Ma Trận Bậc Thang (Echelon Matrix) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

I. Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận:

Các phép biến đổi sau đây đối với dòng (hàng) của ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng)

1.Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ( Biến dòng ia lần dòng i), ký hiệu: $d_i \rightarrow a.d_i$ thành

2.Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu: $d_i \rightarrow d_i + a.d_j$

3. Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu: $d_i \leftrightarrow d_j$

Tương tự ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột như sau:

1.Nhân tất cả các phần tử của một cột với cùng 1 số khác 0, ( Biến cột i thành a lần cột i), ký hiệu: $c_i \rightarrow a.c_i$

2.Cộng các phần tử của một cột đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 cột khác. (Biến cột i thành cột i cộng a cột j), ký hiệu: $c_i \rightarrow c_i + a.c_j$

3. Đổi vị trí hai cột. (hoán vị cột i và cột j với nhau), ký hiệu: $c_i \leftrightarrow c_j$

Các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột được gọi chung là phép biến đổi sơ cấp.

II. Ma trận bậc thang:

2.1 Định nghĩa:

1. Một dòng (hay cột) của ma trận A được gọi là dòng không – zero row – (cột không) nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. Ngược lại, nếu dòng (cột) của ma trận A có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì nó được gọi là dòng (cột) khác không.

2. Phần tử khác không đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang) hoặc 1 cột (tính từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (pivot) của hàng đó (hoặc cột đó)

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang dòng (row-echelon matrix), nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có dòng không hoặc các dòng không của A luôn nằm phía dưới các dòng khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của dòng dưới luôn nằm ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên.

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang cột, nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có cột không hoặc các cột không của A luôn nằm phía bên phải các cột khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai cột khác không thì đối với hai cột khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của cột bên phải luôn nằm ở dưới dòng chứa phần tử cơ sở của cột bên trái.

4. Các ma trận bậc thang dòng hay cột được goi chung là ma trận bậc thang. Ma trận vừa có dạng bậc thang dòng, vừa có dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi hàng và cột luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc.

Một cách trực quan, ta sẽ thấy ma trận bậc thang dòng và ma trận bậc thang cột sẽ có dạng như sau:

Ma trận bậc thang dòng

Ma trận bậc thang cột

Ví dụ minh họa:

Xét : $A = \left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right]$

thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4.

Tuy nhiên, nếu áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng bằng cách biến đổi $d_5 \leftrightarrow d_5 - { \dfrac{1}{5}} d_4$ ta có:

$\left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right]$

Ta sẽ có được ma trận bậc thang dòng.

2.2 Định lý:

Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

52 bình luận về “Ma trận bậc thang (Echelon matrix)”

Cho phép biến đổi tuyến tính T:R³ -> R³ xác định như sau: Với mọi u=(x,y,z) € R³ ,T(u) = (2x-2y+6z ; x-y+3z ; 3x-3y+9z) a) Viết ma trận A của T đối với cơ sơ chính tắc E của R³. b) Tìm ảnh của véctơ u=(1,2,3) dựa vào ma trận A. Xin Thầy giảng giúp em cách làm bài này với. Em xin cảm ơn.

ThíchThích
Được đăng bởi huy | 04/07/2009, 18:06 Reply to this comment
- a/ A có hàng lần lượt là 2, -2, +6 1, -1, 3 3, -3,9 b/ ảnh của u chính là T(u) đó cậu Huy à. A*u = T(u) u ở đây là ma trận cộtt
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi never_back_down | 24/07/2009, 06:00 Reply to this comment
1. Ở trường ĐHCN Tp.HCM các Thày cô giáo chỉ dạy về ma trận bậc thang nói chung mà không phân biệt ma trận bậc thang dòng, ma trận bậc thang cột. Thày cô chỉ đưa ra định nghĩa: “Ma trận bậc thang là ma trận mà phần tử khác không đầu tiên của dòng trên ở cột bên trái phần tử khác không đầu tiên ở dòng dưới”. Xin hỏi đưa ra khái niệm như vậy có đúng không ạ? Nếu không đúng, xin Thày đưa ra nhận xét? 2. Về các phép biến đổi trên ma trận, Thày cô chỉ dạy biến đổi trên dòng (hàng) mà không thấy nói tới các phép biến đổi trên cột của ma trận. Như vậy có phải mâu thuẫn với bài giảng của Thày? Em xin chân thành cảm ơn những bài giảng của Thày!

