Một Số Phương Pháp Giải Bài Toán Rẽ Nhánh - 123doc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MAI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN RẼ NHÁNH Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ MAI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN RẼ NHÁNH

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

HÀ NỘI- 2015

Mục lục

Mở đầu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian Banach 6

1.1.1 Không gian Rn 7

1.1.2 Không gian các ánh xạ liên tục 7

1.1.3 Không gian các ánh xạ khả vi liên tục 8

1.1.4 Không gian Hilbert 8

1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng 9

1.3 Toán tử Fredholm 10

1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng 10

1.5 Định lý hàm ẩn 11

2 Lý thuyết bậc ánh xạ 12 2.1 Một vài ký hiệu và bổ đề 12

2.2 Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục khả vi 13

2.3 Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục 23

2.4 Ứng dụng của bậc ánh xạ 25

3 Giải bài toán rẽ nhánh 26 3.1 Lý thuyết rẽ nhánh 26

3.2 Giải bài toán rẽ nhánh 29

3.2.1 Một vài kí hiệu và bổ đề 30

3.2.2 Các kết quả chính 45

Kết luận 61

Tài liệu tham khảo 62

MỞ ĐẦU

Nhiều hiện tượng tự nhiên và khoa học có thể được mô tượng mô tả bằng ngôn ngữ toán học thông qua việc giải phương trình phụ thuộc tham số:

F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D, trong đó, F là một hàm số trên tích của không gian metric (Λ, d) với D, (D

là lân cận của điểm 0 trong không gian định chuẩn X) vào không gian định chuẩn Y Nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình trên là việc nghiên cứu

sự thay đổi nghiệm của nó theo tham số

Trong thời gian gần đây, lý thuyết rẽ nhánh được sử dụng nhiều để nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt nó tìm những giá trị của tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi

Giả thiết rằng với λ ta có v(λ) để F (λ, v(λ)) = 0 Bằng cách tịnh tiến, ta

có thể giả thiết v(λ) = 0 Mỗi nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của phương trình

F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D (1)

Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (λ, 0) mà tại những lân cận của nó

có tính chất với δ > 0, ǫ > 0 cho trước, tồn tại nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D của (1) thỏa mãn d(λ, λ) < δ và 0 < ||u|| < ǫ Nghiệm tầm thường (λ, 0) này được gọi là nghiệm rẽ nhánh của (1), λ được gọi là điểm rẽ nhánh Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của (1) được gọi là bài toán rẽ nhánh Có nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán rẽ nhánh, mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau Dựa vào định lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều là giá trị riêng

của phần tuyến tính của phương trình Tuy nhiên, không phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh

Rất nhiều các công trình của các tác giả khác nhau cho ba bài toán: sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh, tồn tại những nhánh nghiệm, tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ, với phương pháp biến phân, tôpô, giải tích cho những trường hợp đặc biệt, tham số là số thực dạng

T (v)− λc(v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D

Trong luận văn này ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp Lyapunov-Schmidt trong [1] sử dụng phép chiếu và đưa phương trình nghiên cứu thành hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều, phần còn lại nằm trong không gian vô hạn chiều trực giao Sau đó sử dụng bậc ánh xạ để chỉ

ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là điểm rẽ nhánh Từ đó, ta

có phương pháp kết hợp giữa phương pháp tôpô và giải tích cho bài toán rẽ nhánh

Bố cục luận văn gồm ba chương, phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản làm cơ sở cho việc trình bày lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được sử dụng trong việc chứng minh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh Chương hai trình bày lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục Tiếp theo ta chỉ

ra các tính chất cơ bản của bậc ánh xạ Cuối cùng là một số ứng dụng của bậc ánh xạ

Chương ba trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong không gian Banach và lược đồ Lyapunov-Schmidt để chuyển phương trình toán tử về hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm trong không gian vô hạn chiều và phần khó giải nằm trong không gian hữu hạn chiều Nhờ lược

đồ này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình phụ thuộc tham số Từ

đó ta có được một số hệ quả của bài toán tìm nghiệm rẽ nhánh của phương

trình (1).

Khi viết bản luận văn này tác giả đã tham khảo các tài liệu [2], [3], [4]

và [5], trong đó đã nêu ra được điều kiện đủ để giá trị riêng của phần tuyến tính là điểm rẽ nhánh và công thức biểu diễn nghiệm của phương trình theo véctơ riêng

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn này

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường, đặc biệt là các thầy cô giáo chuyên ngành Giải tích, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia

Hà Nội, các thầy cô phòng Sau Đại học đã tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành khóa luận

Cuối cùng tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến người thân, gia đình, bạn

bè đã luôn động viên và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình

Hà Nội, tháng 4 năm 2015 Nguyễn Thị Mai

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số không gian thường dùng trong luận văn và một số định nghĩa, định lý làm cơ sở cho chương 2 và chương 3

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian véctơ thực Một ánh xạ ||·|| : X → R gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn các tiên đề sau:

(i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X, ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0,

(ii) ||λx|| = |λ|.||x||, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R,

(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X

Khi đó, cặp (X, || · ||) được gọi là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn} ⊂ X được gọi là một dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong không gian định chuẩn (X, || · ||) nếu

lim

m,n →∞||xn− xm|| = 0

Định nghĩa 1.1.3 Nếu trong không gian định chuẩn (X, || · ||), mọi dãy cơ bản đều hội tụ tới giới hạn thuộc không gian X thì X được gọi là không gian

