LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN

 

A. Tóm tắt kiến thức:

1. Bội và ước của một số nguyên

Cho a,b là những số nguyên, b khác 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu

Ta còn nói a là một bội của b và b là một ước của a.

Lưu ý:

a) Nếu a = bq thì ta còn nói a chia cho b được thương là q và viết q = a : b.

b) Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0.

c) Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

d) Số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.

e) Nếu c là ước của cả a và b thì c được gọi là một ước chung của a và b.

2. Tính chất:

a) Nếu  và thì

b) Nếu thì

c)  và thì  và

Bài Tập.

Bài 1. Tìm năm bội của: 3; -3.

Bài giải:

Có thể chọn năm bội của 3, -3 là -6; -3; 0; 3; 6.

Bài 2. Tìm tất cả các ước của: -3; 6; 11; -1.

Bài giải:

Các ước của -3 là -3; -1; 1; 3.

Các ước của 6 là: -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6.

Các ước của 11 là: -11; -1; 1; 11.

Các ước của -1 là: -1; 1.

Bài 3. Cho hai tập hợp số A = {2; 3; 4; 5; 6}, B = {21; 22; 23}.

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng (a + b) với a ∈ A và b ∈ B?

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 2?

Bài giải:

HD: a) Mỗi phần tử a ∈ A cộng với một phần tử b ∈ B ta được một tổng a + b.

b) Mỗi số chẵn thuộc A cộng với một số chẵn thuộc B ta được một tổng chia hết cho 2 và mỗi số lẻ thuộc A cộng với một số lẻ thuộc B cũng được một số chia hết cho 2.

ĐS: a) Có 5 . 3 = 15 tổng a + b.

b) Có 3 . 1 + 2 . 2 = 7 tổng chia hết cho 2.

Bài 4. Tìm số nguyên x, biết: a) 15x = -75;        b) 3ΙxΙ = 18.

Bài giải:

ĐS: a) x = -5;

b) |x| = 6. Do đó x = 6 hoặc x = -6.

Bài 5. Điền số vào ô trống cho đúng:

a	42		2	-26	0	9
b	-3	-5		|-13|	7	-1
a : b		5	-1

Bài giải:

a	42	-25	2	-26	0	9
b	-3	-5	-2	|-13|	7	-1
a : b	-14	5	-1	-2	0	-9

 Bài 6: Tìm năm bội của 2 và -2.

Giải:

Muốn tìm một bội của 2, (-2) ta nhân 2, (-2) với một số nguyên nào đó. Chẳng hạn :

Năm bội của 2 là : 2 . 1 = 2 ; 2 . (-1) = -2 ; 2 . 2 = 4 ; 2. (-2) = – 4 ; 2 . 3 = 6.

Năm bội của -2 là : -2 ; 2 ; – 4 ; 4 ; – 6.

Tổng quát : Các bội của 2 có dạng là 2 . q với q ∈  z    :

0 ; -2 ; 2 ; – 4 ; 4 ; – 6 ; 6 ; -8 ;  8 ; …….

Bài 7: Tìm tất cả các ước của -2, 4, 13, 15, 1

Các ước của-2 là :-1 , 1 ,-2 , 2.

Cấc ước của 4 là : -1 , 1 , -2 , 2 , -4 , 4.

Các ước của 13 là : -1 , 1 , -13 , 13

Các uớc của 15 là : -1 , 1 , -3 , 3 , -5 , 5 , -15 , 15.

Các ước của 1 là : -1 , 1.

Bài 8: Cho hai tập hợp số A={4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}; B={13 ; 14 ; 15}

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng (a+b) với a ∈ A, b ∈ B?

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 3?

Giải:

Lập bảng ta thấy :

a) Có 15 tổng được tạo thành

 

b) Trong đó có 5 tổng chia hết cho 3 là : 18, 18, 21, 21, 21. Như vậy có hai tổng khác nhau chia hết cho 3 là 18 và 21.

Bài 9: Tìm số nguyên x, biết:

a) 12 . x = -36

b) 2 . |x| = 16

Giải:

a) x = -3

b) |x| =8 nên x = -8, hoặc x = 8.

Bài 10: Điền vào ô trống:

 

 Giải:

 

Bài 11: Tìm hai cặp số nguyên a, b khác nhau sao cho a ⋮ b và b ⋮ a.

Giải:

5 và-5 ; 6 và-6.

Các cặp số nguyên (khác 0) đối nhau đều có tính chất này (và chỉ có những cặp số này).

Bài 12: Điền chữ ”Đ” (đúng) hoặc ”S” (sai) vào các ô vuông.

a) (-36) : 2 = -18 …..

b) 600 : (-15) = -4 …..

c) 27 : (-1) = 27 …..

d) (-65) : (-5) = 13 ..…

Giải:

a) (-36) : 2 = -18 Đ

b) 600 : (-15) = -4 S

c) 27 : (-1) = 27 S

d) (-65) : (-5) = 13 Đ

Bài 13: Tính giá trị của biểu thức:

a) [(−23) . 5] : 5

b) [32 . (−7)] : 32

Giải:

a) [(-23) . 5] : 5 = -23

b) [32.(-7)] : 32

Bài 14: Điền số thích hợp vào ô trống trong hình sau:

 

Giải:

Điền từ trên xuống:

 

Bài 15: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) (x + 4) ⋮ (x + 1);

b) (4x + 3) ⋮ (x – 2).

Giải:

a) Ta có X + 4 = (x + 1) + 3

nên (x + 4) : (x + 1) khi 3 : (x + 1), tức là x + 1 là ước của 3. Vì Ư(3) = {-1 ; 1 ; -3 ; 3}, ta có bảng sau :

x+1	-1	1	-3	3
x	-2	0	-4	2

 ĐS : X = -4 ; -2 ; 0 ; 2.

b) HD : Ta có 4x + 3 = 4(x – 2) + 11,

nên (4x + 3) : (x – 2) khi 11 : (x – 2), tức là (x – 2) là ước của 11. ĐS : x ∈ {-9 ; 1 ; 3 ; 13}.

Bài 16:

Tìm số nguyên x, biết:

a) 2|x−1| = 10;

b)  . x = 56 + 10 . 13x

Giải:

a) 2|x + 1| = 10 => |x + 1| = 5

=> x + 1 = 5 hay x = 4 hoặc x + 1 = -5 hay x = -6.

ĐS : x = 4, x = -6.

b) x = 4.