MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI ...

Tải bản đầy đủ (.pdf) (28 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Luận Văn - Báo Cáo
>>
3. Thạc sĩ - Cao học

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (274.2 KB, 28 trang )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN------------------MAI THỊ THU NHÀNMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢIPHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂNLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCHÀ NỘI - 2015ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN-----------------------MAI THỊ THU NHÀNMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢIPHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂNChuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấpMã số:60460113LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCTS. PHẠM VĂN QUỐCHà Nội – Năm 2015Mục lụcMở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Một số kiến thức chuẩn bị1.1 Một số công thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4452 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới . . . . .2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích, phương trình đẳngcấp bậc hai, bậc ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn" . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình. . . . . . . . . . . . . .2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Phương pháp 4 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . .2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . .2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . .2.5.2 Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc so sánh các vếcủa phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .778893 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . .3.2 Xây dựng từ các nghiệm chọn sẵn và phương pháp nhân liên hợp3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Xây dựng từ phương trình tích, các đẳng thức . . . . . . . . . . .3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.2 Xây dựng từ các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" . . . . . . . . .3.6 Xây dựng từ hệ phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác và phương trình lượng giác .3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8.1 Dựa theo tính chất của hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . .11011111415161616181819202020212122222323MỤC LỤC3.8.2 Dựa vào các ước lượng của hàm đơn điệu . . . . . . . . . . 23Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Mở đầuPhương trình chứa ẩn dưới dấu căn là một lớp các bài toán có vị trí đặcbiệt quan trọng trong chương trình toán học bậc phổ thông. Nó xuất hiện nhiềutrong các đề thi học sinh giỏi cũng như kỳ thi tuyển sinh vào đại học.Chính vì vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giả đã chọn đề tài"Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn"Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Phạm VănQuốc.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầycủa mình. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu,Phòng đào tạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đạihọc Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, cùng toàn thểcác học viên khóa 2013-1015 đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu.Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệutham khảo.Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong quá trình nghiên cứu,nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên kết quả đạt được trong luậnvăn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu xót. Vì vậy tác giả mong nhậnđược nhiều ý kiến đóng góp, chỉ bảo quý báu của quý thầy cô, các bạn học viênđể luận văn được hoàn thiện hơn.Hà Nội, tháng 08 năm 2015.Học viên thực hiệnMai Thị Thu Nhàn3Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị1.11.2.3.4.Một số công thức cần nhớ√√A=B⇔A=√3√3A=√B⇔√3B≥0A = B2.A≥0A = B.B ⇔ A = B.A = B ⇔ A = B3.5. Phương trình tương đươngHai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùngmột tập nghiệm. Nếu phương trình f1 (x) = g1 (x) tương đương với phươngtrình f2 (x) = g2 (x) thì ta viếtf1 (x) = g1 (x) ⇔ f2 (x) = g2 (x).Như vậy, phép biến đổi tương đương biến một phương trình thành phươngtrình tương đương với nó.Chẳng hạn, việc thực hiện các phép biến đổi đồngnhất ở mỗi vế của một phương trình và không thay đổi tập xác định củanó là một phép biến đổi tương đương.6. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.Định lý. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trong (a,b). Khi đó :- Hàm số y = f (x) đồng biến trong (a,b) ⇔ f , (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) và f , (x) = 0chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b).- Hàm số y = f (x) đồng biến trong (a,b) ⇔ f , (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) và f , (x) = 0chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b).- Nếu f , (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) và f liên tục trên [a, b] thì y = f (x) đồng biến trên4Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị[a, b].- Nếu f , (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) và f liên tục trên [a, b] thì y = f (x) nghịch biếntrên [a, b].7. Hệ phương trình đối xứng loại If (x, y) = 0(I) với f (x, y) = f (y, x) và g(x, y) = g(y, x)g(x, y) = 0Phương pháp giải.S =x+yđưa hệ phương trình mới với ẩnP = xyBiến đổi về tổng, tích và đặtS,P.8. Hệ phương trình đối xứng loại IIf (x, y) = 0f (y, x) = 0(1)(2)Phương pháp giải.Trừ (1) và (2) vế cho vế ta được hệ phương trình mớif (x, y) − f (y, x) = 0f (x, y) = 0(3)(1)Biến đổi (3) về phương trình tích (x − y).g(x, y) = 0 ⇔x=yg(x, y) = 0.9. Một số công thức lượng giác hay dùng.cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 xsin 2x = 2 sin x cos xcos 3x = 4 cos3 x − 3 cos xsin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x1 + cos 2xcos2 x =21 − cos 2x2sin x =.21.2Ví dụ mở đầuVí dụ 1.1. Giải phương trình1+23x − x2 =5√x+√1 − x.Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bịNhận xét. Trước hết có điều kiện 0 ≤ x ≤ 1.Cách 1. Bình phương hai vế để thu được phương trình tương đương sau√√2√x − x2 = x + 1 − x32√√2√2⇔ 1+x − x2 =x+ 1−x3√4√9⇔1+x − x2 = 1 + 2 x − x2x − x2 +3√4⇔ 27(x − x2 ) − 8 x − x2 = 0√√⇔ x − x2 27 x − x2 − 8 = 0x = 0 (thỏa mãn)√ x = 1 (thỏa mãn)x√− x2 = 0√⇔⇔27 x − x2 − 8 = 027 ± 473x=(thỏa mãn)54√27 ± 473Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x = 1, x =.54√√√y2 − 1.Cách 2. Đặt y = x + 1 − x2 . Suy ra, ta sẽ tính được x − x2 =2Phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai ẩn y là1+y2 − 1= y ⇔ y 2 − 3y + 2 = 0 ⇔3√√√2x + √1 − x2 = 1√x − x = 0√⇔2 x − x2 − 3 = 0.x + 1 − x2 = 21+Suy ray=1y = 2.Cách 3. Ta có√√2√x − x2 = x + 1 − x3 √√√⇔ 3 + 2 x − x2 = 3 x + 3 1 − x√√√⇔ x 2 1−x−3 =3 1−x−3√√3 1−x−3⇔ x= √.2 1−x−3√√2Mặt khác ta có ( x)2 + 1 − x = 1.