Một Số định Lý Hình Học Nổi Tiếng Và áp Dụng

Tài liệu đại học Toggle navigation

• Miễn phí (current)
• Danh mục
  • Khoa học kỹ thuật
  • Công nghệ thông tin
  • Kinh tế, Tài chính, Kế toán
  • Văn hóa, Xã hội
  • Ngoại ngữ
  • Văn học, Báo chí
  • Kiến trúc, xây dựng
  • Sư phạm
  • Khoa học Tự nhiên
  • Luật
  • Y Dược, Công nghệ thực phẩm
  • Nông Lâm Thủy sản
  • Ôn thi Đại học, THPT
  • Đại cương
  • Tài liệu khác
  • Luận văn tổng hợp
  • Nông Lâm
  • Nông nghiệp
  • Luận văn luận án
  • Văn mẫu
• Luận văn tổng hợp

1. Home
2. Luận văn tổng hợp
3. Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng

Trich dan Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng - Pdf 10

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCVŨ VĂN ĐỨCMỘT SỐ ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNGVÀ ÁP DỤNGChuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤPMã số: 60.46.40LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn NgọcThái Nguyên - 2011Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnCông trình được hoàn thành tạiTrường Đại học Khoa học - Đại học Thái NguyênNgười hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn NgọcPhản biện 1: GS. TSKH. Hà Huy Khoái - Viện Toán học.Phản biện 2: PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn - Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên.Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái NguyênNgày 09 tháng 09 năm 2011Có thể tìm hiểu tạiThư viện Đại học Thái NguyênSố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1Mục lụcMở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Chương 1. Tam giác 81.1. Kí hiệu và hệ thức cơ bản trong tam giác . . . . . . . . . 81.2. Định lý Thales và định lý Pythagoras . . . . . . . . . . 81.2.1. Định lý Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Định lý Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2. Tứ giác ngoại tiếp đường tròn . . . . . . . . . . . 502.3.3. Tứ giác đồng thời nội và ngoại tiếp . . . . . . . . 552.3.4. Tứ giác với những đường chéo vuông góc . . . . . 562.4. Công thức diện tích của tứ giác . . . . . . . . . . . . . . 572.4.1. Công thức diện tích của tứ giác nội tiếp . . . . . 572.4.2. Công thức diện tích của tứ giác ngoại tiếp . . . . 582.4.3. Công thức diện tích của tứ giác đồng thời nội tiếpvà ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.4. Công thức diện tích của tứ giác lồi bất kỳ . . . . 592.5. Tứ giác điều hoà và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.1. Hàng điểm điều hoà . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.2. Tứ giác điều hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.3. Tính chất của tứ giác điều hoà . . . . . . . . . . 612.5.4. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Chương 3. Các đường thẳng đồng quy 673.1. Định lý Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2. Một số mở rộng của định lý Ceva trong mặt phẳng . . . 683.2.1. Định lý Ceva dạng sin . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.2. Mở rộng định lý Ceva trong mặt phẳng . . . . . . 693.3. Mở rộng định lý Ceva trong không gian . . . . . . . . . . 713.3.1. Định lý Ceva trong không gian . . . . . . . . . . 713.3.2. Hệ quả của định lý Ceva trong không gian . . . . 723.4. Các điểm đặc biệt trong tam giác . . . . . . . . . . . . . 733.4.1. Các điểm đặc biệt quen biết . . . . . . . . . . . . 73Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn33.4.2. Một số điểm đặc biệt khác . . . . . . . . . . . . . 733.5. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Chương 4. Các điểm thẳng hàng 834.1. Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.8. Định lý Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.9. Định lý Pascal và Định lý Newton . . . . . . . . . . . . . 1155.9.1. Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.9.2. Định lý Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.10. Định lý The’bault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5Mở đầuCác định lý Thales (Talet), Pythagoras (Pitago), định lý về đườngphân giác, định lý đường trung tuyến, định lý hàm số cosin, định lý hàmsố sin là những định lý cơ bản của hình học phẳng đã được giới thiệutrong sách giáo khoa hình học bậc phổ thông ở hầu hết các quốc gia.Nhiều tính chất đẹp và quan trọng khác của hình học phẳng đượcgiới thiệu chủ yếu dưới dạng các bài toán nâng cao, hay các bài toáncủa các kỳ Olympic. Để giải các bài toán này thường phải vận dụng cácđịnh lý như định lý Ptolemy (Ptôlêmê) về tứ giác nội tiếp, định lý Ceva(Xêva) về các đường thẳng đồng quy trong tam giác, định lý Menelaus(Mênêlauys) về các điểm thẳng hàng, định lý Simson (Simsơn), định lýEuler (Ơle), định lý Brianchon, định lý Newton (Niutơn) Các tính chất này rải rác được giới thiệu trong các tài liệu dành chocác học sinh giỏi. Nhiều chuyên gia và tài liệu nước ngoài đã gọi các địnhlý nói trên là "Famous geometry theorems" - "Các định lý hìnhhọc nổi tiếng". Hiện nay tài liệu bằng Tiếng Việt về các định lý hìnhhọc nổi tiếng chưa có nhiều và còn tản mạn. Cần thiết phải giới thiệucác định lý trên và những áp dụng của chúng một cách đầy đủ hơn.Vì vậy, việc tìm hiểu sâu thêm và giới thiệu Các định lý hình họcnổi tiếng là cần thiết cho công việc học tập và giảng dạy toán học ởbậc phổ thông. Bản luận văn "Một số định lý hình học nổi tiếng vàáp dụng" được tiến hành vào giữa năm 2010 chủ yếu dựa trên các tàiđa phần được trích ra từ các đề thi vô địch Quốc tế và Việt Nam.Chương 4. Các điểm thẳng hàng.Chương này trình bày các kiến thức liên quan đến các điểm thẳnghàng, đặc biệt là định lý Menelaus và các mở rộng trong tứ giác, trongkhông gian. Chương này còn giới thiệu định lý Desargues, định lýPappus và 10 bài toán liên quan đến các điểm thẳng hàng.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7Chương 5. Đường tròn.Chương này giới thiệu một số định lý hình học nổi tiếng liên quan đếnđường tròn như định lý Euler về đường tròn Euler, định lý Simson vềđường thẳng Simson, định lý Steiner, định lý Newton, định lý Brianchonvà một số định lý khác. Trong chương đã trình bày 16 bài toán liên quanđến đường tròn.Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn của TS. NguyễnVăn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới các thầy cô giáo TrườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tác giả xin gửi lờicảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K3 - Trường Đại học Khoa học đãđộng viên, giúp đỡ trong quá trình học tập và làm luận văn này.Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Hà Giang, Ban Giámhiệu và đồng nghiệp của trường THPT Hùng An, trường THPT ĐồngYên - Huyện Bắc Quang đã tạo điều kiện về mọi mặt để tác giả đượctham gia học tập và hoàn thành khoá học.Thái Nguyên, ngày 25 tháng 06 năm 2011Tác giảVũ Văn ĐứcSố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8Chương 1.Bán kính đường tròn ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r.Bán kính đường tròn bàng tiếp các cạnh: Ra, Rb, Rc.Diện tích tam giác ABC: S = SABChay [ABC].Hệ thức về góc:A + B + C = 180o(π).Hệ thức về cạnh:|b −c| < a < b + c; |c − a| < b < c + a; |a −b| < c < a + b.Công thức tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác bằng một nửatích của một cạnh với đường cao tương ứng:[ABC] =12aha=12bhbthẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thứcABCD=ABCDhayABAB=CDCD. (1.1)Định lý 1.1. (Định lý Thales trong tam giác). Nếu một đường cắt haicạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trênhai cạnh còn lại những đoạn thẳng tỉ lệ.Chứng minh.Hình 1.1[ADE][BDE]=AECE. (1.4)Từ (1.3) và (1.4) suy ra hệ thức (1.2) (đpcm).Hệ quả 1.1. Trong tam giác ABC, nếu đường thẳng xxcắt AB ở Dvà cắt cạnh AC ở E, thìABAD=ACAE;ABDB=ACEC. (1.5)Định lý 1.2. (Định lý Thalet đảo) Nếu một đường cắt hai cạnh của mộttam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉlệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.Chứng minh. Giả sử đường thẳng xxcắt các cạnh AB, AC của tamgiác ABC theo thứ tự tại D và E, sao choEC+ 1 =AEEC+ 1 ⇔AE+ ECEC=AE + ECEC⇔ACEC=ACEC,hay E⇒KMKB=MCABnênIMIA=KMKB.