Một Số Phép Toán Trên Ma Trận

• Thống kê
  • Giới thiệu
  • Các khái niệm cơ bản
  • Thống kê mô tả
  • Xác suất
  • Phân phối
  • Ước lượng
  • Kiểm định thống kê
  • Tương quan & Hồi quy
  • Phân tích phương sai
• Cơ sở dữ liệu
  • Giới thiệu
  • Khái quát về cơ sở dữ liệu
  • Mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ
  • Ngôn ngữ SQL
  • Thiết kế cơ sở dữ liệu quan hệ
  • Quản lý cơ sở dữ liệu
  • Phụ lục
• Dữ liệu đa biến
  • Giới thiệu
  • Khái quát về dữ liệu đa biến
  • Tương quan & Hồi quy
  • Phân tích phương sai
  • Phân tích thành tố
  • Phân nhóm
  • Một số phương pháp xử lý khác
  • Phụ lục
• Thiết kế thí nghiệm
  • Giới thiệu
  • Một số khái niệm cơ bản
  • Thí nghiệm một yếu tố
  • Thí nghiệm kết hợp yếu tố
  • Phương pháp bề mặt đáp ứng
  • Một số phương pháp chuyên biệt
  • Một số vấn đề có liên quan
  • Phụ lục

xDuLieu ⮞Ma trận ⮞Một số phép toán trên ma trận

Một số phép toán trên ma trận

Cộng và trừ ma trận

Ta chỉ có thể cộng hay trừ hai ma trận `mb(A)` và `mb(B)` khi chúng có cùng kích thước, và kết quả là một ma trận cũng có cùng kích thước với hai ma trận này. Khi cộng hay trừ hai ma trận, ta cộng hay trừ các phần tử đối ứng của hai ma trận ấy.

Gọi `a_(ij)` là phần tử tổng quát của ma trận `mb(A)`, `b_(ij)` là phần tử tổng quát của ma trận `mb(B)`, `c_(ij)` là phần tử tổng quát của ma trận `mb(A)+mb(B)`, `d_(ij)` là phần tử tổng quát của ma trận `mb(A)–mb(B)`, thì:

`c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)`(4)

`d_(ij)=a_(ij)-b_(ij)`(5)

Các phép cộng và trừ ma trận có một số tính chất sau :

• Phép cộng ma trận có tính giao hoán giống như phép cộng thông thường:

  `mb(A)+mb(B)=mb(B)+mb(A)`(6)

• Chuyển vị của tổng hay hiệu hai ma trận cũng bằng tổng hay hiệu của chuyển vị hai ma trận ấy:

  `(mb(A)+mb(B))^T=mb(A)^T+mb(B)^T`(7)

  `(mb(A)-mb(B))^T=mb(A)^T-mb(B)^T`(8)

Nhân ma trận với một số

Tích của ma trận `mb(A)`, có phần tử tổng quát là `a_(ij)`, với một số `c`, là ma trận `mb(B)`, có cùng kích thước với `mb(A)`, có phần tử tổng quát là `b_(ij)` với:

`b_(ij)=c a_(ij)`(9)

Thí dụ :

    `3mb(A)=3xx[ [5,7,3,1], [12,-1,6,7], [-4,0,5,3] ] = [ [15,21,9,3], [36,-3,18,21], [-12,0,15,-9] ]`

Phép nhân ma trận với một số cũng có tính giao hoán :

`c mb(A)=mb(A) c`(10)

Nhân ma trận

Ta chỉ có thể nhân ma trận `mb(A)` có kích thước `(d xx c)` với ma trận `mb(B)` có kích thước `(m xx n)` khi số cột của `mb(A)` bằng số dòng của `mb(B)`, nghĩa là `c=m`. Kết quả của phép nhân này là một ma trận có kích thước `(d xx n)`. Gọi `mb(X)` là kết quả của phép nhân ma trận và `x_(ij)` là phần tử tổng quát của `mb(X)`, ta có:

`x_(ij)=sum_(k=1)^c a_(ik)b_(kj)`

(11)

Điều này được minh họa qua Hình 1.