√√3y − 3Đặt y = 1 − x thì x =. Khi đó2y − 3√√ 22y=01 − x = 1 ⇔ y(y − 1)(2y 2 − 4y + 3) = 0 ⇔( x) +y = 1.1+Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình đã cho.√√Cách 4. Ta cũng có thể đặt y = x, z = 1 − x với y ≥ 0, z ≥ 0.Khi đó ta có hệ phương trình21 + yz = y + z3y2 + z2 = 1Đây là hệ phương trình đối xứng loại I. Ta giải tìm ra y, z và tìm đượcnghiệm x của phương trình đã cho.6Chương 2Một số phương pháp giải phươngtrình chứa ẩn dưới dấu căn2.1Phương pháp 1: Biến đổi tương đươngNội dung chính của phương pháp này là lũy thừa hai vế với số mũ phù hợp.Một số phép biến đổi tương đương thường gặpf (x) = g(x)2n2nf (x) ≥ 0f (x) =g(x) ⇔1. g(x) ≥ 0.f (x) = g(x) ⇔2.2n3.2n+1f (x) = g 2n (x)g(x) ≥ 0.f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g 2n+1 (x).Ví dụ 2.1. Giải phương trình√√√33x − 1 − 3 2x − 1 = 3 5x + 1.Giải. Phương trình đã cho tương đương3x − 1 + 2x − 1 +⇔33√√(3x − 1)(2x − 1)( 3 3x − 1 + 3 2x − 1) = 5x + 1(3x − 1)(2x − 1)(5x + 1) = 1⇔ (3x − 1)(2x − 1)(5x + 1) = 1x=019⇔ 30x3 − 19x2 = 0 ⇔x= .30Thay x = 0 vào phương trình đã cho ⇒ −2 = 1 (vô lý) .19Thay x =vào phương trình đã cho thỏa mãn.3019Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = .307Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn2.2Phương pháp 2: Nhân liên hợpan − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + ... + abn−2 + bn−1 ).Nếu x0 là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta có thể đưa phươngtrình f (x) = 0 về dạng (x − x0 )f1 (x) = 0 và khi đó việc giải phương trình f (x) = 0quy về giải phương trình f1 (x) = 0.Ví dụ 2.2. (Toán học Tuổi trẻ số 454, tháng 4 năm 2015)Giải phương trình√3x + 1 +√5x + 4 = 3x2 − x + 3.−1. Ta thấy x = 0, x = 1 la nghiệm của phương trình trên.3Mà x = 0, x = 1 la nghiệm của đa thức x2 − x = 0 hoặc −x2 + x = 0.√Cách 1. Ta cần xác định a, b sao cho 3x − 1−(ax+b) = 0 có nghiệm x = 0, x = 1.Giải. Điều kiện x ≥Thay x = 0, x = 1 vào ta được hệ phương trình1−b=0⇔2 − (a + b) = 0Tương tự, tìm được c = 1, d = 2 sao chox = 0, x = 1.Nên ta có lời giải sau.a=1b = 1.√5x + 4 − (cx + d) = 0 có 2 nghiệm là√√3x + 1 + 5x + 4 = 3x2 − x + 3√√3x + 1 − (x + 1)] + [ 5x + 4 − (x + 2) = 3(x − 1)x⇔−x2 + x−x2 + x⇔√+√= 3(x2 − x)3x + 1 + (x + 1)5x + 4 + (x + 2)1x1⇔ (−x2 + x) √+√+33x + 1 + (x + 1)5x + 4 + (x + 2)−x2 + x = 011x⇔ √+√+3=03x + 1 + (x + 1)5x + 4 + (x + 2)x = 0 (thỏa mãn)⇔x = 1 (thỏa mãn).Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 0, x = 1.2.3Phương pháp 3: Đặt ẩn phụVới phương pháp này ta tiến hành theo các bước sau.Bước 1. Chọn ẩn phụ và tìm điều kiện xác định của ẩn phụ.8=0Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu cănBước 2. Chuyển phương trình ban đầu về phương trình (hệ phương trình) theoẩn phụ vừa đặt và giải phương trình (hệ phương trình ) này.Bước 3. Giải phương trình (hệ phương trình) với ẩn phụ đã biết để xác địnhnghiệm của phương trình đã cho.2.3.1Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mớiTa lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp.• Nếu bài toán có chứa⇒ f (x) =f (x) và f (x) có thể đặtf (x) = t; t ≥ 0t2 .