MIN MAX CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI - CaolacVC

Min max chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán min max chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng bài toán vận dụng, vận dụng cao trong trong chương 1 của chương trình 12

Bài toán tổng quát. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[a;b]$. Tìm min, max của hàm số $y=|f(x)|$ trên $[a;b]$

Phương pháp 1. Giả sử $m, M$ là GTNN và GTLN của hàm số $f(x)$ trên $[a;b]$. Khi đó $$\max_{[a;b]}|f(x)|=\max\{|m|, |M|\}$$

$$\min_{[a;b]}|f(x)|=\begin{cases}m \ (m>0)\\0 \ (m<0<M)\\-M \ (M<0)\end{cases}$$

Phương pháp 2. Giả sử $m, M$ là GTNN và GTLN của hàm số $f(x)$ trên $[a;b]$

Ta xét các trường hợp

Nếu $mM\le 0\Rightarrow \begin{cases}\displaystyle \min_{[a;b]}|f(x)|=0\\ \displaystyle \max_{[a;b]}|f(x)|=\max \{|m|,|M|\}\end{cases}$

Nếu $m>0\Rightarrow \begin{cases}\displaystyle \min_{[a;b]}|f(x)|=m\\ \displaystyle \max_{[a;b]}|f(x)|=M\end{cases}$

Nếu $M<0 \Rightarrow \begin{cases}\displaystyle \min_{[a;b]}|f(x)|=-M\\ \displaystyle \max_{[a;b]}|f(x)|=-m\end{cases}$

Phương pháp 3. Công thức tính nhanh

$$\max_{[a;b]}|f(x)|=\frac{|m+M|+|m-M|}{2}$$

$$\min_{[a;b]}|f(x)|=\begin{cases}0 \ \text{nếu}\ mM\le 0\\ \dfrac{|m+M|-|m-M|}{2}\ \text{nếu}\ mM>0\end{cases}$$

Dạng 1. Tìm tham số để $\displaystyle \min_{[a;b]}|f(x)|\le k (\ge k)$ hoặc $\displaystyle \max_{[a;b]}|f(x)|\le k (\ge k)$

Ví dụ 1. Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho GTLN của hàm số $f(x)=|x^3-3x+m|$ trên đoạn $[0;3]$ bằng $16$. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$

Giải.

Đặt $g(x)=x^3-3x+m$. Ta tìm được

$$\min_{[0;3]}g(x)=m-2$$

$$\max_{[0;3]}g(x)=m+18$$

Khi đó $\displaystyle\max_{[0;3]}f(x)=\max_{[0;3]}|g(x)|=\max \{|m-2|,|m+18|\}$

Trường hợp 1. $$\begin{cases}|m-2|=16\\|m-2|\ge |m+18|\end{cases}\Leftrightarrow m=-14$$

Trường hợp 2. $$\begin{cases}|m+18|=16\\|m+18|\ge|m-2|\end{cases}\Leftrightarrow m=-2$$

Suy ra $S=\{-14;-2\}$. Tổng tất cả các phần tử của $S$ là $-16$.

Ví dụ 2. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-m \right|$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ bằng $2$. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$

Giải.

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-m$

Khi đó $\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-m+8$ và $\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-m-1$

TH1. $\displaystyle\left( -m-1 \right)\left( -m+8 \right)\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 8$ thì $\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=0$, không thỏa mãn đề bài

TH2. $\left( -m-1 \right)\left( -m+8 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m8 \\ \end{matrix} \right.$, khi đó

$\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\frac{\left| \left( -m+8 \right)+\left( -m-1 \right) \right|-\left| \left( -m+8 \right)-\left( -m-1 \right) \right|}{2}$

$\displaystyle\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\frac{\left| -2m+7 \right|-9}{2}$

YCBT $\displaystyle\Leftrightarrow \frac{\left| -2m+7 \right|-9}{2}=2\Leftrightarrow \left| -2m+7 \right|=13\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} -2m+7=13 \\ -2m+7=-13 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=-3 \\ m=10 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $S=\left\{ -3;10 \right\}$, suy ra tổng các phần tử của $S=7$

Dạng 2. Tìm tham số để $\displaystyle\alpha\min_{[a;b]}|f(x)|\pm\beta\max_{[a;b]}|f(x)|\le k (\ge k)$

Ví dụ. Cho hàm số $y=x^3-3x+m$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho $\displaystyle\min_{[0;2]}|y|+\max_{[0;2]}|y|=6$.

Giải.

Ta tìm được

$$\min_{[0;2]} y=m-2$$

$$\max_{[0;2]} y=m+2$$

Trường hợp 1. Nếu $(m-2)(m+2)\le 0$ hay $-2\le m\le 2$ thì

$$\min_{[0;2]}|y|=0$$

$$\max_{[0;2]}|y|=\{|m-2|,|m+2|\}$$

Suy ra

$$\min_{[0;2]}|y|+\max_{[0;2]}|y|=6\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}|m-2|=6\\|m-2|\ge |m+2|\end{cases} \\ \begin{cases}|m+2|=6\\|m+2|\ge |m-2|\end{cases}\end{array}\right.\Leftrightarrow m=\pm 4 \ (\text{loại})$$

Trường hợp 2. Nếu $(m-2)(m+2)>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m<-2\\m>2\end{array}\right.$ thì áp dụng công thức tính nhanh ta được

$$\begin{cases}\displaystyle\min_{[0;2]}|y|=|m|-2\\ \displaystyle\max_{[0;2]}|y|=|m|+2\end{cases}$$

Suy ra

$$\min_{[0;2]}|y|+\max_{[0;2]}|y|=6\Leftrightarrow |m|=3\Leftrightarrow m=\pm 3\ (\text{thỏa})$$

Vậy có $2$ số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 3. Tìm tham số để GTLN của hàm số $y=|f(x)+g(m)|$ trên đoạn $[a;b]$ đạt GTNN.

Ghi nhớ.

$\max\{\alpha,\beta\}\ge \dfrac{\alpha+\beta}{2}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha=\beta$

$|\alpha|+|\beta|\ge |\alpha+\beta|$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha,\beta$ cùng dấu, tức là $\alpha\beta\ge 0$

Ví dụ. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y=|x^2+2x+m-4|$ trên đoạn $[-2;1]$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số $m$ bằng bao nhiêu?