Lý Thuyết Và Bài Tập ứng Dụng Toán C1 - 123doc

Lý thuyết và bài tập ứng dụng toán C1

CHUYÊN ĐỀ 1 HÀM SỐ - MÔ HÌNH TOÁN

+ Lược đồ phát họa đồ thị hàm số f bằng cách vẽ từng điểm:

1 Chọn một số điểm x thuộc miền xác định của f và lập bảng gồm giá trị của

hàm y=f(x) cho những giá trị x này

Ví dụ: lim1

x (2x2 – 1) = 1

Ta có bảng số liệu

x x

x 2x2 – 1 = 2lim1

x (x.x) – 1 = 2lim1

x x lim1

x x – 1 = 2.1.1 – 1

a Tính chi phí khi 20 sản phẩm được sản xuất

b Tính chi phí khi sản phẩm thứ 20 được sản xuất

a) Hãy biễu diễn hàm lượng CO trong không khí là một hàm số theo thời gian.

b) Sau bao nhiêu năm hàm lượng CO đạt đến 9 ppm?

Giải :

a) Vì hàm lượng CO được liên hệ theo biến p bởi phương trình c(p)=0.5p + 3 (ppm)vàbiến p được liên hệ với biến t theo phương trình p(t)=10 + t2,do đó hàm hợp:

c(p(t))= c(10 + t2)=0.5(10 + t2)+ 3=0.5t2 + 8biểu diễn hàm lượng CO trong không khí như hàm số theo thời gian

b) Theo đề, ta có:

c(p(t))=9  0.5t2 + 8=9 t=1.4 Vậy sau 1.4 năm lượng CO trong không khí sẽ đạt 9ppm

Ví dụ 3:

Một công ty chuyên sản xuất đĩa CD với chi phí mỗi đĩa là 40 ngàn Nếu mỗi đĩa được bán với giá là x ngàn thì số lượng đĩa bán được là q(x)=120-x cái Hãy xác định giá bán của mỗi đĩa sao cho lợi nhuận mà công ty thu được là cao nhất.

Giải:

Gọi x là giá bán của sản phẩm

Doanh thu mà công ty thu được: R(x)=x.q(x)= x(120-x)= 120x-x2

Chi phí mà công ty bỏ ra: C(x)=40(120-x)=4800-40x

Lợi nhuận công ty thu được:

N(x)=R(x)-C(x)= 120x-x2-(4800-40x)=160x-x2-4800

Để lợi nhuận đạt được cao nhất thì x= -160/(-2)=80

Vậy khi bán với giá 80 ngàn thì công ty đạt lợi nhuận cao nhất

Ví dụ 4:

Một nhà sản xuất bán bóng đèn với giá là 30$, tại giá bán này khách hàng sẽ mua 3000 bóng mỗi tháng Nhà sản xuất dự định tăng giá bán và họ ước tính rằng cứ giá mà tăng lên 1$ thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 bóng Biết rằng nhà sản xuất sản xuất bóng đèn với chi phí là 18$ mỗi bóng Biểu diễn lợi nhuận hàng tháng của nhà sản xuất bằng một hàm theo giá bán mới,

và ước tính giá bán tối ưu nhất.

Giải:

Gọi x là giá bán mới

Lượng tiền tăng trong giá bán: x-30

Với giá bán mới, lượng bóng đèn bán ra hàng tháng sẽ giảm: 100(x-30)

Số bóng đèn bán hàng tháng theo giá bán mới: 3000-100(x-30)

Lợi nhuận mỗi bóng: x-18

Lợi nhuận thu được hàng tháng theo giá bán mới:

Vậy doanh nghiệp nên bán sản phẩm với giá nào thì lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Số lượng sản phẩm giảm xuống là: 6( 45)

2

x 

= 3x – 135 Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 60 – (3x – 135) = 195 – 3x

Lợi nhuận công ty thu được sau khi tăng giá là: (x-27) (195-3x) = 276x – 3x2 – 5265

Lợi nhuận đạt cao nhất khi x = 46

Vậy muốn đạt được lợi nhuận cao nhất thì công ty nên bán với giá 46 (ngàn đồng)

