MẸO NHỚ SỐ ĐỈNH, CẠNH, MẶT CỦA 5 KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU LOẠI {p

Khái niệm khối đa diện đều

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:

        ● Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.

        ● Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng p mặt.

Khối đa diện đều như vậy người ta gọi là khối đa diện đều loại {p;q}.

Nhận xét:

        ● Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.

Định lí.

Chỉ có đúng 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3;3} – tứ diện đều; loại {4;3} – khối lập phương; loại {3;4} – khối bát diện đều; loại {5;3} – khối 12 mặt đều; loại {3;5} – khối 20 mặt đều.

Tên gọi

Người ta gọi tên khối đa diện đều theo số mặt của chúng với cú pháp khối + số mặt + mặt đều.

Thay vì nhớ số Đỉnh, Cạnh, Mặt của khối đa diện đều như bảng dưới đây:

 

Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Các em có thể dùng cách ghi nhớ sau đây:

* Số mặt gắn liền với tên gọi là khối đa diện đều

* Hai đẳng thức liên quan đến số đỉnh, cạnh và mặt

       ● Tổng số đỉnh có thể có được tính theo 3 cách là qD = 2C = pM.

       ● Hệ thức euleur có D + M = C + 2.

Kí hiệu Đ, C, M lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện đều

       (1) Tứ diện đều loại {3;3} vậy M = 4 và 3Đ = 2C = 3M = 12

       (2) Lập phương loại {4;3} có M = 6 và 3Đ = 2C = 4M = 24

       (3) Bát diện đều loại {3;4} vậy M = 8 và 4Đ = 2C = 3M = 24

       (4) 12 mặt đều (thập nhị đều) loại {5;3} vậy M = 12 và 3Đ = 2C = 5M = 60

       (5) 20 mặt đều (nhị thập đều) loại {3;5} vậy M = 20 và 5Đ = 2C = 3M = 60

 

1. Khối đa diện đều loại {3;3} (khối tứ diện đều)

• Mỗi mặt là một tam giác đều

• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 mặt

• Có số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là D = 4, M = 4, C = 6.

• Diện tích tất cả các mặt của khối tứ diện đều cạnh \[a\] là \[S=4\left( \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\sqrt{3}{{a}^{2}}.\]

• Thể tích của khối tứ diện đều cạnh \[a\] là \[V=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.\]

• Gồm 6 mặt phẳng đối xứng (mặt phẳng trung trực của mỗi cạnh); 3 trục đối xứng (đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối diện)

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp \[R=\frac{a\sqrt{6}}{4}.\]

 

2. Khối đa diện đều loại {3;4} (khối bát diện đều hay khối tám mặt đều)

• Mỗi mặt là một tam giác đều

• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 4 mặt

• Có số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là \[D=6,M=8,C=12.\]

• Diện tích tất cả các mặt của khối bát diện đều cạnh \[a\] là \[S=2\sqrt{3}{{a}^{2}}.\]

• Gồm 9 mặt phẳng đối xứng

• Thể tích khối bát diện đều cạnh \[a\] là \[V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.\]

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\]

 

3. Khối đa diện đều loại {4;3} (khối lập phương)

•  Mỗi mặt là một hình vuông

• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt

• Số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là \[D=8,M=6,C=12.\]

• Diện tích của tất cả các mặt khối lập phương là \[S=6{{a}^{2}}.\]

• Gồm 9 mặt phẳng đối xứng

• Thể tích khối lập phương cạnh \[a\] là \[V={{a}^{3}}.\]

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\]

 

4. Khối đa diện đều loại {5;3} (khối thập nhị diện đều hay khối 12 mặt đều)

• Mỗi mặt là một ngũ giác đều 

• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba mặt

• Số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là \[D=20,M=12,C=30.\]

• Diện tích của tất cả các mặt khối 12 mặt đều là \[S=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}{{a}^{2}}.\]

• Gồm 15 mặt phẳng đối xứng

• Thể tích khối 12 mặt đều cạnh \[a\] là \[V=\frac{{{a}^{3}}\left( 15+7\sqrt{5} \right)}{4}.\]

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{a\left( \sqrt{15}+\sqrt{3} \right)}{4}.\]

 

5. Khối đa diện đều loại {3;5} (khối nhị thập diện đều hay khối hai mươi mặt đều)

• Mỗi mặt là một tam giác đều

• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 5 mặt

• Số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là \[D=12,M=20,C=30.\]

• Diện tích của tất cả các mặt khối 20 mặt đều là \[S=5\sqrt{3}{{a}^{2}}.\]

• Gồm 15 mặt phẳng đối xứng

• Thể tích khối 20 mặt đều cạnh \[a\] là \[V=\frac{5\left( 3+\sqrt{5} \right){{a}^{3}}}{12}.\]

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{a\left( \sqrt{10}+2\sqrt{5} \right)}{4}.\]

 

 

 

 

 

 

 

Bài viết gợi ý:

1. Phương trình logarit

2. Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 3

3. Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và công thức tính nhanh cho các trường hợp đặc biệt nên nhớ

4. Công thức tính nhanh các bài toán hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxyz

5. Căn bậc hai số phức và phương trình bậc hai

6. Mở đầu về số phức.

7. Một số bài toán vận dụng cao liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số