Mở Rộng Công Thức Vectơ Về Trọng Tâm Tam Giác Và ứng Dụng - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (9 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Tư liệu khác

Mở rộng công thức vectơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (263.79 KB, 9 trang )

Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 1MỞ RỘNG CÔNG THỨC VECTƠ VỀTRỌNG TÂM TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Văn Thiết GV trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên HuếI. CÔNG THỨC MỞ RỘNG Trong SGK Hình Học lớp 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục năm 2006, trang 20 cóBài toán 2 như sau:Bài toán 2: (SGK) Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có 3MG MA MB MC      (a) Như đã quy ước, ta ký hiệu: BC = a, CA = b, AB = c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. G, H lần lượt là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. I, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Bây giờ, bình phương vô hướng hai vế của công thức (a) ta được: 2 2 2 29 2 . 2 . 2 .MG MA MB MC MA MB MB MC MC MA           (a’)Áp dụng kết quả sau: Với mọi vectơu, vta có: 2 2 21.2u v u v u v        Ta được: 2 2 2 2 2 22 .MA MB MA MB AB MA MB c       2 2 2 2 2 22 .MB MC MB MC BC MB MC a       2 2 2 2 2 22 .MC MA MC MA CA MC MA b      Khi đó công thức (a’) trở thành: 2 2 2 2 2 2 29 3MG MA MB MC a b c     Từ đó ta được hai định lí sau là sự mở rộng của Bài toán 2 ở trên:Định lí 1: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với điểm M bất kì ta có 2 2 2 2 2 2 29 3MG MA MB MC a b c      (i)Định lí 2: Với mọi tam giác ABC và với mọi điểm M ta luôn có bất đẳng thức:  2 2 2 2 2 213MA MB MC a b c     (ii)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tiếp theo chúng ta xem ứng dụng của các công thức (i) và (ii) như thế nào?II. ÁP DỤNG1) Trong bất đẳng thức (ii) khi cho M trùng với trực tâm H ta được:Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 2  2 2 2 2 2 213HA HB HC a b c     (1)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H trùng với trọng tâm G hay tam giác ABC đều.2) Trong bất đẳng thức (ii) khi cho M trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta được:  2 2 2 2 2 213OA OB OC a b c     hay  2 2 2 2 2 213R R R a b c     Suy ra  2 2 2 219R a b c   (2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi O trùng với trọng tâm G hay tam giác ABC đều.Áp dụng định lí SIN ta có a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC thì bất đẳng thức (2) trở thành:  2 2 2 2 2 2 214 sin 4 sin 4 sin9R R A R B R C   Hay 2 2 29sin sin sin4A B C   (3) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.3) Trong bất đẳng thức (ii) khi cho M trùng với tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta được 2 2 2 2 2 213IA IB IC a b c     (4) Vì sin2rIAA nên 22 2 221 cot2sin2r AIA rA     Tương tự, ta có: 2 2 21 cot2BIB r     2 2 21 cot2CIC r     Khi đó bất đẳng thức (4) trở thành:  2 2 2 2 2 2 213 cot cot cot2 2 2 3A B Cr a b c         Hay 2 2 22 2 223 cot cot cot2 2 2 3A B C a b cr     (5) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I trùng với trọng tâm G hay tam giác ABC đều.rrrICBAMở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 34) Trong công thức (i) khi cho M trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 29 3 9OG OA OB OC a b c R a b c         Suy ra  2 2 2 2 219OG R a b c    (6)Sau đây là các kết quả khá thú vị và đẹp mắt:Ta đã biết rằng trong tam giác nhọn ABC luôn có bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 2a b ca b c h h h    vớiah, bh, chlần lượt là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Vậy thì hiệu 2 2 2 2 2 2a b ca b c h h h     bằng bao nhiêu?Ta có các bài toán sau:III. VÀI BÀI TOÁN THÚ VỊBài toán 1: G là trọng tâm của tam giác nhọn ABC và D, E, F lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C, ta có đẳng thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 23a b ca b c h h h GD GE GF        FEDCBA Lời giải:Trong công thức (i) cho M trùng với điểm D ta được: 2 2 2 2 2 2 29 3GD DA DB DC a b c      2 2 2 2 2 2 2 23DA AB DA AC DA a b c        2 2 2 2 2 23AB AC DA a b c      2 2 2 2 2 23ac b h a b c     Tương tự, khi cho M lần lượt trùng với các điểm E và F ta được: 2 2 2 2 2 2 29 3bGE a c h a b c      2 2 2 2 2 2 29 3cGF b a h a b c     Cộng ba đẳng thức trên vế theo vế:Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 4 2 2 2 2 2 2 2 2 29 3a b cGD GE GF a b c h h h         Hay 2 2 2 2 2 2 2 2 23a b cGD GE GF a b c h h h       Bài toán 2: Đường tròn ( O; R) ngoại tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC, cácđiểm A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua tâm O. Khi đó ta có: a) 2 2 2 2 2 2 2' ' ' 4 cos cos cosA G B G C G R A B C     b) 2 2 2 2' ' ' 3A G B G C G R   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Lời giải: OC 'B 'A 'CBAa) Trong công thức (i) cho M trùng với điểm A’ ta được: 2 2 2 2 2 2 29 ' 3 ' ' 'A G A A A B A C a b c      Vì tam giác ABA’ vuông góc ở B nên ta có: ' ' cosAA'B 2 cosA B A A R C  Và tam giác AA’C vuông góc ở C nên: ' ' cosAA'C 2 cosA C A A R B Khi đó ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 29 ' 3 4 4 cos 4 cosA G R R C R B a b c      2 2 2 2 2 212 1 cos cosR C B a b c     Tương tự, khi cho M lần lượt trùng với các điểm B’ và C’ ta được: 2 2 2 2 2 2 29 ' 12 1 cos cosB G R C A a b c      2 2 2 2 2 2 29 ' 12 1 cos cosC G R A B a b c     Cộng ba đẳng thức trên vế theo vế ta được:2 2 2 2 2 2 2 2 2 29 ' ' ' 12 3 2cos 2cos 2cos 3A G B G C G R A B C a b c        Hay 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 ' ' ' 4 3 2cos 2cos 2cosA G B G C G R A B C a b c        Áp dụng định lí SIN ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 sin sin sin 4 3 cos cos cosa b c R A B C R A B C        Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 5Khi đó ta có:2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 ' ' ' 4 3 2cos 2cos 2cos 4 3 cos cos cosA G B G C G R A B C R A B C          2 2 2 212 cos cos cosR A B C  Vậy: 2 2 2 2 2 2 2' ' ' 4 cos cos cosA G B G C G R A B C    b) Từ bất đẳng thức (3) ta có: 2 2 29sin sin sin4A B C  2 2 23cos cos cos4A B C    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.Theo kết quả câu a) ta có:  2 2 2 2 2 2 2 2 23' ' ' 4 cos cos cos 4 . 