Một Số Bài Toán Về Giới Hạn Dãy Số

Có thể bạn quan tâm

Ví dụ 1. Cho dãy $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right)$ được xác định : $\88dpi {{x}_{1}}=1,{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}+2n-1,\forall n\ge 1$ . Tìm $\88dpi \lim \frac{{{x}_{n}}}{{{n}^{2}}}$

Lời giải. Ta có $\88dpi {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}+\left( 2n-1 \right),\forall n\ge 1\text{ }\left( 1 \right)$

Trong (1) thay $\88dpi n$ bằng $\88dpi n-1,n-2,...,2,1$ ta có :

$\88dpi \begin{matrix} & {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}=\frac{1}{{{2}^{n-1}}}+2\left( n-1 \right)-1 \\ & {{x}_{n-1}}-{{x}_{n-2}}=\frac{1}{{{2}^{n-2}}}+2\left( n-2 \right)-1 \\ & ............................................ \\ & {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=\frac{1}{2}+2.1-1 \\ \end{matrix}$

Cộng các đẳng thức ta được: $\88dpi {{x}_{n}}={{x}_{1}}+\sum\limits_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{{{2}^{i}}}}+\sum\limits_{i=1}^{n-1}{\left( 2i-1 \right)};\forall n\ge 2$

Mặt khác theo công thức tính tổng n số hạng đầu của CSC và CSN ta có:

$\88dpi \sum\limits_{i=1}^{n-1}{\left( 2i-1 \right)}=\frac{n-1}{2}\left[ 1+\left( 2n-3 \right) \right]={{\left( n-1 \right)}^{2}}$

và $\88dpi \sum\limits_{i=1}^{n-1}{\frac{1}{{{2}^{i}}}}=\frac{1}{2}.\frac{1-\frac{1}{{{2}^{n-1}}}}{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{{{2}^{n-1}}}$ .

Suy ra

$\88dpi {{x}_{n}}=1+\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)+{{\left( n-1 \right)}^{2}}={{n}^{2}}-2n+3-\frac{1}{{{2}^{n-1}}},\forall n\ge 2$ .

Do đó $\88dpi \lim \frac{{{x}_{n}}}{{{n}^{2}}}=\frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2. Cho dãy số thực {xn} xác định bởi

$\88dpi {{x}_{0}}=1,\ {{x}_{n+1}}=2+\sqrt{{{x}_{n}}}-2\sqrt{1+\sqrt{{{x}_{n}}}}$ với mọi n Î N.

Ta xác định dãy {yn} bởi công thức $\88dpi {{y}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{2}^{i}},\quad \forall n\in {{N}^{*}}.}$ Tìm $\88dpi \lim \frac{{{y}_{n}}}{{{2}^{n}}}$ .

Lời giải. Ta có : $\88dpi {{x}_{n+1}}=2+\sqrt{{{x}_{n}}}-2\sqrt{1+\sqrt{{{x}_{n}}}}={{(\sqrt{1+\sqrt{{{x}_{n}}}}-1)}^{2}}$

Từ đó tính được:

$\88dpi {{x}_{1}}={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}},\ {{x}_{2}}={{\left( \sqrt{\sqrt{2}}-1 \right)}^{2}},...,\ {{x}_{n}}={{\left( {{2}^{1/{{2}^{n}}}}-1 \right)}^{2}}$

Ta viết

$\88dpi \begin{matrix} & {{x}_{1}}=1+2-2\sqrt{2}, \\ & {{x}_{2}}=1+\sqrt{2}-{{2.2}^{1/4}} \\ & {{x}_{3}}=1+{{2}^{1/4}}-{{2.2.}^{1/8}} \\ & ... \\ & {{x}_{n}}=1+{{2}^{1/{{2}^{n-1}}}}-{{2.2}^{1/{{2}^{n}}}} \\ \end{matrix}$

Suy ra $\88dpi {{y}_{n}}=2+4+...+{{2}^{n}}+4-{{2}^{n+1}}{{.2}^{1/{{2}^{n}}}}={{2}^{n+1}}(1-{{2}^{1/{{2}^{n}}}})+2$ .

Do đó $\88dpi \lim \frac{{{y}_{n}}}{{{2}^{n}}}=0$ .

Ví dụ 3. Cho của dãy số $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right)$ xác định bởi công thức:

$\88dpi {{x}_{1}}=2015,{{x}_{n+1}}=\left( 1-\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}} \right){{x}_{n}}+\frac{2014}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}};\forall n\ge 1$ .

Tìm $\88dpi \lim {{x}_{n}}$ .

Lời giải.

Ta có $\88dpi {{x}_{n+1}}-2014={{x}_{n}}-2014-\frac{{{x}_{n}}-2014}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}};\forall n\ge 1$

Đặt $\88dpi {{y}_{n}}={{y}_{n}}-2014$

$\88dpi \Rightarrow {{y}_{1}}=1,{{y}_{n+1}}={{y}_{n}}-\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{{y}_{n}}=\left( 1-\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}} \right){{y}_{n}},\forall n\ge 1$ .