• Nếu bài toàn có chứaf (x),g(x) vàf (x).g(x) = c với c là hằng số.cg(x) = .tf (x) = t, t ≥ 0 khi đóCó thể đặt• Nếu bài toán có chứaCó thể đặt t =f (x) ±f (x) ±g(x) ,g(x), khi đóf (x).g(x) = c với c là hằng số.t2 − cf (x).g(x) =.2√• Nếu có dạng au + bv = c uv với u = u(x) ≥ 0, v = v(x) > 0; a, b, c là hằng số.uuChia cả 2 vế cho v ta được a( ) + b = c.vvuĐặt t =⇒ at2 − ct + b = 0.vVí dụ 2.3. (Đề nghị Olympic 30-4, năm 2007)Giải phương trình2x2 + 5x − 1 = 7x3 − 1.Giải. Điều kiện x ≥ 1.√2x2 + 5x − 1 = 7 x3 − 1⇔ 3(x − 1) + 2(x2 + x + 1) = 7⇔3+2x2 + x + 1=7x−1(x − 1)(x2 + x + 1)x2 + x + 1x−1x2 + x + 1, t ≥ 0.x−1Suy ra, ta có 3 + 2t2 = 7tĐặt t =⇔ 2t2 − 7t + 3 = 0 ⇔t=31t= .2x2 + x + 1=3x−1⇔ x2 + x + 1 = 9x + 9TH1. t = 3, suy ra⇔x2√x = 4 − √ 6 (thỏa mãn)− 8x + 10 = 0 ⇔x = 4 + 6 (thỏa mãn).9Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu cănx2 + x + 11=x−121x2 + x + 1=⇔x−14⇔ 4x2 + 4x + 3 = 0 (vô nghiệm).√√Vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 4 − 6, x = 4 + 6.12TH2. t = , suy ra2.3.2Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích, phương trình đẳng cấp bậchai, bậc ba.Xuất phát từ 1 số hằng đẳng thức cơ bản khi đặt ẩn phụ.x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1).√√x4 + 1 = (x2 − 2 x + 1)(x2 + 2 x + 1).x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − x2 = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1).4x4 + 1 = (2x2 − 2x + 1)(2x2 + 2x + 1).Chú ý. Khi đặt ẩn phụ xong ta cố gắng đưa về những dạng cơ bản nhưu + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0.au + bv = ab + uv ⇔ (u − b)(v − a) = 0.Ví dụ 2.4. (Đề nghị Olympic 30/4, năm 2007)Giải phương trình2(x2 + 2) = 5(x3 + 1).Giải. Điều kiện x ≥ −1. Phương trình đã cho tương đương2(x2 − x + 1) + 2(x + 1) = 5(x + 1)(x2 − x + 1).√a = √ x2 − x + 1 > 0Đặtb= x+1≥0Suy ra (2.1) ⇔ 2a2 + 2b2 − 5ab = 0.Do b = 0 không là nghiệm, ta chia cả 2vế phương trình cho b2 = 0a=2a2ab2( ) − 5( ) + 2 = 0 ⇔ a1b2baTH1. = 2 ⇔ a = 2b.b√√Suy ra x2 − x + 1 = 2 x + 1b⇔ x2 − x + 1 = 4x + 4⇔ x2 − 5x −√3 = 05 ± 37⇔x=(thỏa mãn).2a1TH2. = ⇔ b = 2a.b210=2(2.1)Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu cănSuy ra√√x + 1 = 2 x2 − x + 1⇔ x + 1 = 4x2 − 4x + 4⇔ 4x2 − 5x + 3 = 0 (vô nghiệm).Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x =2.3.35+√√5 − 3737,x =.22"Ẩn phụ không hoàn toàn"Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là khi ta đặt ẩn phụ mới t thì phương trìnhnhận được hệ số của nó vẫn chứa x. Khi đó nếu phương trình bậc 2 (ẩn t) cóbiệt thức ∆t có dạng ∆t = (px+q)2 thì bài toán có thể giải theo phương pháp này.Ví dụ 2.5. Giải phương trình2(21 + x2 −1 − x2 ) −1 − x4 = 3x2 + 1.√√Giải. Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1. Đặt a = 1 + x2 ≥ 0, b = 1 − x2 ≥ 0.Suy ra 3x2 + 1 = 2(1 + x2 ) − (1 − x2 ) = 2a2 − b2 .Khi đó(2.2) ⇔ 2(2a − b) − ab = 2a2 − b2⇔ 2a2 + a(b − 4) + 2b − b2 = 0.Ta có∆a = (b − 4)2 − 8(2b − b2 ) = (3b − 4)2 ⇒b2TH1. a = .√1 − x2Suy ra 1 + x2 =(vô nghiệm).2TH2. a = 2b.√√Suy ra 1 + x2 = 2 − 1 − x2√√⇔ 1 + x2 + 1 − x2 = 2√⇔ 2 + 2 1 − x4 = 4√⇔ 1 − x4 = 1 ⇔ x = 0 (thỏa mãn).√Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.2.3.4Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình.Ví dụ 2.6. Giải phương trình√45−x+√4x−1=11√2.ba=2a = 2 − b.