Lý Thuyết Và Bài Tập Tứ Giác (có Lời Giải)

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỨ GIÁC

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác ABCD trên gọi là tứ giác lồi.

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

2. Tính chất

a) Tính chất đường chéo

Người ta chứng minh được rằng:

Trong một tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của tứ giác.

Ngược lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của nó thì tứ giác ấy là tứ giác lồi.

b) Tính chất góc

Định lí:

Tổng các góc của một tứ giác bằng 360∘">360∘

Chứng minh: Phương pháp chứng minh phản chứng:

“Để chứng minh mệnh đề A là đúng, ta giả thiết rằng a là sai. Từ giả thiết A sai ta rút ra được kết luận vô lí (trái với giả thiết hoặc trái với các định lí, tiên đề hoặc trái với các kết luận đúng mà ta có).” Như vậy A đúng.

 

B. Bài tập

Bài 1. Tìm x ở hình 5, hình 6:

 

Lời giải:

(Áp dụng: tổng 4 góc trong một tứ giác bằng 360o)

- Ở hình 5:

a) x = 360o - (110o + 120o + 80o) = 50o

b) x = 360o - (90o + 90o + 90o) = 90o

c) x = 360o - (90o + 90o + 65o) = 115o

d) x = 360o - (75o + 120o + 90o) = 75o

Vì \(\angle K = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \)(kề bù với góc 60o)

\(\angle M = 180^\circ  - 105^\circ  = 75^\circ \)(kề bù với góc 105o)

- Ở hình 6:

a) x + x = 360o - (65o + 95o) => x = 100o

b) 2x + 3x + 4x + x = 360o

=> 10x = 360o

=> x = 36o

Bài 2: Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác.

a) Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 7a.

b) Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 7b ( tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài):

\(\angle {A_1} + \angle {B_1} + \angle {C_1} + \angle {D_1}\)

c) Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài của tứ giác?

 

Lời giải:

a) Ở hình 7a: Góc trong còn lại:

\(\angle D = 360^\circ  - (75^\circ  + 90^\circ  + 120^\circ ) = 75^\circ \)

Ta tính được các góc ngoài tại các đỉnh A, B, C, D lần lượt là 105o, 90o, 60o, 105o

b) Hình 7b:

Tổng các góc trong:

\(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \)

Nên tổng các góc ngoài:

\(\angle {A_1} + \angle {B_1} + \angle {C_1} + \angle {D_1}\)

\( = (180^\circ  - \angle A) + (180^\circ  - \angle B) + (180^\circ  - \angle C) + (180^\circ  - \angle D)\)

\(\begin{array}{l} = 180^\circ .4 - (\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)\\ = 720^\circ  - 360^\circ  = 360^\circ \end{array}\)

c) Nhận xét: Tổng các góc ngoài của tứ giác bằng 360o.

Bài 3: Ta gọi tứ giác ABCD trên hình 8 có AB = AD, CB = CD là hình "cái diều".

b) Tính ∠B, ∠D biết rằng ∠A= 1000 và ∠C= 600 .

Lời giải:

a) Ta có:

AB = AD (gt) => A thuộc đường trung trực của BD

CB = CD (gt) => C thuộc đường trung trực của BD

Vậy AC là đường trung trực của BD

b) Xét ΔABC và ΔADC có:

AB = AD (gt)

BC = DC (gt)

AC cạnh chung

=> ΔABC = ΔADC (c.c.c)

Suy ra: \(\angle B = \angle D\)

Ta có: \(\angle B + \angle D = 360^\circ  - (100^\circ  + 60^\circ ) = 200^\circ \)

Do đó: \(\angle B = \angle D = 100^\circ \)

Bài 4. Dựa vào cách vẽ các tam giác đã học, hãy vẽ lại các tứ giác ở hình 9, hình 10 vào vở.

 

Lời giải:

- Cách vẽ hình 9: Vẽ tam giác ABC trước rồi vẽ tam giác ACD (hoặc ngược lại).

+ Vẽ đoạn thẳng AC = 3cm.

+ Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC, vẽ cung tròn tâm A bán kính 1,5cm với cung tròn tâm C bán kính 2cm.

+ Hai cung tròn trên cắt nhau tại B.

+ Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC.

Tương tự ta vẽ được tam giác ACD. Tứ giác ABCD là tứ giác cần vẽ.

 

- Cách vẽ hình 10: Vẽ tam giác MQP trước rồi vẽ tam giác MNP. Vẽ tam giác MQP biết hai cạnh và góc xen giữa.

- Vẽ \(\angle xQy = 70^\circ \)

+ Trên tia Qx lấy điểm M sao cho QM = 2cm.

+ Trên tia Qy lấy điểm P sao cho QP = 4cm.

+ Vẽ đoạn thẳng MP, ta được tam giác MPQ.

Vẽ tam giác MNP biết ba cạnh, với cạnh MP đã vẽ. Tương tự cách vẽ hình 10, điểm N là giao điểm của hai cung tròn tâm M, P bán kính lần lượt là 1,5cm; 3cm.. Tứ giác MNPQ là tứ giác cần vẽ.

 (*) Cách vẽ hình 10:

Bài 5. Đố. Đố em tìm thấy vị trí của "kho báu" trên hình 11, biết rằng kho báu nằm tại giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD, trong đó các đỉnh của tứ giác có tọa độ như sau: A(3; 2), B(2; 7), C(6; 8), D(8; 5).

 Đố. 

Lời giải:

 

Các bước làm như sau:

Đánh dấu các số thứ tự (như trục tọa độ) và kí hiệu các điểm như trên hình. Các bước làm như sau:

- Xác định các điểm A, B, C, D trên hình vẽ với A(3; 2); B(2; 7); C(6; 8); D(8; 5).

- Vẽ tứ giác ABCD

- Vẽ hai đường chéo AC và BD. Gọi K là giao điểm của hai đường chéo đó.

- Xác định tọa độ của điểm K: K(5; 6)

Vậy vị trí kho báu có tọa độ K(5; 6) trên hình vẽ.