Hay $\88dpi {{y}_{n+1}}=\frac{\left( n+2 \right)n}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{{y}_{n}},\forall n\ge 1$ (1)

Trong (1) thay n bằng $\88dpi n-1,n-2,...,2,1$ ta được:

$\88dpi \begin{matrix} & {{y}_{n}}=\frac{\left( n+1 \right)\left( n-1 \right)}{{{n}^{2}}}{{y}_{n-1}} \\ & {{y}_{n-1}}=\frac{n\left( n-2 \right)}{{{\left( n-1 \right)}^{2}}}{{y}_{n-2}} \\ & ............................. \\ & {{y}_{2}}\text{ }=\text{ }\frac{3.1}{{{2}^{2}}}{{y}_{1}} \\ \end{matrix}$

Nhân theo vế các đẳng thức trên rồi giản ước các số hạng bằng nhau ở hai vế, ta được: $\88dpi {{y}_{n}}=\frac{\left( n+1 \right)\left( n-1 \right)}{{{n}^{2}}}.\frac{n\left( n-2 \right)}{{{\left( n-1 \right)}^{2}}}.....\frac{3.1}{{{2}^{2}}}{{y}_{1}}=\frac{n+1}{2n},\forall n\ge 2\text{ }\left( 2 \right)$

Dĩ nhiên (2) cũng đúng với $\88dpi n=1$ .

Do đó $\88dpi {{y}_{n}}=\frac{n+1}{2n},\forall n\ge 1\Rightarrow {{x}_{n}}={{y}_{n}}+2014=\frac{4029n+1}{2n},\forall n\ge 1$ .

Vậy $\88dpi \lim {{x}_{n}}=\frac{4029}{2}$ .

Ví dụ 4. Cho dãy số $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right)$ xác định bởi công thức:

$\88dpi {{x}_{1}}=1$ , $\88dpi {{x}_{n+1}}=\sqrt{x_{n}^{2}+\frac{2n+1}{{{3}^{n}}}},\forall n\ge 1$ .

Tính $\88dpi \lim {{x}_{n}}$ .

Lời giải.

Ta có $\88dpi {{x}_{n+1}}=\sqrt{x_{n}^{2}+\frac{2n+1}{{{3}^{n}}}},\forall n\ge 1\Leftrightarrow x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}=\frac{2n+1}{{{3}^{n}}},\forall n\ge 1\text{ }\left( * \right)$

Trong (1) thay n bằng $\88dpi n-1,n-2,...,2,1$ ta được:

$\88dpi x_{n}^{2}-x_{n-1}^{2}=\frac{2\left( n-1 \right)+1}{{{3}^{n-1}}}$

$\88dpi x_{n-1}^{2}-x_{n-2}^{2}=\frac{2\left( n-2 \right)+1}{{{3}^{n-2}}}$

…………………………

$\88dpi x_{2}^{2}-x_{1}^{2}=\frac{2.1+1}{{{3}^{1}}}$

Cộng các đẳng thức trên rồi giản ước các số hạng bằng nhau ở hai vế, ta được:

$\88dpi x_{n}^{2}=x_{1}^{2}+\sum\limits_{i=2}^{n-1}{\frac{2i+1}{{{3}^{i}}}}=1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}{\frac{2i+1}{{{3}^{i}}}}$ . Đặt $\88dpi S=\sum\limits_{i=1}^{n-1}{\frac{2i+1}{{{3}^{i}}}}$

$\88dpi \frac{2}{3}S=S-\frac{1}{3}S=\sum\limits_{i=1}^{n-1}{\frac{2i+1}{{{3}^{i}}}}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}{\frac{2i+1}{{{3}^{i+1}}}}$

$\88dpi =1-\frac{2n-1}{{{3}^{n}}}+2\left( \sum\limits_{i=2}^{n-2}{\frac{1}{{{3}^{i+1}}}} \right)\Rightarrow S=2-\frac{n+1}{{{3}^{n-1}}}$

$\88dpi \Rightarrow x_{n}^{2}=3-\frac{n+1}{{{3}^{n-1}}}\Rightarrow {{x}_{n}}=\sqrt{3-\frac{n+1}{{{3}^{n-1}}}},\forall n\ge 1$

Ta có

$\88dpi {{3}^{n}}={{\left( 1+2 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}}4C_{n}^{2}=2n\left( n-1 \right),\forall n\ge 2$ $\88dpi \Rightarrow 0 \frac{n+1}{{{3}^{n}}} \frac{n+1}{2n\left( n-1 \right)},\forall n\ge 2$ .

Mặt khác $\88dpi \lim \frac{n+1}{2n\left( n-1 \right)}=0\Rightarrow \lim \frac{n+1}{{{3}^{n}}}=0$ .Từ đó suy ra $\88dpi \lim {{x}_{n}}=\sqrt{3}$ .

Ví dụ 5. Cho $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right):{{x}_{1}}=\frac{5}{2},{{x}_{n+1}}=\sqrt{x_{n}^{3}-12{{x}_{n}}+\frac{20n+21}{n+1}},n=1,2,...$ Chứng minh $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tính gới hạn đó.