(2.2)Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu cănGiải. Điều kiện 1 ≤ x ≤ 5. Đặt√45−x=a≥0√4x−1=b≥0Khi đó, ta có hệ phương trình√√a+b= 2a+b= 2⇔2a4 + b4 = 4(a + b)2 − 2ab − 2a2 b2 = 4√√a+b= 2a+b= 2⇔⇔(2 − 2ab)2 − 2a2 b2 = 42a2 b2 − 8ab = 0√a+b= 2⇔2ab(ab − 4) = 0.a =√0√b= 2√TH1. a + b = 2 ⇔ 2ab = 0a= 2b=0√45−x=√0√4x−1= 2x = 5 (thỏa mãn)√√⇔Suy ra 4x = 1 (thỏa mãn).5−x= 2√4x−1=0√√a√= 2 − b2a+b=⇔TH2.ab = 4( 2 − b)b = 4 (vô nghiệm).Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 0, x = 5.Nhận xét. Qua các ví dụ trên nhận thấy rằng, nếu phương trình có dạngα n a − f (x) + βta đặtu=v=nmmb + f (x) = c.a − f (x)b + f (x).Hay nói một cách khác là nếu gặp những bài toán có chỉ số căn lệch bậc hoặc chỉsố căn cao, thì ta đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình dạngαu + βv = cun + v m = a + b.Nhận xét.√√Nếu phương trình có dạng xn + a = b n bx − a đặt y = n bx − a.Khi đó, ta có hệ phương trình đối xứng loại II dạngxn − by + a = 0y n − bx + a = 0.Ví dụ 2.7. (Đề 73/II2 - Bộ đề thuyển sinh Đại học và Cao đẳng)Giải phương trình√x3 + 1 = 2 3 2x − 1.√Giải. Đặt y = 3 2x − 1. Suy ra y 3 + 1 = 2x.Khi đó, ta có hệ phương trìnhx3 + 1 = 2y⇔y 3 + 1 = 2xx3 + 1 = 2yx3 − y 3 = 2(y − x)12Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu cănx3 + 1 = 2yx3 + 1 = 2y⇔x−y =0(x − y)(x2 + xy + y 2 ) = 0x = 1 (thỏa√ mãn)x3 − 2x + 1 = 0⇔⇔−1 ± 5x=yx=(thỏa mãn).2√−1 ± 5Vậy phương trình có 3 nghiệm là x = 1, x =.2⇔Nhận xét.√√• Nếu phương trình có dạng x = a + a + x thì đặt y = a + x.√x = a +√ yKhi đó, ta có hệ phương trình y = a + x.• Nếu phương trình có dạng√1ax + b = cx2 + dx + e với a = 0, c = 0, a = .cXét tam thức bậc hai f (x) = cx2 + dx + e ⇒ f , (x) = 2cx + d.Giải phương trình f , (x) = 0 ⇔ x =√−d.2cTừ đó đặt ax + b = 2cy + d ta sẽ thu được hệ phương trình đối xứng loạiII (trừ 1 số trường hợp đặc biệt).• Nếu phương trình có dạng√1ax + b = x2 + cx + d với a = 0.a12aa−ac,.Giải phương trình f (x) = 0 ⇔ x =2√acTừ đó đặt ax + b = y +ta sẽ thu được hệ phương trình đối xứng.2Xét tam thức bậc hai f (x) = x2 + cx + d ⇒ f , (x) = x + c.• Nếu phương trình có dạng√31ax + b = cx3 + dx2 + ex + m với a = 0, c = 0, a = .cXét f (x) = cx3 + dx2 + ex + m⇒ f , (x) = 3cx2 + 2dx + e⇒ f ,, (x) = 6cx + 2d.Giải phương trình f ,, (x) = 0 ⇔ x =Từ đó đặt−d.3c√d3ax + b = y +ta sữ thu được hệ phương trình đối xứng.3c• Nếu phương trình có dạng13Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn√31ax + b = cx3 + dx2 + ex + m với a = 0, c = 0, a = .cXét f (x) = cx3 + dx2 + ex + m.⇒ f , (x) = 3cx2 + 2dx + e.⇒ f ,, (x) = 6cx + 2d.Giải phương trình f ,, (x) = 0 ⇔ x =Từ đó đặt−d.3c√3ax + b = 3cy + d ta sẽ thu được hệ phương trình đối xứng.Ví dụ 2.8. (Toán học và tuổi trẻ, tháng 6 năm 2001)Giải phương trình√3481x − 8 = x3 − 2x2 + x − 2.3Giải. Phương trình đã cho tương đương√27 3 81x − 8 = (3x − 2)3 − 46.√381x − 8 = 3y − 2. Suy ra (3y − 2)3 = 81x − 8.(3y − 2)3 = 81x − 8Kết hợp đề bài ta có hệ phương trình(3x − 2)3 = 81y − 8ĐặtTrừ vế cho vế ta được phương trình81(x − y)[(3y − 2)3 − (3x − 2)3 ] = 0 ⇔ x = y.Suy ra√381x − 8 = 3x − 2⇔ (3x − 2)3 = 81x − 8x = 0 (thỏa√ mãn)3±2 6(thỏa mãn).x=3√3±2 6Vậy phương trình có 3 nghiệm là x = 0, x =.3⇔ 3x3 − 6x2 − 5x = 0 ⇔2.3.5Phương pháp lượng giác hóaMột số phương pháp lượng giác hóa thường gặp.• Nếu bài toán chứa√a2− x2có thể đặtππx = |a| sin t, − ≤ x ≤22x = |a| cos t, 0 ≤ t ≤ π.