34A G B G C G R A B C R R       Vậy: 2 2 2 2' ' ' 3A G B G C G R   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.Bài toán 3: Các đường phân giác trong của các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại D, E, F và G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có: a)  22 2 2 233 2 cos cos cos2DG EG FG R A B C           2 2 221 1 12 cos cos cos 3 cos cos cos2 2 2R A B C A B C                            b) 2 2 2 22 cos cos cosDG EG FG R A B C     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Lời giải: OIFEDCBAa) Trong công thức (i) cho M trùng với điểm D ta được: 2 2 2 2 2 2 29 3DG DA DB DC a b c      (*)Xét tam giác ABD ta có:Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 6 2 sin 2 sin2ADA R ABD R B     Xét tam giác ACD ta có: 2 sin 2 sin2ADA R ACD R C     Từ đó ta có:2 2 sin sin 2 2sin .cos 4 cos2 2 2 2 2A A A B C B C B CDA R B C R R                          Suy ra 2 cos2B CDA R  2 2 2 2 21 cos4 cos 4 . 2 1 cos2 2B CB CDA R R R B C        Và 2 sin2ADB DC R Suy ra  2 2 2 2 2 21 cos4 sin 4 . 2 1 cos2 2A ADB DC R R R A    Do đó ta có 2 2 2 22 1 cos 1 cos 1 cosDA DB DC R B C A A            22 3 cos cos cosR B C B C A         22 3 2cos .cos cosR B C A  Thế vào công thức (*) ta được 2 2 2 2 29 6 3 2cos .cos cosDG R B C A a b c     Tương tự, khi cho M trùng với E, F ta được 2 2 2 2 29 6 3 2cos .cos cosEG R C A B a b c      2 2 2 2 29 6 3 2cos .cos cosFG R A B C a b c     Cộng ba đẳng thức sau cùng này vế theo vế, ta được2 2 2 29 6 9 2cos .cos 2cos .cos 2cos .cosDG EG FG R A B B C C A       2 2 2 26 cos cos cos 3R A B C a b c     Hay2 2 2 23 2 9 2cos .cos 2cos .cos 2cos .cosDG EG FG R A B B C C A       2 2 2 22 cos cos cosR A B C a b c     2 22 9 2cos .cos 2cos .cos 2cos .cos 2 cos cos cosR A B B C C A R A B C        2 2 2 24 3 cos cos cosR A B C   22 3 2cos .cos 2cos .cos 2cos .cos cos cos cosR A B B C C A A B C           2 2 2 24 cos cos cosR A B C  Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 7  22 2 2 22 3 cos cos cos cos cos cos cos cos cosR A B C A B C A B C             22 2 2 23 32 cos cos cos cos cos cos 2 cos cos cos4 2R A B C A B C A B C                 2232 cos cos cos2R A B C         2 2 221 1 12 cos cos cos 3 cos cos cos2 2 2R A B C A B C                           b) Theo kết quả câu a) ta có 22 2 2 233 2 cos cos cos2DG EG FG R A B C           2 2 22 21 1 12 cos cos cos 6 cos cos cos2 2 2R A B C R A B C                           Suy ra 2 2 2 23 6 cos cos cosDG EG FG R A B C    Hay 2 2 2 22 cos cos cosDG EG FG R A B C    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta có 03cos cos cos2601cos cos cos2A B CA B CA B C        Tam giác ABC đềuBài toán 4: Các đường phân giác trong AD, BE, CF của tam giác ABC cắt các cạnh đối diệnlần lượt tại D, E, F và G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có: a)       2 2 2 2 2 22 2 23 2a b ca b cDG EG FG l l l abcb c c a a b             trong đó, ,a b cl l llần lượt là độ dài các đường phân giác trong AD, BE, CF. b)    2 2 2 2 2 2 2 2 21 13 6a b cDG EG FG l l l a b c        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Lời giải:a) Trong công thức (i) khi cho M trùng với điểm D ta được: 2 2 2 2 2 2 29 3DG DA DB DC a b c      (**)Mặt khác, theo tính chất đường phân giác, ta có DB AB cDC AC b Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 8Suy ra DB DC DB DC BC ac b c b b c b c      FEDCBA Hay acDBb c , abDCb cTừ đó ta có:       2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2a aa c a b aDA DB DC l l b cb c b c b c             222 2 22 222 1a aa bcl b c bc l ab c b c               22 222aa bcl ab c  Khi đó công thức (**) trở thành:   22 2 2 2 2 2229 3aa bcDG l a a b cb c         Tương tự, trong công thức (i) khi cho M lần lượt trùng với các điểm E, F ta được   22 2 2 2 2 2229 3bab cEG l b a b ca c            22 2 2 2 2 2229 3cabcFG l c a b ca b         Cộng ba đẳng thức sau cùng vế theo vế ta được        2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 29 3a b ca bc ab c abcDG EG FG l l l a b cb c a c a b                  2 2 23a b c         2 2 22 2 23 6a b ca b cl l l abcb c a c a b           Mở rộng công thức vec-tơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết – trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, T.T- Huế 9Vậy       2 2 2 2 2 22 2 23 2a b ca b cDG EG FG l l l abcb c a c a b             b) Theo kết quả câu a) ta có       2 2 2 2 2 22 2 23 2a b ca b cDG EG FG l l l abcb c a c a b                   2 2 2 2 2 22 2 22 2 2. . .a b cbc ac abl l l a b cb c a c a b       Áp dụng bất đẳng thức sau: với hai số dương x và y ta có  22 12xyx y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.Ta được      2 2 2 2 2 2 2 2 2132a b cDG EG FG l l l a b c       Vậy    2 2 2 2 2 2 2 2 21 13 6a b cDG EG FG l l l a b c        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC đều. Chú thích: Bài viết này đã được đăng ở Tập San Giáo Dục Đào tạo Thừa Thiên Huế, liên tục hai số tháng 5.2008 và tháng 9.2008 Sở Giáo Dục & Đào Tạo Thừa Thiên Huế. Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