⇒ IK//AB (Theo Thalet đảo ta suyra điều phải chứng minh).1.2.2. Định lý PythagorasĐịnh lý này mang tên nhà triết học và nhà toán học Hy Lạp sống vàothế kỷ thứ VI TCN, mặc dù định lý này đã được biết bởi các nhà toánhọc Ấn Độ, Hy Lạp, Trung Quốc và Babylon từ nhiều thế kỷ trước. Haicách chứng minh cổ nhất của Định lý Pythagoras được cho là nằm trongquyển "Chu bễ toán kinh" khoảng 500 đến 200 TCN và "Các nguyêntố" của Euclid khoảng 300 năm TCN.Định nghĩa 1.2. Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông. Cạnhđối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền, hai cạnh kề góc vuôngđược gọi là hai cạnh kề hay hai cạnh góc vuông.Cách phát biểu của Euclid: Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trênhai cạnh góc vuông (hai cạnh kề góc vuông) bằng diện tích của hìnhvuông vẽ trên cạnh huyền.Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số có thể viết định lý Pythagorasdưới dạng hiện đại, chú ý rằng diện tích của hình vuông bằng bình= 2bc + b2− 2bc + c2= b2+ c2.Cách 2. Cách chứng minh cổ điểnBổ đề 1.1. Trong tam giác vuông, bình phương độ dài mỗi cạnh gócvuông bằng tích độ dài cạnh huyền với độ dài hình chiếu của cạnh gócvuông đó lên cạnh huyền b2= ab, c2= ac.Chứng minh.Hình 1.4Vì hai tam giác vuông ABC và HBAcóABC chung nên ∆ABC ∼ ∆HBA. SuyraABHB= a(b+ c) = a2.Định lý 1.4. (Định lý Pythagoras đảo) Nếu bình phương độ dài mộtcạnh của tam giác bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh kia, thìgóc của tam giác nằm giữa hai cạnh đó bằng góc vuông. Nếu trong tamgiác ABC mà a2= b2+ c2thìA = 90o.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn13Kết luận: Một tam giác là vuông khi và chỉ khi bình phương độ dàicủa một cạnh bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh kia.1.3. Định lý hàm số sin và định lý hàm số cosin1.3.1. Định lý hàm số sinĐịnh lý 1.5. Trong tam giác ABC có các hệ thứcasin A⇔asin A= 2R.c) Xét trường hợp A tù.Khi đó A + A= 180o, do đósin A = sin (180o− A) = sin A=BCBA=a2R⇔asin A= 2R.1.3.2. Định lý hàm số cosinĐịnh lý 1.6. Trong tam giác ABC có các hệ thứca−→b =−→AC,−→c =−→BA.Ta có−→a =−→b +−→c ⇒−→a2= (−→b +−→c )2=−→b2+−→+ c2+ 2bc. cos (π − A) = b2+ c2− 2bc. cos A.Cách 2 (Dùng công cụ đại số). Đây chính là ứng dụng của định lýPythagoras.Hình 1.6Trường hợp cả hai góc B, C đều là góc nhọn.Áp dụng định lý Pythagoras cho hai tam giácvuông ACH và ABH ta có AH2+CH2= AC2và AH2+ BH2= AB2.Trừ tương ứng 2 vế của 2 đẳng thức trên tađược CH2− BH2− b22a. (1.10)Trong tam giác vuông ABH có cos B =BHAB. Kết hợp với (1.10) tasuy ra: cos B =a2+ c2− b22achay b2= a2+ c2− 2ac cos B.Tương tự ta chứng minh đượcc2= a2+ b212n.ha=12AC.AD. sin β.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn15Hình 1.7Từ đó suy ra[BAD][CAD]=12m.ha12n.ha=12AB.AD. sin α12AC.AD. sin β. (1.12)Lời giải. Thật vậy theo công thức (1.11) ta cóBDCD=ABDACD=AB. sin αAC. sin (A −α)Tương tự ta cóBECE=AB. sin (A − α)AC. sin β.⇒BD.BECD.CE=ABAC2.sin αsin β.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn16Chứng minh. Áp dụng định lý hàm số cosin cho các tam giác AMBvà AMC, ta cóc2= p2+ m2− 2pm cos (AMB); b2= p2+ n2− 2pn cos (AMC).Chú ý rằng cos (AMB) = cos (π −AMB) = −cos (AMC), nên ta cóc22+ nc2(đpcm).1.4.2. Định lý đường trung tuyếnĐịnh lý 1.8. Trong một tam giác ba đường trung tuyến gặp nhau tạimột điểm được gọi là trọng tâm của tam giác. Trên mỗi đường trungtuyến, khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng hai lần khoảng cáchtrọng tâm đến chân đường trung tuyến.