7

Hình 1 Minh họa về nhân ma trận

Trên Hình 1, ta có :

    `x_(24)=a_(21)b_(14)+a_(22)b_(24)+b_(23)b_(34)+a_(24)b_(44)`

    `x_(24)=14-15-4+12=7`

Ta có một số nhận xét sau :

• Một cách tổng quát, kích thước của `mb(A)`, `mb(B)`, và `mb(AB)` không giống nhau.
• Khi thực hiện được phép nhân `mb(AB)` thì chưa chắc đã thực hiện được phép nhân `mb(BA)`.
• Ngay cả khi thực hiện được phép nhân `mb(BA)` thì thông thường `mb(AB) != mb(BA)` (nghĩa là phép nhân ma trận không có tính giao hoán).
• Khi ta nhân `mb(A)` là ma trận có kích thước `(d xx c)` với ma trận đơn vị `mb(I)` cấp `c` thì:

  `mb(AI)=mb(A)`(12)

Về sự chuyển vị ma trận, ta lưu ý tính chất sau :

`(mb(AB))^T = mb(B)^T mb(A)^T`(13)

Nhân ma trận vuông

Nhìn chung, phép nhân các ma trận vuông được thực hiện tương tự như trường hợp thông thường mà ta đã xem xét. Khi ấy điều kiện là hai ma trận phải cùng cấp. Ở đây ta xét trường hợp đặc biệt là nhân ma trận vuông và ma trận chéo có cùng cấp. Thí dụ `n=3` thì ta có:

    `mb(DA)=[ [d_1,0,0], [0,d_2,0], [0,0,d_3] ]\ [ [a_(11), a_(12), a_(13)], [a_(21), a_(22), a_(23)], [a_(31), a_(32), a_(33)] ] =[ [d_1a_(11), d_1a_(12), d_1a_(13)], [d_2a_(21), d_2a_(22), d_2a_(23)], [d_3a_(31), d_3a_(32), d_3a_(33)] ]`

    `mb(AD)=[ [a_(11), a_(12), a_(13)], [a_(21), a_(22), a_(23)], [a_(31), a_(32), a_(33)] ]\ [ [d_1,0,0], [0,d_2,0], [0,0,d_3] ] = [ [d_1a_(11), d_1a_(12), d_1a_(13)], [d_2a_(21), d_2a_(22), d_2a_(23)], [d_3a_(31), d_3a_(32), d_3a_(33)] ]`

Vậy :

`mb(DA)=mb(AD)`(14)

Trong trường hợp tổng quát với ma trận vuông cấp n, ta có :

`mb(AD)=mb(DA)=[ [d_1a_(11), d_1a_(12),cdots,d_1a_(1j),cdots,d_1a_(1n)], [d_2a_(21), d_2a_(22),cdots,d_2a_(2j),cdots,d_2a_(2n)], [vdots,vdots,ddots,vdots,ddots,vdots], [d_ia_(i1), d_ia_(i2),cdots,d_ia_(ij),cdots,d_ia_(i n)], [vdots,vdots,ddots,vdots,ddots,vdots], [d_na_(n1), d_na_(n2),cdots,d_na_(nj),cdots,d_na_(n n)] ]`

(15)

Đặc biệt hơn nữa nếu ma trận chéo là ma trận đơn vị `mb(I)` thì :

`mb(IA)=mb(AI)=mb(A)`(16)

Trang web này được cập nhật lần cuối ngày 28/11/2018

Ma trận

• Giới thiệu
• Khái quát về ma trận
• Một số phép toán trên ma trận
• Vectơ
• Sự kết hợp ma trận với vectơ
• Sự phân hoạch ma trận
• Định thức
• Nghịch đảo ma trận
• Hạng của ma trận
• Giá trị riêng & Vectơ riêng

Các chuyên đề

Xử lý dữ liệu

• Giới thiệu
• Khái quát về xử lý dữ liệu
• Quá trình xử lý dữ liệu
• Chuẩn bị & Biên tập dữ liệu
• Khảo sát thăm dò
• Phân tích dữ liệu
• Kiểm định
• Diễn giải

Ma trận

• Giới thiệu
• Khái quát về ma trận
• Các phép toán trên ma trận
• Vectơ
• Kết hợp ma trận với vectơ
• Sự phân hoạch ma trận
• Định thức
• Nghịch đảo ma trận
• Hạng của ma trận
• Trị số riêng & Vectơ riêng

R

• Giới thiệu
• Làm quen với R
• Một số cơ sở của R
• Vẽ biểu đồ với R

Sơ đồ site