Một đa Giác Lồi 20 Cạnh Có Bao Nhiêu đường Chéo

Bài 2 Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp SBT Toán lớp 11. Giải bài 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 trang 67. Câu 2.9: Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ?; Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ?

Bài 2.9: Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ?

Đầu tiên coi các quả là khác nhau. Do vậy có 9! cách chia.

Nhưng các quả cùng loại (táo, cam, chuối) là giống nhau nên nếu các cháu có cùng loại quả đổi cho nhau thì vẫn chỉ là một cách chia. Vì vậy, số cách chia là:

$${{9!} \over {4!3!2!}} = 1260$$

Có thể giải theo các cách như sau:

Chọn 4 trong 9 cháu để phát táo. Có \(C_9^4\) cách.

Chọn 3 trong 5 cháu còn lại để phát cam. Có \(C_5^3\) cách.

Chuối sẽ phát cho 2 cháu còn lại.

Vậy có \(C_9^4.C_5^3 = 1260\) cách.

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 2.10: Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ ?

Kí hiệu X là tập hợp các đoàn đại biểu.A, B lần lượt là tập các đoàn đại biểu gồm toàn nam và toàn nữ.

Theo bài ra ta cần tìm:

\(n\left[ {X\backslash \left( {A \cup B} \right)} \right] = n\left( X \right) – n\left( {A \cup B} \right)\)

\(= n\left( X \right) – n\left( A \right) – n\left( B \right)\)

Advertisements (Quảng cáo)

Ta có: \(n\left( X \right) = C_9^4,{\rm{ }}n\left( A \right) = C_5^4,{\rm{ }}n\left( B \right) = C_4^4\)

Vậy \(n\left[ {X\backslash \left( {A \cup B} \right)} \right] = C_9^4 – C_5^4 – C_4^4 = 120\)

Bài 2.11: Từ tập hợp gồm 10 điểm nằm trên một đường tròn :

a)      Vẽ được bao nhiêu tam giác ?

b)      Vẽ được bao nhiêu đa giác ?

a)      Cứ ba điểm vẽ được 1 tam giác.Vì vậy có thể vẽ được \(C_{10}^3 = 120\) tam giác.

b)      Số đa giác vẽ được là tổng cộng của số tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, thập giác.

Do đó vẽ được \(C_{10}^3 + C_{10}^4 + C_{10}^5 + C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{10}^8 + C_{10}^9 + C_{10}^{10} = 968\) đa giác.

Bài 2.12: Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ?

Số đoạn nối hai đỉnh của đa giác đã cho là \(C_{20}^2.\)

Số cạnh của đa giác là 20.

Vậy số đường chéo là \(C_{20}^2 – 20 = 170.\)