Định lý 1.9. (Định lý Apollonius - Pappus). Trong tam giác ABC cócác hệ thức sau đây về đường trung tuyến.m2a=b2+ c22−a24; m2b=c22a.Giả sử AB < AC thì BH < BM nênHM = BM −BH =a2−a2+ c2− b22a=c2− b22a⇒ HM =b2− c22a.Từ đóm2− b22a2= c2−a4+ 2a2(c2− b2)4a2⇒ m2a=c2+ b22−a4.Cách 2: Trong công thức (1.14) đặt p = ma, m = n =a2, ta cóa(m2a+a24) =a2(b2+ c2) ⇒ m2a=b2+ c2−a2+ b22+c24=14(3c2− 3b2) = 3(c − b)(c + b).Từ đây suy ra b = c và ta có điều phải chứng minh.1.4.3. Định lý về đường phân giácĐịnh lý 1.10. Đường phân giác trong của góc ứng với một đỉnh củatam giác chia cạnh đối diện với đỉnh thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnhkề.Chứng minh. Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong củagócBAC. Ta phải chứng minhABAC=.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn18Nhưng BE = AB, do đóABAC=DBDC.Chú ý: Định lý vẫn đúng đối với đường phân giác ngoài của tam giácABAC=DBDC.Định lý 1.11. (Công thức đường phân giác). Độ dài các phân giácla, lb, lccủa góc A, B, C trong tam giác ABC tương ứng được tính theocông thức) = AD.c. sin (A2) + AD.b. sin (A2)⇔ 2bc. sin (A2). cos (A2) = AD. sin (A2)(b + c)⇒ AD =2bcb + c. cos (A2) ⇒ la=2bcb + c. cos (A2b− l2c= a(a + b + c)(c −b)(a + b + c+)(bc + a2) + 2abc(a + b)2(a + c)2. (1.17)Trong công thức (1.17) thừa số duy nhất có thể bằng không là c −b,vậy b = c.1.4.4. Công thức góc chia đôiĐịnh lý 1.13. Công thức góc chia đôi:Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn19Hình 1.9sin (A2) =(p −b)(p − c)bc,cos (=cc + b⇔ BL =acb + c.Áp dụng định lý hàm số cosin cho ∆ABL, ta cóAL2= AB2+ AL2− 2AB.AL. cos B= c2+a2c2(b + c)2− 2ac2b + cc2(b + c)2p(p −a).⇔ AL =2(b + c)b.c.p(p −a) ⇔ la=2(b + c)b.c.p(p −a).Mặt khác [ABC] = [ABL] + [ACL] =12AB.AL. sinA2+12AC.AL. sinA2=12l2=1 + cos A2=12(1 +b2+ c2− a22bc) =14bc[(b + c)2− a2]=14bc(b + c + a)(b + c + a −2a) =p(p −a)bc⇔ cos1= y,CA1= CB1= z.Ta có 2x + 2y + 2z = (x + y) + (y + z) + (z + x)= (AC1+ BC1) + (BA1+ CA1) + (CB1+ AB1)= AB + BC + CA = 2p.⇔ x + y + z = p.Mà y + z = BA1+ CA1= CA = a ⇔ x = p − (y + z) = p − a.Trong ∆AC1Do đó tanA2=(p −b)(p − c)p(p −a).Các công thức còn lại được suy ra từ công thức này bằng cách ápdụng các hệ thức cơ bản.Bài toán 1.5. Chứng minh rằng trong ∆ABC, ta cótanA2. tanB2+ tanB2. tanC2+ tanC2. tanA2= 1.2. tanA2=p −bp.Do đó tanA2. tanB2+ tanB2. tanC2+ tanC2. tanA2= 1.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn21Bài toán 1.6. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta cóp(p −a)(p −b)(p − c)+p(p −b)(p −c)(p − a)+p(p −c)(p −a)(p − b)=p(p −a)(p − b)(p −c)[(p −a) + (p −b) + (p − c)]= pp(p −a)(p − b)(p −c)= cotA2. cotB2. cotC2.4R, (1.20)= 2R2sin A. sin B. sin C, (1.21)= pr, (1.22)= (p − a)ra= (p − b)rb= (p − c)rc, (1.23)=p(p −a)(p − b)(p −c). (1.24)Ta đi chứng minh một số công thức diện tích tam giác.Hình 1.11Chứng minh công thức (1.19).Ta đã biết [ABC] =12aha.Nhưng ha= AC. sinACH =12bc sin A =12ca sin B.Hình 1.12Từ công thức (1.19) thay sin C =c2Rtacó ngay công thức (1.20).Chứng minh công thức (1.22).Giả sử đường tròn nội tiếp có tâm Ivà tiếp xúc ba cạnh của tam giác tạiA, B, Cnhư hình vẽ trên. Diện tích tamgiác ABC bằng tổng diện tích ba tam giácOBC, OCA, OAB, các tam giác đó có cácđường cao là OA= OB= OC22bcta có16S2= 4b2c2− (b2+ c2− a2)2= (2bc + b2+ c2− a2)(2bc −b2− c2+ a2)và Ctương ứng là các điểm tuỳ ý trên cạnh AB và AC của tam giác ABC.Ký hiệu S = [ABC], S= [ABC]. Khi đóSS=AB.ACAB.AC.Chứng minh. Ta cóSS=12hb+1hc=1r, (1.28)(b).1ra+1rb+1rc=1r. (1.29)Lời giải.Hình 1.13(a). Ta có S = p.r =1+1hb+1hc=a + b + c2p.r=1r.(b). Ta chứng minhS = (p − a).ra= (p − b).rb= (p − c).rc,với ra, rb, rclà bán kính đường tròn bàngp −apr.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trích đoạn Định lý Miquel Tải File Word Nhờ tải bản gốc Tài liệu, ebook tham khảo khác