+ Ý nghĩa các tên gọi của đạo hàm về mặt kinh tế:

* Giả sử ta có 2 đại lượng kinh tế x và y liên kết với nhau theo quan hệ hàm y = f (x) Ta nóibiên tế của đại lượng y theo đại lượng x là lượng thay đổi của đại lượng y theo đại lượng x khiđại lượng x tăng lên 1 đơn vị Ký hiệu Mx (y) hoặc My(x)

* Giả sử 2 đại lượng kinh tế x và y liên kết với nhau theo quan hệ hàm y = y(x) khi ấy

Mxy = y'(x)

* Một số tên gọi:

+ Biên tế của chi phí còn được gọi là chi phí biên

+ Biên tế của lợi nhuận còn được gọi là lợi nhuận biên

+ Biên tế của doanh thu còn được gọi là doanh thu biên

II CÁC PHÉP TOÁN ĐẠO HÀM

III QUY TẮC HÀM HỢP-ĐẠO HÀM CẤP HAI- HÀM ẨN

1) Quy tắc hàm hợp: Giả sử y là một hàm khả vi theo u, và u là một hàm khả vi theo x, thì

y là một hàm hợp của x

2) Đạo hàm cấp hai của một hàm là đạo hàm của đạo hàm của nó

3) Đạo hàm hàm ẩn: Giả sử một phương trình xác định ẩn y là một hàm khả vi theo x Đểtìm dy/dx, ta thực hiện theo:

- Đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x Nhớ rằng y thực ra là một hàm của x vàdùng quy tắc hàm hợp khi đạo hàm những số hạng chứa y

- Giải phương trình đại số đạo hàm của dy/dx

IV HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT:

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

1 Hàm mũ:

a Định nghĩa : Nếu a là một số dương khác 1 (a > 0, a≠1 ), tồn tại một hàm duy nhất được gọi

là hàm mũ với cơ số a được xác định bởi f x ( )= ax, xác định với mọi số thực x

y

a a

a 

- Quy tắc chia :

x x

x(a<1)

- Quy tắc lũy thừa :   ax y= axy

- * Với

n

1 lim 1

3 Đạo hàm của hàm mũ và hàm logarit

a Đạo hàm của hàm ẩn:

Giả sử y = ( )f x cho ở dạng hàm ẩn trong biểu thức F(x,y) = 0

+ Bước 1: Từ biểu thức F(x,y) = 0 ta đạo hàm hai vế theo x với việc xem y như là hàm của xbằng cách sử dụng đạo hàm của hàm hợp

+ Bước 2: Rút y ' từ biểu thức ở bước 1 và y ' chính là đạo hàm của hàm ẩn y = f x ( )

y

x

(a<1)

* Cực đại hay cực tiểu còn được gọi là cực trị

* Định lý 1: Nếu x = a là điểm cực trị của f (x) thì f '(a) = 0

* Định lý 2: Giả sử x = a là điểm cực trị thì

+ Nếu khi x đi qua a từ trái sang phải mà f '(x) đổi dấu từ dương sang âm thì

x = a là cực đại ; f '(a) là giá trị cực đại

x A'

f (x) + 0 -

f (x)  CĐ 

+ Nếu khi x đi qua a từ trái sang phải mà f '(x) đổi dấu từ âm sang dương thì

x = a là cực tiểu ; f '(a) là giá trị cực tiểu

x A'

Xác định số tầng thực tế cần xây sao cho chi phí trung bình công ty cần chi ra là nhỏ nhất

số lượng xe mà khách hàng sẽ mua là 2000 chiếc

Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp

dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 2 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán

ra sẽ tăng thêm 800 chiếc

x 3

f ’(x) + 0 -

f (x)  CĐ 

Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện việc giảm giá, lợi nhuân thu được sẽ là cao nhất?

