Mạch RLC Có L, C Hoặc F Thay đổi - Hoc24

1. Bài toán

• Đây là dạng toán cực trị trong điện xoay chiều, cũng tương tự các bài toán về R thay đổi.
• Bài toán: Một trong các đại lượng L, C, hoặc ω thay đổi (đại lượng X) ⇒ Giá trị điện áp, dòng điện, công suất thay đổi (giá trị Y). Ta cần tìm X để Y đạt cực trị.
• Phương pháp chung:
  • Biểu diễn Y theo X: \(Y=F\left(X\right)\)(*)
  • Đánh giá biểu thức (*) theo các phương pháp đại số đã biết
  • Thường dùng các đánh giá sau:
    • Dùng bất đẳng thức: \(A^2\ge0\)
    • Dùng bất đẳng thức cô si: với a, b là hai số dương thì: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
    • Dùng đạo hàm: Hàm số (*) đạt cực trị khi \(F'\left(X\right)=0\)
• Ngoài ra ta có thể dùng giản đồ véc tơ, áp dụng định lí hàm số sin, cos để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng.

2. L, C hoặc f thay đổi để dòng điện, công suất cực đại

• Khi L, C hoặc f thay đổi thì có một điểm chung là \(\left(Z_L-Z_C\right)\) thay đổi.
• Mà \(I=\frac{U}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}}\), nên khi một trong các đại lượng L, C, hoặc f thay đổi thì cường độ dòng hiệu dụng đạt cực đại khi \(\boxed{Z_L=Z_C}\)(xảy ra hiện tượng cộng hưởng)
  • Ở đây biến \(X=\left(Z_L-Z_C\right)\), biến \(Y=I\)
• Hệ quả:
  • Công suất: \(P=I^2R\), \(I_{max}\Rightarrow P_{max}\)
  • \(U_R=I.R\), \(I_{max}\Rightarrow U_{Rmax}\)
  • Ngoài ra, L thay đổi để \(U_{Cmax}\) hoặc C thay đổi để \(U_{Lmax}\) cũng hoàn toàn tương tự như trên.

3. L thay đổi để UL max

• Bài toán: Mạch RLC có L thay đổi, tìm L để ULmax.
• Hoc24 sẽ hướng dẫn bạn để tìm ra kết quả theo phương pháp ở trên, như sau:
  • Biểu diễn UL theo ZL: \(U_L=I.Z_L=\frac{U.Z_L}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}}\)(Biến \(X=Z_L\), \(Y=U_L\))
  • Đánh giá: \(\Rightarrow U_L=\frac{U.Z_L}{\sqrt{R^2+Z_L^2-2.Z_LZ_C+Z_C^2}}=\frac{U}{\sqrt{\frac{R^2+Z_C^2}{Z_L^2}-\frac{2Z_C}{Z_L}+1}}\)
    • Đặt \(t=\frac{1}{Z_L}\)\(\Rightarrow U_L=\frac{U}{\sqrt{\left(R^2+Z_C^2\right)t^2-2Z_Ct+1}}\)​
    • \(U_L\) max khi \(\left(R^2+Z_C^2\right)t^2-2Z_Ct+1\) min, theo tính chất hàm bậc 2, hoặc lấy đạo hàm ta được: \(t=\frac{Z_C}{R^2+Z_C^2}\)
    • \(\Rightarrow Z_L=\frac{R^2+Z_C^2}{Z_C}\)[1], từ đó ta tìm được: \(U_{Lmax}=U\frac{\sqrt{R^2+Z_C^2}}{R}\)[2]
    • Ngoài ta ta có thể dùng giản đồ véc tơ để đánh giá.
  • Hệ quả: Từ [1] ta suy ra: \(Z_LZ_C=R^2+Z_C^2\)\(\Rightarrow Z_C\left(Z_L-Z_C\right)=R^2\)\(\Rightarrow\frac{Z_L-Z_C}{R}.\frac{-Z_C}{R}=-1\)\(\Rightarrow\tan\varphi_u.\tan\varphi_{RC}=-1\)\(\Rightarrow u\) vuông pha với \(u_{RC}\)
  • Kết luận: C thay đổi để UC max thì
    • \( \boxed{Z_L=\frac{R^2+Z_C^2}{Z_C}}\)
    • \(\boxed{U_{Lmax}=U\frac{\sqrt{R^2+Z_C^2}}{R}}\)
    • Hệ quả: \(\boxed{u\perp u_{RC}}\)
    • Giản đồ véc tơ: i U U U RC L R U → → → → →
      • Từ giản đồ véc tơ ở trên, bạn hãy tự rút ra các mối liên hệ khác nhé :)

4. C thay đổi để UC max

• Mạch RLC có C thay đổi, tìm C để UCmax.
• Bài toán này giống bài toán ở trên, bạn hãy tự biến đổi nhé, hoc24 đưa ra các kết quả tương tự như sau:
  • \( \boxed{Z_C=\frac{R^2+Z_L^2}{Z_L}}\)
  • \(\boxed{U_{Cmax}=U\frac{\sqrt{R^2+Z_L^2}}{R}}\)
  • Hệ quả: \(\boxed{u\perp u_{RL}}\)

5. Tần số thay đổi

• Bài toán: Mạch RLC có tần số f (hoặc ω) thay đổi. Tìm điều kiện để \(U_L\)max, \(U_C\)max.
• Cách làm cũng tương tự như trên, nhưng có phức tạp hơn chút xíu, bạn tự biến đổi nhé. Hoc24 đưa ra các kết quả như sau:
  • Đặt \(X=\sqrt{\dfrac{L}{C}-\dfrac{R^2}{2}}\)[1]
  • Để \(U_{Lmax}\) thì: \(\boxed{\omega_L=\dfrac{1}{X.C}}\)
    • \(\boxed{U_{Lmax}=\dfrac{2.UL}{R\sqrt{4LC-R^2C^2}}}\)
    • Hệ quả:
      • \(\tan\varphi_{RC}.\tan\varphi_{mạch}=-\dfrac{1}{2}\)
      • \(Z_C^2=Z^2+Z_L^2\)
  • Để \(U_{Cmax}\) thì: \(\boxed{\omega_C=\dfrac{X}{L}}\)
    • \(\boxed{U_{Cmax}=U_{Lmax}=\dfrac{2.UL}{R\sqrt{4LC-R^2C^2}}}\)
    • Hệ quả:
      • \(\tan\varphi_{RL}.\tan\varphi_{mạch}=-\dfrac{1}{2}\)
      • \(Z_L^2=Z^2+Z_C^2\)
  • Lưu ý:
    • Để \(U_L,U_C\)có cực trị thì [1] phải có nghĩa, hay \(2L>CR^2\)(giả thiết bài toán sẽ cho điều này)
    • \(\omega\) thay đổi để \(U_R\) max thì: \(\omega_R=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\), khi đó:
      • \(\omega_C < \omega_R <\omega_L\)
      • \(\omega_R^2=\omega_C.\omega_L\)

6. Bài tập ví dụ

• Bài 1, Bài 2, Bài 3, Bài 4, Bài 5, Bài 6
• Hỏi đáp, trao đổi