• Luận văn Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng
• Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng
• Tài liệu Luận văn:Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng
• Tài liệu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
• Một số bài tập hình học phẳng hay và khó đã sưu tầm và giải
• tìm hiểu và sử dụng một số phần mềm hoá học có khả năng áp dụng trong đợt thực tập sư phạm ii
• Các định lý hình học nổi tiếng
• Các định lý hình học nổi tiếng và vận dụng
• một số bài toán hình học nổi tiếng
• trình bày một số nguyên lý sáng tạo cơ bản và áp dụng các nguyên lý sáng tạo vào trong lập trình tin học
• Nghiên cứu công nghệ luyện thép 50B50 dùng chế tạo nòng súng bộ binh thông thường trong lò điện trung tần
• Thiết kế động cơ không đồng bộ 3 pha roto lồng sóc
• Thiết kế hệ truyền động thang máy chở người
• Thiết kế máy hàn bán tự động trong môi trường khí bảo vệ CO2
• Thiết kế phân xưởng sản xuất Axetaldehit
• Hệ thống thông tin số và thông tin tương tự
• Thiết kế hệ thống thu tín hiệu truyền hình qua vệ tinh
• Tính toán phụ tải và cân bằng công suất Chọn máy phát điện
• Điều khiển chuyển động của Robot theo phương pháp Jacobian xấp xỉ khi động học và động lực học không biết chính xác
• Tính thiết bị tổng hợp Methanol

Hệ thống tự động tổng hợp link tải tài liệu, ebook miễn phí cho các bạn sinh viên tham khảo.

Học thêm

• Nhờ tải tài liệu
• Từ điển Nhật Việt online
• Từ điển Hàn Việt online
• Văn mẫu tuyển chọn
• Tài liệu Cao học
• Tài liệu tham khảo
• Truyện Tiếng Anh

Music ♫

Copyright: Tài liệu đại học ©

Top