Một Số Bài Toán Cực Trị Của Các Hàm Số Lượng Giác

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Một số bài toán cực trị của các hàm số lượng giác

VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Bất đẳng thức Côsi:

14 trang

ngochoa2017 Lượt xem

11314

2 Download Bạn đang xem tài liệu "Một số bài toán cực trị của các hàm số lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênVề bài toán cực trị của các hàm số lượng giác I. Kiến thức cơ bản: 1. Bất đẳng thức Côsi: +) Với mọi ta có: . +) Với mọi a, b>0 ta có: . Dấu bằng ở các BĐT trên xảy ra khi và chỉ khi a = b. BĐT được phát biểu tương tự cho n số. 2. Bất đẳng thức Bunhiacôpsky: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi . 3. BĐT chứa giá trị tuyệt đối: +) Với mọi a,b ta có: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi . +) Với mọi a,b ta có: . Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi . 4. Các tính chất cơ bản của hàm số lượng giác 4.1. Các hệ thức cơ bản 4.2. Các công thức biến đổi, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc 4.3. Các tính chất khác: * : * . * . * Điều kiện cần và đủ để phương trình asinx+ bcosx =c có nghiệm là * . Nếu tanx > 0 thì ; nếu tanx < 0 thì II. Các bài toán thường gặp Phần 1. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: a. y=3+5sinx b. c. d. e. Lời giải: a. Do nên . Vậy maxy=8, miny=-2. b. Do . c. Do nên . d. Ta có . Do nên . e. Sử dụng công thức hạ bậc ta được: . Do nên . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: a. y= 3sinx- 4cosx b. c. d. e. y= Lời giải: a. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky ta được: . Vậy maxy=5, khi . Minx= -5, khi b. Ta có y= 40cosx+ 9sinx. Suy ra maxy=41, miny=-41. c. áp dụng công thức hạ bậc ta được . Suy ra . d. Do nên đẳng thức đã cho tương đương với (1). Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là . Vậy maxy= , miny= . e. Sử dụng công thức cộng cung ta được . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: a. b. c. Lời giải: a. Ta có . Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi x=0. Vậy maxy=1. áp dụng bổ đề (dễ dàng chứng minh bằng qui nạp). Ta được: . Đẳng thức xảy ra khi x=. Vậy miny= . b. Ta có . y=1, chẳng hạn khi x=0, y= - 1, chẳng hạn khi x= . Vậy maxy=1, miny= -1. c. Tương tự câu b) ta có maxy=1 khi x=0, miny=-1 khi x=. Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của: a. b. Lời giải: a. Ta có . Do đó: . Dấu bằng xảy ra khi sin2x= 0 hay cox2x =0, tức là . Vậy maxy= 10. b. Đặt sinx= t, với , ta có . Do nên: Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên lại tađược . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy . Bài 5. Cho và . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpsky ta có: Đặt (1), với , ta có Đặt với thì (1) trở thành Bảng biến thiên của g(t) : t 0 1 g(t) 1 3 Vậy giá trị lớn nhất của g(t) là , đạt được khi tức là f(x) đạt giá trị lớn nhất là , tương ứng với . Do đó hay , tức là . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc Vậy và Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Lời giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpsky cho hai bộ số và ta được: Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy Cách 2: Đặt thì và Dễ thấy, để xác định giá trị lớn nhất của f(x) chỉ cần xét các giá trị của x để . Khi đó xét hàm số trên , ta có Ta thấy khi và khi . Vậy g(t) đạt giá trị lớn nhất (trùng với giá trị cực đại) tại và . Suy giá trị lớn nhất của f(x) bằng 6 khi . Phần 2. Lượng giác hoá các bài toán nhờ việc đặt ẩn phụ Thông thường, bằng cách đặt ẩn mới, một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể đưa về dạng lượng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi nhờ các công thức và bất đẳng thức lượng giác quen thuộc. 1. Một số kinh nghiệm về việc đặt ẩn phụ - Nếu thì đặt hoặc . - Nếu thì đặt hoặc . - Nếu thì đặt và. - Nếu thì đặt và. - Nếu thì . Khi đó đặt và. - Nếu thì đặt hay . 2. Một số ví dụ điển hình Bài 7. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của a) b) Lời giải: a) Do nên đặt , với , ta có: . Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi x = 1. Vậy maxy = 1. b) Với cách đặt như trên ta có: . Suy ra . Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi x = 0. Vậy maxy = 1. Bài 8. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của , với . Lời giải: Vì nên đặt . Khi đó Đẳng thức xảy ra khi . Vậy . Bài 9. Cho các số thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Lời giải: Vì nên có thể đặt ; nên có thể đặt . Khi đó . Suy ra . Do đó . Đẳng thức xảy ra khi . Vậy . Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Lời giải: (1) (2) Ta có . Xét hệ Để ý các công thức ta suy ra Mặt khác nên nếu chọn thì cả (1) và (2) được thoả mãn, tức là dấu bẳng ở bbất đẳng thức xảy ra. Vậy . Bài 11. Trong các nghiệm của phương trình Hãy tìm nghiệm sao cho x + y là lớn nhất. Lời giải: Bất phương trình đã cho tương đương với hai hệ (I) (II) Xét hệ (I) ta có: Đặt Với . Thay vào (2) ta được . Do đó . Vậy x + y đạt giá trị lớn nhất khi và , tức là khi và , lúc đó x + y = 2. Mặt khác, với mọi nghiệm bất kì ở hệ (II) ta đều có x + y <1 nên ta đI đến kết luận: giá trị lớn nhất của x + y, trong đó là nghiệm của bất phương trình đã cho là 2, đạt được khi Bài 12. Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải: Để tìm giá trị lớn nhất của M, ta chỉ cần xét các giá trị dương x, y, z. Vì nên ta có thể đặt với Khi đó Vì nên (1) Dấu bằng xảy ra khi Biến đổi (1) dưới dạng Dấu bằng xảy ra khi , tức là Vậy . Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trong đó a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 1. Lời giải: Ta có Đặt Để ý rằng suy ra Do đó và với . Vậy Mặt khác . Vậy . Đẳng thức xảy ra khi tức là . Phần 3. Một số bài toán cực trị hình học đưa về bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác. Bài 14. Gọi V và S lần lượt là thể tích và diện tích xung quanh của một hình nón tròn xoay. Chứng minh rằng: Lời giải: Gọi là góc hợp bởi trục của hình nón và một đường sinh bất kì của hình nón; r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, h là đường cao và l là độ dài đường sinh của hình nón. Ta có . Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Do nên . Vậy: . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số , , ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Bài 15. Cho đường tròn bán kính bằng 1, A là một điểm cố định trên đường tròn. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A lấy điểm T sao cho AT = 1. Một đường thẳng quay quanh T cắt đường tròn tại B và C. Xác định vị trí của để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Lời giải: Ta có AT = R = 1. Đặt ta có (khi quay quanh T). Khi đó: . Mà (theo tính chất của tiếp tuyến) nên Hạ ta có . áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC ta có . Vậy áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABT ta có Ta có , . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Hay . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy , đạt được khi Bài 16. Cho tứ diện vuông OABC đỉnh O. Đặt OA = a, OB = b, OC = c . M là một điểm tuỳ ý trong đáy ABC. Gọi d là khoảng cách từ các điểm A, B, C xuống đường thẳng DM. Chứng minh . Lời giải: Đặt , ta có: . Vì góc tam diện đỉnh O là vuông nên ta luôn dựng được một hình hộp chữ nhật có OM là đường chéo, còn OA, OB, OC là phương của các cạnh bên. Khi đó: Do nên (1) Mặt khác (2). Từ (1) và (2) ta có (3) Lại do (4) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng trong (3) và (4), tức là , hay M trùng C. Bài 17. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai cạnh AD và CD sao cho . Chứng minh rằng Lời giải: Đặt . Ta có: Do Vậy từ (1) suy ra: hay . Khi đó M trùng D, N trùng C hoặc M trùng A, N trùng D. . Khi đó M trùng E, N trùng F, trong đó E và F lần lượt là chân đường phân giác của các góc và . Phần 4. ứng dụng vào việc giải các phương trình lượng giác Bài 18. Giải phương trình Lời giải: Do nên Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ Bài 19. Giải phương trình Lời giải: Theo kết quả bài 6 ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Mặt khác Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ Tập nghiệm của phương trình đã cho là phần 5. một số bài toán khác Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Đề thi vào Học viện quan hệ quốc tế) Bài 2. Cho n số . Tìm giá trị lớn nhất của Bài 3. Cho 4 số thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của Bài 4. Cho . Tìm k để giá trị lớn nhất của đạt nhỏ nhất. Bài 5. Cho là 13 số thực phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại hai số sao cho . Bài 6. Giải các phương trình sau a) b) --------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tài liệu đính kèm:

Mot so bai toan cuc tri cua cac HSLG.doc

Tài liệu liên quan

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Lê Văn Lục – THPT Đoàn Thượng
Lượt xem: 1077 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích lớp 12 tiết 31: Luyện tập
Lượt xem: 1376 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích lớp 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Lượt xem: 813 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích 12 bài: Số phức (2 tiết )
Lượt xem: 953 Lượt tải: 0
Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học”
Lượt xem: 1798 Lượt tải: 0
Ôn tập: khảo sát chất lượng đầu năm Toán 12
Lượt xem: 2535 Lượt tải: 1
Giáo án Giải tích 12 - Tiết 9 - Tuần 9: Khảo sát hàm số
Lượt xem: 1095 Lượt tải: 0
Bài tập Bất phương trình - Bất phương trình mũ
Lượt xem: 1662 Lượt tải: 0
Chuyên đề Phương trình & bất phương trình hệ chứa căn thức
Lượt xem: 2033 Lượt tải: 0
Giáo án Tự chọn Toán 12 tiết 3-5: Ôn tâp diện tích và tính chất một số hình phẳng quan hệ song song và vuông góc trong không gian
Lượt xem: 1166 Lượt tải: 0