ThíchThích
Được đăng bởi Bùi Văn Tiệp | 10/06/2009, 11:55 Reply to this comment
- 1. Ta cần phải xem trước đó, có quy ước gì không nữa. Ví dụ: nếu chưa học số phức, thì pt bậc 2 có delta âm sẽ vô nghiệm, nhưng nếu đã biết số phức rồi thì việc khẳng định pt bậc 2 luôn có nghiệm cũng không sai. Hay như trong ĐSTT ta biết chỉ có ma trận vuông mới có thể có ma trận nghịch đảo. Nhưng hiện giờ nếu có ai nói rằng mọi ma trận đều có thể có ma trận nghịch đảo cũng không sai vì đã có khái niệm ma trận nghịch đảo trái (ma trận nghịch đảo phải)…. Với giáo trình của ĐHBK TpHCM của nhóm tác giả Ngô Thu Lương thì do đã quy ước chỉ xét các phép biến đổi sơ cấp (pbdsc) trên dòng nên ma trận bậc thang được ngầm hiểu là ma trận bậc thang dòng. Và do đó, có định nghĩa như em đã đề cập. Có lẽ trường em dạy theo giáo trình này. Còn các khái niệm ma trận bậc thang dòng (cột) được đề cập đến trong các giáo trình Đại số tuyến tính của nhóm tác giả Lê Thị Thiên Hương; trong giáo trình Linear Algebra của tác giả David A.SANTOS được hội đồng giáo dục của bang Philadelphia (Mỹ) chọn làm giáo trình chính kể từ ngày 3 tháng 3 năm 2004. Em có thể xem hình ảnh ma trận bậc thang cột: $\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ \end{array} \right)$ Em có thể tìm kiếm thêm thông tin bằng cách tìm kiếm với từ khóa : “row-echelon form” “column-echelon form” 2. Vì các phép biến đổi sơ cấp (pbdsc) trên dòng (hàng) và các pbdsc trên cột là tương đương (chỉ có thuật toán tìm ma trận nghịch đảo là hơi khác, còn việc giải hpt chỉ dùng pbdsc trên dòng) nên rất có thể khi bắt đầu học giáo viên đã quy ước chỉ nói đến pbdsc trên dòng.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 13/06/2009, 17:58 Reply to this comment
Thầy ơi cho em hỏi: ý nghĩa của hạng ma trận và hạng hệ véctơ là gi? Có những dạng bài tập chính nào về hạng ma trận, hạng véctơ? Thầy nêu vắn tất phương pháp giải cho em nhe thay? Em cảm ơn thầy nhiều lắm.

ThíchThích
Được đăng bởi ĐINH HOÀI PHƯƠNG | 17/03/2009, 19:19 Reply to this comment
- bọn mình học hạng vec tơ có rât nhiều ý nghĩa. nhưng theo mình thì cái quan trọng nhất là để giải hệ phương trình.hệ phương trình chúng thường giải thường sử dụng ma trận vuông. nhưng khi số hệ ít hơn só nghiệm ( hoạc ngược lại) thì dùng đến định nghĩa ma trận nghich đảo trái và phải. khi đó ý nghĩa rank rất quan trọng
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi never_back_down | 24/07/2009, 06:09 Reply to this comment
trang web này hay quá mà hồi giờ ko thấy, mà nó của ai vậy

ThíchThích
Được đăng bởi yourhoney | 10/02/2009, 23:00 Reply to this comment
“Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)”. Nói thế thì có những ma trận ko chuyển về dc dạng bậc thang đúng ko ạ? Thầy có thể đưa ra 1 VD cụ thể dc ko? Cảm ơn thầy nhiều!

ThíchThích
Được đăng bởi Thơm | 31/12/2008, 23:23 Reply to this comment
- Em chú ý “Mọi ma trận có thể…” điều này có nghĩa là tất cả các ma trận đều đưa về dang ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Do đó, không thể có: “nói như thế thì có những ma trận ko chuyển về dạng bậc thang” như em nghĩ được.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 01/01/2009, 17:13 Reply to this comment
Em không biết nguyên tắc thực hiện các phép biến đổi để đưa 1 ma trận bất kỳ về dạng bậc thang, em làm thì khác lời giải của thầy và của sách, mặc dù em vẫn dùng các phép biến đổi ma trận. Em mong Thầy giải thích, chỉ dẫn giúp em cách biến đổi.

ThíchThích
Được đăng bởi dang chi bao | 12/12/2008, 16:19 Reply to this comment
- có rất nhiều cách để đưa về ma trận bậc thang. nhưng kết quả cuối cùng thì tích của các phần tử trên đường chéo của all các phương pháp đều bằng nhau
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi never_back_down | 24/07/2009, 06:12 Reply to this comment
thưa thầy, thấy co thế post cho em một ít lý thuyết về dạng toàn phương không ạ,.

ThíchThích
Được đăng bởi ngoc phu | 05/12/2008, 19:35 Reply to this comment
- dạng toàn phương là dạng j vậy cậu?
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi never_back_down | 24/07/2009, 06:13 Reply to this comment
thua thay cho em hoi ve cach tinh cac bai toan ma tran tre may tinh ah.

ThíchThích
Được đăng bởi sang | 19/11/2008, 13:14 Reply to this comment
em thưa thầy, thầy có thể post một số vài về không gian vectơ không ạ,nhất là những bài về hạng vecto và cách làm những bài tập chứng minh về hạng của hệ vectơ ạ.Em xin cảm ơn

ThíchThích
Được đăng bởi Hà | 04/11/2008, 09:18 Reply to this comment
Em khong hieu ve bac thang toi gian,cach dua ma tran bac 2 ve dang thu gon.Thay lam on chi em voi

ThíchThích
Được đăng bởi Phong | 02/10/2008, 09:27 Reply to this comment
Bài viết chưa xong em à. Bữa giờ, bận quá, không có thời gian post bài. Thầy sẽ cố gắng đưa lên sớm

ThíchThích
Được đăng bởi 2Bo02B | 25/09/2008, 12:38 Reply to this comment
thưa thầy, thầy có viết thêm về ma trận dạng bậc thang tối giản không ạ? cảm ơn thầy

ThíchThích
Được đăng bởi panda | 25/09/2008, 10:31 Reply to this comment