Giải:

Gọi x là giá bán mới của mỗi chiếc xe Lead mà doanh nghiệp phải định để lợi nhuận thu đượcsau khi giảm giá là cao nhất

Suy ra Số tiền đã giảm là: 40 – x

Số lượng xe tăng lên là: 800(40 – x)

Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 2000 + 800(40 – x) = 34000 – 800x

Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là: (34000 – 800x) x

Chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: (34000 – 800x) 27

Suy ra lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là:

L(x) = Doanh thu – Chi phí

Giả sử mỗi sản phẩm công ty sẽ bán với giá là p(q) = 180 - 3q

Hãy xác định số sản phẩm mà công ty cần sản xuất sao cho công ty thu được lợi nhuận cao nhất

Giải:

Gọi q là số sản phẩm mà công ty Chi Tùng cần sản xuất để thu được lợi nhuận cao nhất

Khi ấy nếu bán hết số sản phẩm thì doanh thu mà công ty có được là

Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại sản phẩm, biết nhu cầu và chi phí của loại sản phẩm này được xác định bởi biểu thức

2

1 5000

Trong đó, Q là số sản phẩm và P là giá bán của một sản phẩm

Hãy xác định mức thuế t cần định trên một đơn vị sản phẩm sản xuất ra sao cho thuế thu được

từ công ty là cao nhất.

Giải: Gọi Q là số sản phẩm mà doanh nghiệp cần sản xuất

3

Q   P  P   Q

Gọi t là mức thuế cần định trên một đơn vị sản phẩm sao cho thuế thu được là cao nhất

Ta có + Thuế mà doanh nghiệp phải nộp là T(t) = t.Q

+ Doanh thu mà doanh nghiệp có được là

Vậy mức thuế cần định trên một đơn vị sản phẩm sao cho thuế thu được từ doanh nghiệp caonhất là t = 6400 (đvtt)

Ta có: + Thuế mà công ty phải nộp là: T(t) = t Q = -5800t + 4Pt

+ Doanh thu mà công ty có được là:

Hãy định mức thuế t đánh trên một đơn vị sản phẩm hàng nhập khẩu để thuế thu được của công ty là cao nhất Biết rằng giá bán của 1 đơn vị sản phẩm đó trên thị trường quốc tế là P 0

Ta có: + Thuế mà công ty phải nộp là: T(t) = t Q = 8600t – 4Pt

+ Doanh thu mà công ty có được là:

Vậy doanh nghiệp nên bán sản phẩm với giá nào thì lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Giải: Gọi x là giá bán mới của 1 sản phẩm mà doanh nghiệp phải định để lợi nhuận thu được

Suy ra số tiền đã tăng là: x – 45

Số lượng sản phẩm giảm xuống là: 6( 45)

2

x 

= 3x – 135 Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 60 – (3x – 135) = 195 – 3x

Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là: (195 – 3x).x = 195x – 3x2

Chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: (195 – 3x).27 = 5265 – 81x

Suy ra lợi nhuận mà công ty đạt được là:

L(x) = Doanh thu – Chi phí



  = 1042,27 (triệu đồng)

c Theo quý: B(6) = 450.

4.6

0,145 1

8,63 18

   (triệu USD) Tuy nhiên, là một người nổi tiếng, Tiger Woods không thích trả tiền có số lẻ nên quyết định sẽ trả cho Kobe mỗi tháng là 9 (triệu USD) Liệu Kobe có nên đồng ý với phương án trả tiền này của Tiger hay không?

Mặt khác nếu theo phương án thỏa thuận thì sau 1,5 năm Kobe sẽ có được số tiền là

III Các phương pháp tính tích phân bất định:

1 Phương pháp đổi biến số:

Loại 1: Đặt x = x(t) d(x) = x’(t)dt Khi ấy  f x dx ( )   f x t x t dt  ( ) '( ) 

 , đặt x j là số được chọn từ đoạn thứ j, với j =

1,2,…,n Thì tích phân xác định của f x ( ) trên đoạn a x b   được ký hiệu bởi ( )

 về cơ bản thì giống như ký hiệu tích phân bất

định  f x dx ( ) Trong cả hai trường hợp, hàm f (x) được gọi là hàm lấy tích phân, các số a và

b tương ứng là cận trên và cận dưới của tích phân

Định lý cơ bản của phép tính tích phân: Nếu f (x) là hàm liên tục trên đoạn a x b   , thì ( ) ( ) ( )