đủ hay không gian Banach, tức là với mỗi dãy cơ bản {xn} ⊂ X thì luôn tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 khi n → ∞

Sau đây, ta xét một số trường hợp cụ thể của không gian Banach

1.1.1 Không gian Rn

Cho 1 ≤ p ≤ ∞, ta xác định chuẩn || · ||p trên Rn như sau:

với x = (x1, , xn) ∈ Rn, ta định nghĩa

||x||p =

n

X

i=1

|xi|p

1

p nếu p < ∞

Trường hợp p = ∞, ta định nghĩa ||x||p = max{|x1|, , |xn|} Khi đó, Rn

với chuẩn || · ||p là không gian Banach Hai chuẩn ρ1, ρ2 trên không gian định chuẩn X gọi là tương đương nếu tồn tại hai số thực dương C1, C2 sao cho

C1ρ1(x) ≤ ρ2(x) ≤ C2ρ1(x), ∀x ∈ X

Hai chuẩn tương đương thì một dãy điểm {xn} ⊆ X là hội tụ theo chuẩn ρ1

về x0 ∈ X khi và chỉ khi {xn} hội tụ về x0 theo chuẩn ρ2 Chú ý rằng, mọi chuẩn trên Rn đều tương đương

1.1.2 Không gian các ánh xạ liên tục

Cho X ⊆ Rn, định nghĩa

C(X, Rm) ={f : X → Rm|f là ánh xạ liên tục}

Cho f ∈ C(X, Rm), đặt

||f||◦ = sup

x ∈X||f(x)||,

trong đó, || · || là một chuẩn trong Rn.

Vì giới hạn của một dãy các ánh xạ liên tục hội tụ đều cũng là một ánh xạ liên tục nên C(X, Rm) là không gian Banach

1.1.3 Không gian các ánh xạ khả vi liên tục

Cho D ⊂ Rn là một tập mở bị chặn của Rn Cho β = (i1, , in) ∈ Nn, đặt |β| = i1+ + in

Cho Dβf : D → Rm là đạo hàm riêng của hàm f : D → Rn bậc β

Dβf (x) = ∂

βf (x)

∂i 1x1 ∂i nxn

, trong đó x = (x1, , xn)∈ D Định nghĩa

Ck(D, Rm) ={f : D → Rm|Dβf (x) liên tục trên D,∀β : |β| ≤ k} Khi đó Ck(D, Rm) là không gian Banach với chuẩn của f ∈ Ck(D, Rm) được xác định bởi

||f||k = X

max

|β|≤k{||Dβf||0}

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.4 Cho X là không gian tuyến tính Nếu trên X có một hàm song tuyến tính, đối xứng h·, ·i : X × X → R thỏa mãn

hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ X và hx, xi = 0 thì x = 0

Ta gọi X là không gian tiền Hilbert

Hơn nữa, nếu ta định nghĩa

||x|| =phx, xi, thì (X, || · ||) là không gian định chuẩn Nếu không gian này đủ thì (X, h·, ·i) được gọi là không gian Hilbert

1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng

Cho hai không gian véctơ bất kỳ X, Y Một ánh xạ

A : X → Y được gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu

(i) A(x1+ x2) = A(x1) + A(x2)

(ii) A(αx) = αA(x) với mọi x ∈ X và với mọi α ∈ R

Để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x)

Toán tử A được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo theo Axn → Ax0 với mọi dãy {xn} ⊂ X, x0 ∈ X

Toán tử A được gọi là bị chặn nếu có một hằng số K > 0 để cho

||Ax||Y ≤ K||x||X, ∀x ∈ X

Định lý 1.2.1 Một toán tử tuyến tính A : X → Y liên tục khi và chỉ khi

nó bị chặn

Cho X, Y là hai không gian Banach với

X∗ = {f|f : X → R, f tuyến tính liên tục};

Y∗ ={g|g : Y → R, g tuyến tính liên tục}, tương ứng là các không gian đối ngẫu của X và Y

Cho A : X → Y là một toán tử liên tục

Khi đó, toán tử A∗ : Y∗ → X∗ của A là toán tử tuyến tính được xác định bởi

hA∗y, xi = hy, Axi, x∈ X, y ∈ Y∗, với h·, ·i là cặp đối ngẫu giữa X và X∗, Y và Y∗

Cho X là không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y gọi là

Tài liệu tham khảo

[1] E Schmidt (1910), "Zur Theorie der linearen und nicht linearen Inte-gralgleichungen", III Teil (65), Math, Ann, 370-399

[2] J T Schwartz (1969), Nonlinear functional analysis, Gordon and Breach Science Publishers New York - London - Paris

[3] N X Tan (1998), "An analytical approach to bifurcation problems with applications involving Fredholm mappings", Proc Roy Soc Edinburgh Sect, (A 110), 199-225

[4] N X Tan (1991), "Bifurcation problems for equations involving Lipschitz continuous mappings", J Math Anal Appl (154,no.1), 22-42

[5] N X Tan (1992), "Local bifurcation from characteristic values with finite multiplicity and its applications to axisymmetric buckled states of a thin shell", Appl Anal, (46), 259-286

[6] P Rabinowitz (1975), "A note on topological degree for potential opera-tors", J Math Anal Appl, (51), 483-492

[7] W Van Roosbroeck (1950), "Theory of the flow of electrons and holes in germanium and other sem iconductors", Bell Syst Tech J, (29), p.560