Một Số Công Thức Tính Bán Kính Mặt Cầu Lớp 12 - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (8 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

Một số công thức tính bán kính mặt cầu lớp 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (358.89 KB, 8 trang )

Trần Lê QuyềnTrần Lê Quyền1 — CasiotuduyMột số công thức tính bán kính mặt cầu25–04–2017Nhận xét 1. Xét hình chóp S.ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O vàbán kính Rd . Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , ta có các trường hợpsau:(1) Nếu SA⊥(ABC) thìSA2+ Rd24R=(1)(2) Nếu SA = SB = SC thìR=SA22SO(3) Nếu (SAB)⊥(ABC) và bán kính đường tròn ngoại tiếpR=d(O, AB)2 + Rb2 .(2)SAB bằng Rb thì(3)Chứng minh. (1) và (2) đơn giản. (3) Gọi I là tâm mặt cầungoại tiếp hình chóp S.ABC và K là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác SAB . Ta có IO⊥(ABC) và IK⊥(SAB). Xét tamgiác IAK , ta cóIA =Để ý rằng OIIK 2 + AK 2 =d(O, AB)2 + Rb 2 .(SAB) nên IK = d(O, (SAB)) = d(O, AB).Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a, BC = 2a.√Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 3. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếphình chóp S.ABC .Giải. Để áp dụng (1), chỉ cần tính được bán kính đáy Rd . Vì đáy là tam giác vuông tại B nênRd =BC2=√a 52 .Vậy bán kính cần tìm bằngSA24√+ Rd2 = a 2.Ví dụ 2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a.Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho1 Nhậnluyện thi theo nhóm khu vực Q6, TP.HCM 0122667843510122 667 8435Trần Lê QuyềnGiải. Mặt cầu đã cho cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A .ABC , nên với A A⊥(ABC) tacó thể áp dụngA A2+ Rd2 =4R=a2 +2a√32√a 21=.328πa2.3Diện tích mặt cầu là 4πR2 =Ví dụ 3. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết rằng OA = a, OB =b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .Giải. Ta có AO⊥(OBC) nên có có thể áp dụng (1),1OA2+ Rd2 =42R=OA2 + OB 2 + OC 2 .Công thức này cho phép xây dựng một số bài toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông.Chẳng hạnBT 1. Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA, OB, OC đôi mộtvuông góc và 2OA + OB + OC = 3. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABClà√3 3C.8√2B.2√6A.4D.34BT 2. Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz ,đặt OC = 1; các điểm AB , thay đổi trên OxOy , sao cho OA + OB = OC . Tìm giá trị bénhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .√6A.3B.√√√6C.46D.62Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =2a√.3Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.BCD.Giải. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC , ta có SH⊥(ABC).Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD bằng AH = √a3 .Trong khi ta có DH = 2AH , thế nên H thuộc đường tròn ngoạitiếp tam giác BCD. Vậy có thể áp dụng (1),R=√SH 2a 212+ Rd =.46Như vậy, có thể ‘nới rộng’ điều kiện áp dụng của (1), đó là khi hình chiếu của đỉnh S20122 667 8435Trần Lê Quyền‘rơi’ trên đường tròn ngoại tiếp đáy.Ví dụ 5. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnhbằng a.Giải. Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằnga. Vì các hình chóp S.ABCD và S.ABC có cùng mặt cầu ngoại tiếpnên với SA = SB = SC ta có thể áp dụng (2) để cóR=Ta có SO =√SA2 − OA2 =thể tích khối cầu bằng 43 πR3 =SA22SOa2 −a22√πa3 23 .=√a2suy ra R =√a .2VậyVí dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Hình chiếu của đỉnhS lên mặt đáy trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Biết rằng bánkính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 23 . Tính thể tích khối chóp.Giải. Vì S cách đều A, B, C nên có thể áp dụng (2). Ta có các liên hệ1SA2 = SO +322SA=2SO3Giải hệ này thu được SO = 1, vậy thể tích khối chóp đã cho là√312 .Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giácSAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với (SAC) mộtgóc 30◦ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .Giải. Áp dụng (3), ta cần tính bán kính Rb của đường tròn ngoại tiếpSAB và d(O, AB) với O là trung điểm của BC . Vì SAB đều nêncó ngay Rb = √13 (cho a = 1).Gọi H là trung điểm cạnh AB , theogiả thiết ta có SH⊥(ABC). Dễ√3có d(B, (SAC)) = 2d(H, (SAC)) = 2 và√d(B; (SAC)) = BC sin 30◦ ⇒ BC = 3.√√1Từ đây suy ra AC = 2 và do đó d(O; AB) = AC2 = 2 . Vậy bán kínhcần tìmR=5.6Rb2 + d(O, AB)2 =Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AC = a. Mặt bênSAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm30122 667 8435Trần Lê Quyềncủa cạnh BC và E là điểm đối xứng của D qua A. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp S.ABE .√a 21A.6a32a3B. √C. √D.a2Giải. Gọi H là trung điểm của cạnh AB , vì (SAB)⊥(ABC) nên tacó SH⊥(ABC). Đối với hình chóp S.ABE , ta có thể áp dụng (3),Rb2 + d(O, (AB))2 .R=• Với O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EAB , tuy nhiênkhông cần thiết xác định vị trí của O, vì ta cóAB 2=d(O, AB)2 = Rd2 −4√a 522−a= a.4• Rb là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB , tức làRb = √a3 .Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE là2a√.3Như vậy trong tình huống khó xác định được vị trí của tâm O, ta có thể dùng (2) dướidạng (2’) như sau:R=Rb2 + Rc2 −AB 2.4Ví dụ 9. Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, CD = a và (ABC)⊥(ABD).Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a.√a 3A.6B.a22a3C. √a3D. √Giải. Vì (ABC)⊥(ABD) nên ta có DH⊥(ABC) với H là trung điểmcủa cạnh AB . Vì D cách đều A, B, C nên H trùng với tâm O của đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC , tức là d(O, AB) = 0. Như vậy trongtrường hợp này, (3) trở thành R = Rb = √a3 .Nhận xét 2. Cho hình chóp S.ABC , đường tròn nội tiếp đáy ABC có tâm I , bán kínhrd , SI⊥(ABC) và SI = h. Khi đó, bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC thỏamãn 0 < r