|a|ππ,− ≤ x ≤ ,t = 0x=√sin t 22• Nếu bài toán có chứa x2 − a2 có thể đặt |a|π, 0 ≤ t ≤ π, t = .x=cos t2ππ√x = |a| tan t, − < x f (a) ⇔ x > a (hay x < a ),với ∀x, a ∈ D.Ví dụ 2.9. (Đề thi Trung học phổ thông Quốc gia năm 2015)Giải phương trình√x2 + 2x − 8= (x + 1)( x + 2 − 2).2x − 2x + 3Giải. Điều kiện x ≥ −2. Phương trình đã cho tương đương(x + 4)(x − 2)(x + 1)(x − 2)= √2x − 2x + 3x+2+2x = 2 (thỏa mãn)x+4x+1⇔=√.2x − 2x + 3x+2+2x+1x+4Xét 2=√x − 2xx+2+2√+ 3⇔ (x + 4)( x + 2 + 2) = (x + 1)(x2 − 2x + 3)√⇔x + 2 + 2 (x + 2)2 + 2 = [(x − 1) + 2] (x − 1)2 + 2 .Xét hàm đặc trưng f (t) = (t + 2)(t2 + 2).Ta có f , (t) = 3t2 + 4t + 2, suy ra f , (t) > 0, ∀t ∈ R. Vậy f (t) đồng biến trên R.√Do đó f ( x + 2) = f (x − 1)⇔√x+2=x−1√3 + 13x≥1⇔⇔x=(thỏa mãn).x2 − 3x − 1 = 02√3 + 13.Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 2, x =215Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn2.5Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức2.5.1Sử dụng bất đẳng thức lũy thừaMột số bất đẳng thức lưu ý.1. Với A, B > 0 ta có√√nA+ nB≤2A+B2n(2.3)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B .2. Với A, B, C > 0 ta có√√√nA+ nB+ nC≤3nA+B+C3(2.4)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B = C .Ví dụ 2.10. Giải phương trình4x2 + x − 4 +Giải. Điều kiện6 − 4x2 − x = 2.4x2 + x − 4 ≥ 06 − 4x2 − x ≥ 0.Áp dụng bất đẳng thức (2.3) ta có4x2 + x − 4 +2= 2.26 − 4x2 − x ≤ 2Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi√4x2 + x − 4 =√6 − 4x2 − x⇔ 4x2 + x − 4 = 6 − 4x2 − x ⇔Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 1, x =2.5.2−5.4x = 1 (thỏa mãn)−5x=(thỏa mãn).4Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc so sánh các vế của phươngtrình.1. Bất đẳng thức Cauchy.Với mọi bộ số (xi , yi ) ta luôn có bất đẳng thức sau2nxi y in≤i=1i=116nx2iyi2 .i=1Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu cănDấu đẳng thức xảy ra khi bộ số xi và yi tỉ lệ nhau, tức là tồn tại cặp sốthực α, β không đồng thời bằng 0, sao choαxi + βyi = 0 với mọi i = 1, 2, 3, ...n.Áp dụng cho các số a, b, c, d ta có(ac + bd)2 ≤ a2 + b2Dấu đẳng thức xảy ra khic2 + d 2 .ab= .cd2. Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân.Cho n số dương x1 , x2 , ..., xn ta có√x1 + x2 + ... + xn≥ n x1 .x2 ...xnnDấu đẳng thức xảy ra khi x1 = x2 = ... = xn .Áp dụng cho hai số dương a, b ta cóa+b √≥ ab.2Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.Ví dụ 2.11. (Đề dự bị Olympic 30/4 Chuyên Hùng Vương )Giải phương trình4x =30 +1430 +1430 +1√x + 30.4√130 + 14 x + 30 = u, u ≥ 0.4 1√ 4x = 30 +30 + u4Ta thu được hệ phương trình1√4u = 30 +30 + x.41√1√Giả sử x ≥ u, suy ra 4u = 30 +30 + x ≥ 30 +30 + u = 4x.441√Vậy x = u và ta có phương trình 4x = 30 +30 + x.4√1√4x = √ 30 + vĐặt v =30 + x, ta có hệ phương trình4v = 30 + x.4√√Giả sử x ≥ v , suy ra 4v = 30 + x ≥ 30 + v = 4x.Giải. Điều kiện x > 0. ĐặtVậy x = v ta thu được phương trình√1 + 1921x>0⇔x=4x = 30 + x ⇔(thỏa mãn).16x2 − x − 30 = 032√1 + 1921Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =.32√17Chương 3Một số cách xây dựng phương trìnhchứa ẩn dưới dấu cănCon đường sáng tạo những phương trình vô tỷ là dựa trên cơ sở các phươngpháp giải đã được trình bày. Ta tìm cách "che đậy" và biến đổi đi một chút ítđể dấu đi bản chất, sao cho phương trình thu được dễ nhìn về mặt hình thức vàmối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình càng khó nhận rathì bài toán càng khó. Ta tìm hiểu một số các xây dựng sau.3.1Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đươngXây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình dạng√√√√A + B = C + D.Gán các biểu thức chứa x cho A, B, C, D ta sẽ thu được các phương trình vô tỷđược giải bằng cách bình phương hai vế.Ví dụ 3.1. Gán A = x + 3, B = 3x + 1, C = 4x, D = 2x + 2 ta được bài toán giảiphương trình sau√x+3+√√√3x + 1 = 2 x + 2x + 2.Tương tự ra cũng có một dạng sau√√Dạng 1. Phương trình A = B .