Lời giải.

+) Ta chứng minh $\88dpi {{x}_{n}}2,\forall n\in \mathbb{N}*$ bằng qui nạp theo $\88dpi n$ (*)

Ta có $\88dpi n=1,{{x}_{1}}=\frac{5}{2}2$ nên (*) đúng khi $\88dpi n=1$ .

Giả sử $\88dpi {{x}_{n}}2$ .

Khi đó : $\88dpi {{x}_{n+1}}2\Leftrightarrow x_{n+1}^{2}4\Leftrightarrow x_{n}^{3}-12{{x}_{n}}+\frac{20n+21}{n+1}4$ $\88dpi \Leftrightarrow x_{n}^{3}-12{{x}_{n}}+16+\frac{1}{n+1}0$

$\88dpi \Leftrightarrow \left( {{x}_{n}}+4 \right){{\left( {{x}_{n}}-2 \right)}^{2}}+\frac{1}{n+1}0$ ( BĐT này đúng).

+) Ta chứng minh $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right)$ giảm theo qui nạp.

Giả sử $\88dpi 2 {{x}_{n}} {{x}_{n-1}} ... {{x}_{1}}=\frac{5}{2}$ .

Ta sẽ chứng minh

$\88dpi {{x}_{n+1}} {{x}_{n}}\Leftrightarrow x_{n+1}^{2} x_{n}^{2}$

$\88dpi \Leftrightarrow x_{n}^{3}-12{{x}_{n}}+\frac{20n+21}{n+1} x_{n-1}^{3}-12{{x}_{n-1}}+\frac{20n+1}{n}$

$\88dpi \Leftrightarrow \left( {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} \right)\left( x_{n}^{2}+{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}+x_{n-1}^{2}-12 \right)-\frac{1}{n\left( n+1 \right)} 0$

( BĐT đúng vì $\88dpi {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} 0,{{x}_{n}}2,{{x}_{n-1}}2$ )

Dãy $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right)$ giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên có giới hạn $\88dpi \operatorname{l}\text{im}{{\text{x}}_{n}}=a\left( 2\le a \frac{5}{2} \right)$ .

Chuyển qua giới hạn từ hệ thức truy hồi , ta được

$\88dpi a=\sqrt{{{a}^{2}}-12a+20}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & a=2 \\ & a=\frac{-1\pm \sqrt{41}}{2}\left( l \right) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right)$ có giới hạn hưỡ hạn và $\88dpi \lim {{x}_{n}}=2$ .

Ví dụ 6. Cho $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right)$ xác định bởi $\88dpi {{x}_{1}}=1,{{x}_{n+1}}=\frac{x_{n}^{2}+4{{x}_{n}}+1}{x_{n}^{2}+{{x}_{n}}+1};n\ge 1$ . Chứng minh $\88dpi \left( {{x}_{n}} \right)$ có gới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải. Dễ thấy $\88dpi {{x}_{n}}0,\forall n$ ,

và $\88dpi {{x}_{n+1}}=1+\frac{3{{x}_{n}}}{x_{n}^{2}+{{x}_{n}}+1}=2-\frac{{{\left( {{x}_{n}}-1 \right)}^{2}}}{x_{n}^{2}+{{x}_{n}}+1}\Rightarrow {{x}_{n}}\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2],\forall n$ .

Xét $\88dpi f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+4x+1}{{{x}^{2}}+x+1};x\in \left[ 1;2 \right]$

$\88dpi \Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3\left( 1-{{x}^{2}} \right)}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}\le 0;\forall x\in \left[ 1;2 \right]$ ( $\88dpi f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$ )

nên hàm số nghịch biến trên $\88dpi \left[ 1;2 \right]$ .

Ta thấy $\88dpi {{x}_{1}} {{x}_{3}}$ nên $\88dpi \left( {{x}_{2n+1}} \right)$ tăng và bị chặn trên bởi 2 , còn $\88dpi \left( {{x}_{2n}} \right)$ giảm và bị chặn dưới bởi 1. Do đó chúng có giới hạn hữu hạn.

Giả sử $\88dpi \lim {{x}_{2n}}=a,\lim {{x}_{2n+1}}=b;a,b\in \left[ 1;2 \right]$ ; ta có hệ $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & a=f\left( b \right) \\ & b=f\left( a \right) \\ \end{matrix} \right.$ .

$\88dpi \Rightarrow \left( a-b \right)\left[ 1-\frac{3(ab-1)}{\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\left( {{b}^{2}}+b+1 \right)} \right]=0$

$\88dpi \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & a=b \\ & \left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\left( {{b}^{2}}+b+1 \right)=3\left( ab-1 \right)\left( 2 \right) \\ \end{matrix} \right.$

Do $\88dpi a,b\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow 3\left( ab-1 \right)\le 9\le \left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\left( {{b}^{2}}+b+1 \right)$ nên $\88dpi \left( 2 \right)\Leftrightarrow a=b=1$ ( loại)