Một Số Kiến Thức Về động Học (P2) | POL

Có thể bạn quan tâm

II. Các hệ tọa độ trong không gian:

1. Hệ tọa độ Descartes Oxyz:

Hệ tọa độ Descartes hay còn gọi là hệ tọa độ vuông góc, trong không gian, bao gồm gốc O, 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc đôi một với nhau tại O.

Một điểm trên hệ tọa độ Descartes được xác định bằng bộ số (x;y;z) là hình chiếu vuông góc của điểm này lên các trục Ox, Oy và Oz.

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, có ba vector đơn vị lần lượt là $\vec{i} = (1;0;0)$ , $\vec{j} = (0;1;0)$ và $\vec{k} = (0;0;1)$ .

Khi đó, một vector $\vec{u}$ bất kỳ được biểu diễn bằng cặp số (x;y) thỏa:

$\vec{u}=x\vec{i}$ + $y\vec{j}$ + $z\vec{k}$

2. Hệ tọa độ trụ (r; $\theta$ ;z):

Hệ tọa độ trụ bao gồm gốc tọa độ O, các trục Ox và Oz vuông góc với nhau.

Một điểm M trong hệ tọa độ trụ được xác định bởi bộ số (r; $/theta$ ;z), trong đó r là khoảng cách từ M đến trục Oz, góc $/theta$ là góc hợp bởi mặt phẳng zOM và mặt phẳng zOx, z là độ dài hình chiếu của OM lên trục Oz

Trong hệ tọa độ trụ, có ba vector đơn vị là vector $\vec{{e}_{r}}=(1;\theta ;0 )$ , vector $\vec{{e}_{\theta }}=(1;\theta +\frac{\pi }{2} ;0)$ và vector $\vec{{e}_{z}}=(0;0;1)$

Khi đó, một vector $\vec{r}$ được biểu diễn bằng bộ số (r; $\theta$ ;z) với:

$\vec{r} =r\vec{{e}_{r}} + z\vec{{e}_{z}}$

Quan hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes:

Một điểm M trong tọa độ Descartes có tọa độ (x;y;z) và trong tọa độ trụ có tọa độ (r; $\theta$ ;z) với trục Ox và Oz ở hai hệ tọa độ trùng nhau:

$\left\{\begin{matrix}x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \\ z = z\end{matrix}\right.$

Một vector $\vec{u}$ trong tọa độ Descartes có tọa độ (x;y;z) và trong tọa độ trụ có tọa độ (r; $\theta$ ;z) với trục Ox và Oz ở hai hệ tọa độ trùng nhau:

$\left\{\begin{matrix}x = r\cos \theta \\y = r\sin \theta \\z = z\end{matrix}\right.$

Ví dụ: ba vector đơn vị trong hệ tọa độ trục có tọa độ là $\vec{{e}_{r}}=(\cos \theta ;\sin \theta ;0)$ , $\vec{{e}_{\theta }}=( - \sin \theta ; \cos \theta ;0)$ và $\vec{{e}_{z}}=(0;0;1)$

3. Hệ tọa độ cầu (r; $\theta$ ; $\varphi$ ):

Hệ tọa độ cầu bao gồm gốc tọa độ O, trục Oz và trục Ox.

Một điểm P trong không gian được xác định bằng bộ số (r; $\theta$ ; $\varphi$ ). Trong đó, r là khoảng cách từ M đến gốc O, $\varphi$ là góc hợp bởi OM và tia Oz ( $\varphi$ trong khoảng từ 0 đến $\pi$ ) và $\theta$ là góc hợp bởi mặt phẳng zOM và zOx.

Trong hệ tọa độ trụ, có ba vector đơn vị là vector $\vec{{e}_{r}}=(1;\theta ;\varphi )$ , vector $\vec{{e}_{\theta }}=(1;\theta +\frac{\pi }{2} ;0)$ và vector $\vec{{e}_{\varphi }}=(1;\theta ;\varphi +\frac{\pi }{2})$

Khi đó, một vector $\vec{r}$ được biểu diễn bằng bộ số (r; $\theta$ ;\varphi ) với:

$\vec{r} =r\vec{{e}_{r}}$

Quan hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descartes:

Một điểm M trong tọa độ Descartes có tọa độ (x;y;z) và trong tọa độ cầu có tọa độ (r; $\theta$ ; $\varphi$ ) với trục Ox và Oz ở hai hệ tọa độ trùng nhau:

$\left\{\begin{matrix}x =r\sin \varphi \cos \theta \\ y =r\sin \varphi \sin \theta \\ z = r\cos \varphi\end{matrix}\right.$

Một vector $\vec{u}$ trong tọa độ Descartes có tọa độ (x;y;z) và trong tọa độ cầu có tọa độ (r; $\theta$ ; $\varphi$ ) với trục Ox và Oz ở hai hệ tọa độ trùng nhau:

$\left\{\begin{matrix}x =r\sin \varphi \cos \theta \\ y =r\sin \varphi \sin \theta \\ z = r\cos \varphi\end{matrix}\right.$

Ví dụ: ba vector đơn vị trong hệ tọa độ trục có tọa độ là $\vec{{e}_{r}}=(\sin \varphi \cos \theta ;\sin \varphi \sin \theta ;\cos \varphi)$ , $\vec{{e}_{\theta }}=( -\sin \theta ; \cos \theta ;0)$ và $\vec{{e}_{\varphi }}=(\cos \varphi \cos \theta ;\cos \varphi \sin \theta ;-\sin \varphi)$