√B≥0A = B2.A≥0√√√B≥Dạng 3. A + B = C ⇔√0A + B + 2 AB= C.√√√√√√3333Dạng 4. A + B = C suy ra A + B + 3 AB( 3 A + 3 B) = C .√√√Đối với dạng này thường sử dụng phép thế 3 A + 3 B = 3 C ta được phươngDạng 2. Phương trìnhA=B⇔18Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn√trình A + B + 3 3 ABC = C .Từ các dạng toán này gán cho A, B, C các biểu thức chứa x ta sẽ được các phươngtrình vô tỷ tuy nhiên mức độ khó hay dễ phụ thuộc vào việc chọn các biểu thứccho A, B, C sao cho sau khi lũy thừa hai vế lên ta thu được một phương trìnhcó thể giải được.3.2Xây dựng từ các nghiệm chọn sẵn và phương pháp nhânliên hợpPhương pháp nhân liên hợp là một phương pháp thường dùng khi giải cácphương trình chứa căn. Việc sáng tác bài toán mới dựa trên phương pháp nàycũng rất đơn giản, ta chỉ cần chọn sẵn một nghiệm rồi xây dựng các biểu thứcthỏa mãn đẳng thức xảy ra.Ví dụ 3.2. Với x = 2, ta có√√√√5x − 1 = 3, x + 2 = 2, 5x − 1 + x + 2 = 5 = 7 − x.Khi đó, ta được bài toán sau.Bài toán. Giải phương trình√5x − 1 +√x + 2 = 7 − x.Ví dụ 3.3. Với x = 3, khi đó√√x − 2 = 1, 4 − x = 1, 2x − 5 = 1, 2x2 − 5x = 3.√√√Vậy x − 2 + 4 − x + 2x − 5 = 2x2 − 5x, ta thu được bài toán sau.√Bài toán. Giải phương trình√x−2+√4−x+√2x − 5 = 2x2 − 5x.Ví dụ 3.4. Xét ba hàm f, g, h như sauf (x) = x(x + 1)(x − 3) + 3 có f (0) = f (3) = 3.g(x) =√√4 − x, h(x) = 1 + x, cóg(0) + h(0) = 3g(3) + h(3) = 3.Vậy x = 0, x = 3 là nghiệm của phương trìnhx(x + 1)(x − 3) + 3 =√√4 − x + 1 + x.Ta được bài toán sau.Bài toán. Giải phương trìnhx(x + 1)(x − 3) + 3 =19√√4 − x + 1 + x.Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn3.3Xây dựng từ phương trình bậc haiTừ phương trình dạng at2 + bt + c = 0 ta thay thế t = f (x) ta sẽ nhận đượcmột phương trình vô tỷ đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai dễ giải.Ví dụ 3.5. Từ phương trình 2t2 − 7t + 3 = 0, ta chọn t =x2 + x + 1x−1ta được phương trình vô tỷ sau2x2 + x + 1−7x−1x2 + x + 1+ 3 = 0.x−1hoặc biến đổi để bài toán trở nên khó hơn bằng cách nhân cả hai vế của phươngtrình trên với x − 1 ta được phương trình sau3(x − 1) + 2(x2 + x + 1) = 7x3 − 1.Từ phương trình này ta xây dựng lêm một bài toán giải phương trình vô tỷ nhưsau.Bài toán. (Đề thi đề nghị Olympic 30/4/2007)Giải phương trình2x2 + 5x − 1 = 73.43.4.1x3 − 1.Xây dựng từ phương trình tích, các đẳng thứcXây dựng từ phương trình tíchPhương trình dạng au + bv = ab + uv hay (u − b)(v − a) = 0 suy ra u = b, v = a.Chọn u, v là các biểu thức chứa căn a, b bằng các số thực cho trước ta sẽ xâydựng được các phương trình vô tỷ.Ví dụ 3.6. Chọn a = 1, b = 5, u =trình√x−1+5√x − 1, v =√x2 + 1. Ta thu được phươngx2 + 1 −x3 − x2 + x − 1 = 5.x2 + 1 −x3 − x2 + x − 1 = 5.Vậy ta có bài toán sau.Bài toán. Giải phương trình√x−1+520Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn3.4.2Xây dựng từ các đẳng thứcXuất phát từ một đẳng thức nào đó, chúng