Tài liệu liên quan

• Một số vấn đề công nghệ then chốt trong hệ thống WDM và ứng dụng của hệ thống WDM
  • 83
  • 657
  • 0
• bdt tam giác và ứng dụng
  • 10
  • 703
  • 2
• Ôn Thi ĐH - Các BĐT Lượng giác trong tam giác và Ứng dụng
  • 75
  • 2
  • 19
• Một số dạng bất đẳng thức cơ bản trong tam giác và các ứng dụng
  • 26
  • 2
  • 0
• SKKN Bất đẳng thức trong tam giác và ứng dụng.doc
  • 13
  • 2
  • 52
• Định lý farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo và ứng dụng
  • 16
  • 272
  • 1
• Bài giảng Hình học 10 chương 2 bài 3 Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
  • 16
  • 875
  • 0
• Các bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác và ứng dụng
  • 95
  • 853
  • 0
• Tiểu luận môn CÔNG NGHỆ TRI THỨC VÀ ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG MÔ HÌNH TRI THỨC CHO CÁC NGHIỆP VỤ QUẢN LÝ VÀ ỨNG DỤNG
  • 24
  • 394
  • 0
• Các đẳng thức BDT lượng trong tam giác
  • 1
  • 724
  • 7

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(263.79 KB - 9 trang) - Mở rộng công thức vectơ về trọng tâm tam giác và ứng dụng Tải bản đầy đủ ngay ×