Tại 1 công ty, giá bán P của một đơn vị sản phẩm của một mặt hàng phụ thuộc vào số lượng sản phẩm x được bán Ước tính rằng nếu x (sp) được bán ra thì tốc độ thay đổi của giá mỗi sản phẩm được tính theo công thức 214 2

24

x x

Gọi P(t) là dân số thế giới sau t năm tính từ năm 2004

Khi ấy theo đề ra ta có P t '( )  e0,001t

 C = 4,5 1000e  0,006

4,5 1000 0,001

Trong chương trình này, các cá nhân tổ chức trong và ngoài nước sẽ có dịp được chung tay góp sức giúp đỡ cho người nghèo qua hình thức nhắn tin hoặc quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp thay đổi với tốc độ 300t

e -0,1t (triệu đồng/giờ).

Hãy xác định số tiền có được sau 5 giờ đầu tiên quyên góp.

Giải:

Gọi M(t) là số tiền có được sau t (giờ) thực hiện việc quyên góp

Khi ấy theo đề ra ta có M t '( ) 300 t e0,1t

Giả sử rằng sau t năm, vốn đầu tư thứ nhất sẽ phát sinh lợi nhuận với tốc độ P t1'( ) 126   t2

(triệu đồng/năm), trong khi đó vốn đầu tư thứ hai sẽ phát sinh lợi nhuận với tốc độ

(a) Hỏi bao nhiêu năm trôi qua trước khi sự sinh ra lãi của máy bắt đầu giảm?

(b) Tính tiền lãi thực sinh ra của máy trong khoảng thời gian đã được xác định trong câu (a)

Ta có việc sinh lãi bắt đầu giảm khi

1 Định nghĩa cực trị của hàm 2 biến (Cực trị tự do)

Cho hàm 2 biến ʓ f x y ( , )có miền xác định là Df và (a,b) Df

* Ta nói f đạt giá trị cực đại tại (a,b) nếu như trong lân cận B của (a,b) ta có

( , ) ( , )

f x y  f a b , ( , ) x y  B, khi ấy ta nói (a,b) là điểm cực đại

* Ta nói f đạt giá trị cực tiểu tại (a,b) nếu như trong lân cận B của (a,b) ta có

( , ) ( , )

f x y  f a b , ( , ) x y  B, khi ấy ta nói (a,b) là điểm cực tiểu

* Nhận xét: Cực trị được định nghĩa ở trên chỉ mang tính địa phương chứ không phải là toàncục

* Định lý: Nếu (a,b) là điểm cực trị của f x y ( , )thì ta có ' ( , ) 0

' ( , ) 0

x y

Bước 4: Xét điều kiện và kết luận

+ Nếu <0 thì ( , ) x y0 0 không phải là điểm cực trị

thì ( , ) x y0 0 là điểm cực đại của f x y ( , )

3 Phương pháp xác định cực trị có điều kiện:

Bước 1: Xây dựng hàm Lagrane F x y ( , , )   f x y ( , )   ( , ) g x y

( được gọi là hệ số Lagrane)

Bước 2: Giải hệ

' ( , , ) 0 ' ( , , ) 0 ' ( , , ) 0

x y

0 0

0 0

0 ' ( , ) ' ( , )

x y

x xx xy

y xy yy

+ Nếu det(H) > 0 thì ( , ) x y0 0 là điểm cực đại cần tìm

+ Nếu det(H) < 0 thì ( , ) x y0 0 là điểm cực tiểu cần tìm

Giải:

Gọi x là số lượng sản phẩm 1 cần sản xuất và y là số lượng sản phẩm 2 cần sản xuất

Khi ấy doanh thu mà doanh nghiệp này thu được là

nên (22,18) là điểm cực đại

Vậy với số lượng chả loại 1 = 22 (kg) và chả loại 2 = 18 (kg) được sản xuất thì doanh nghiệpthu được lợi nhuận cao nhất

Ví dụ 2: Một cửa hàng may lẻ chuyên may 2 loại áo sơ mi M và S để cung cấp cho các đại lý.

Nếu áo loại M may được x(cái) thì giá bán mỗi cái sẽ là P(x) = 690 + 3x, và nếu áo loại S may được y(cái) thì giá bán mỗi cái sẽ là P(y) = 640 + 2y

Hãy xác định số lượng từng loại áo sơ mi cần may để sao cho lợi nhuận thu được của cửa hàng là cao nhất, biết rằng tổng chi phí được xác định theo biểu thức C(x,y)

Giải:

Gọi x là số lượng áo loại M cần may và y là số lượng áo loại S cần may

Khi ấy doanh thu mà doanh nghiệp này thu được là

Ví dụ 3: Một tiệm tạp hóa nhỏ chuyên kinh doanh 2 loại mặt hàng A và B Nếu mặt hàng A

được mua vào x (cái) thì giá bán mỗi mặt hàng sẽ là P(x) = 800 – 2x, và nếu mặt hàng B được mua vào y (cái) thì giá bán mỗi mặt hàng sẽ là P(y) = 820 – 2y.

Hãy xác định số lượng từng loại mặt hàng cần mua vào để sao cho lợi nhuận thu được của tiệm là cao nhất Biết rằng, giá mua vào của một mặt hàng A là 60 + y và của một mặt hàng B

là 90 + 2x

Giải:

Gọi x là số lượng mặt hàng A cần mua vào và y là số lượng mặt hàng B cần mua vào

Khi ấy + Doanh thu mà tiệm này thu được là

nên (110,100) là điểm cực đại

Vậy với số lượng mặt hàng A = 110 (cái) và mặt hàng B = 100 (cái) được mua vào thì tiệm tạphóa này sẽ thu được lợi nhuận cao nhất

Ví dụ 4: Một hộ gia đình dự định mở cửa hàng cho thuê xe đạp với 2 loại xe đạp là xe đạp đôi

và xe đạp đua Hiện tại gia đình này có 128 (triệu đồng) để mua 2 loại xe này Biết rằng giá

của một chiếc xe đạp đua là P 1 = 6 (triệu đồng) và giá của một chiếc xe đạp đôi là P 2 = 8 (triệu đồng).

Giả sử khi hộ gia dình này mua x chiếc xe đạp đua và y chiếc xe đạp đôi thì hàm tổng thời gian sử dụng của 2 loại xe này được xác định theo biểu thức T(x,y) = 2xy + 4x + 16y + 27 Xác định số lượng từng loại xe mà hộ gia đình này cần mua để sao cho hàm giá trị sử dụng



8 2 0

Vì det(H) = 192 > 0 nên A(8,10) là điểm cực đại

Vậy hộ gia đình cần mua 8 chiếc xe đạp đua và 10 chiếc xe đạp đôi để tổng thời gian sử dụngcủa 2 loại xe này là cao nhất

Ví dụ 5: Một nhà thám hiểm dự định thực hiện một chuyến đi mạo hiểm vào rừng Trước khi đi

anh ta phải chuẩn bị một số nhu yếu phẩm cho chuyến thám hiểm, trong đó lương khô và nước ngọt là 2 thứ được ưu tiên Nhà thám hiểm định dùng số tiền 160 (ngàn đồng) để mua 2 loại này Biết rằng giá của một kilogram lương khô là P 1 = 6 (ngàn đồng) và giá của một lít nước ngọt là P 2 = 5 (ngàn đồng).

Giả sử khi nhà thám hiểm mua x (kg) lương khô và y (l) nước ngọt thì hàm tổng thời gian sử dụng của 2 loại này được xác định bởi biểu thức

T(x,y) = 4xy – 50x – 35y + 149

Hãy xác định số lượng từng loại nhu yếu phẩm mà nhà thám hiểm cần mua ở trên để sao cho

hàm giá trị sử dụng là cao nhất

Giải: Gọi x là số lượng lương khô và y là số lượng nước nhà thám hiểm này cần mua.

Khi ấy ta có 160 = 6x + 5y 160 – 6x – 5y = 0

Ta có hàm Lagrane F x y ( , ,   xy  50 x  35 y  149)   (160 6  x  5 ) y

5 4 0

Vì det(H) = 240 > 0 nên B(12,5;17) là điểm cực đại

Vậy nhà thám hiểm này cần mua 12,5 (kg) lương khô và 17 (l) nước để tổng thời gian sử dụng

là cao nhất