ta có thể sáng tác lên các phươngtrình chứa ẩn dưới dấu căn thức. Chẳng hạn từ hằng đẳng thức(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)ta có (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0.Bằng cách chọn a, b, c sao cho (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ta sẽ tạo ra được phươngtrình vô tỷ chứa căn bậc ba. Sau đây ta sẽ xây dựng một số phương trình từ cáchằng đẳng thức như(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a).a3 + b3 − ab(a + b) = (a + b)(a − b)2 .a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ).a4 + 4 = (a2 − 2a + 2)(a2 + 2a + 2).Ví dụ 3.7. Từ hằng đẳng thức(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)chọn a =√31990x + 1999, b =√√325x + 8, c = 3 8 − x thì ta cóa3 + b3 + c3 = 2014x + 2015.Ta được bài toán sau.Bài toán. Giải phương trình√33.51990x + 1999 +√√√325x + 8 + 3 8 − x − 3 2014x + 2015 = 0.Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn"Ta xét bài toán xây dựng phương trình dạng At2 + Bt + C = 0, trong đó t làbiểu thức chứa căn của x, còn A, B, C là các biểu thức hữu tỷ chứa x, sao cho∆ = B 2 − 4AC luôn luôn là một biểu thức chính phương.Thường để thuận tiện trong tính toán ta chọn−BC= f (x)+g(x) còn = f (x)g(x),AAkhi đó t = f (x) hoặc t = g(x).√Ví dụ 3.8. Ta chọn t = x2 + 2, f (x) = 3, g(x) = x − 1.Ta có bài toán giải phương trình vô tỷ như sau.Bài toán. Giải phương trìnhx2 + 3 −x2 + 2 x = 1 + 221x2 + 2.Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn3.6Xây dựng từ hệ phương trình.• Xét hệ phương trình tổng quát dạng bậc hai(αx + β)2 = ay + b(αy + β)2 = ax + bTa sẽ xây dựng lên một phương trình.√Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có αy + β = ax + b, khi đó thay vàophương trình đầu tiên của hệ ta có phương trình(αx + β)2 =βaa√ax + b + b −.ααVậy để có một phương trình vô tỷ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II, tachỉ cần chọn α, β, a, b phù hợp với mức độ khó dễ của bài toán.• Nếu xét hệ(αx + β)3 = ay + b(αy + β)3 = ax + b.Từ phương trình dưới ta được√3αy + β = ax + b ⇔ y =√3ax + b β− .ααThay vào phương trình trên của hệ, ta được√a 3 ax + b aβ(αx + β) =−+ b.αα3Ví dụ 3.9. Chọn α = 1, β = 1, a = 3, b = 5 ta được√(x + 1)3 = 3 3 3x + 5 + 2Ta có bài toán sau.Bài toán. (Đề nghị Olympic 30/04/2009)Giải phương trình√x3 + 3x2 − 3 3 3x + 5 = 1 − 3x.3.7Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác và phương trìnhlượng giácTừ một phương trình lượng giác đơn giản nào đó, kết hợp với các phép biếnđổi lượng giác thì sẽ tạp ra được các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn hay.Như từ công thức lượng giác cos 3t = sin t, ta có thể tạo ta được các phương trình22Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu cănvô tỷ.Từ cos 3t = 4cos3 t − 3 cos t ta có phương trình vô tỷ4x3 − 3x =1 − x2 .(3.1)1xTa có thể thay x trong phương trình (3.1) bởi các biểu thức ví dụ như (x−1), , ...ta sẽ có các phương trình khó hơn.Tương tự như vậy từ các công thức sin 3x, sin 4x... ta cũng có thể xây dựng phươngtrình vô tỷ theo kiểu lượng giác .3.83.8.1Xây dựng dựa theo hàm đơn điệuDựa theo tính chất của hàm đơn điệuDựa vào tính chất "Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) vàliên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f (x) = a không vó nhiềuhơn một nghiệm và ∀u, v ∈ D : f (u) = f (v) ⇔ u = v ". