 \over 2}  \Leftrightarrow  6x - 4y = 10\)

Khi đó ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\matrix{ {3x - 2y = 5} \cr  {6x - 4y = 10} \cr} } \right.     \)

và hệ này có vô số nghiệm.

=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề Toán 9 chương 3 bài 2 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài

*********************

Hy vọng với hệ thống kiến thức lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trên đây, các em sẽ có thêm một tài liệu học tập hữu ích để học tốt hơn môn Toán 9. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!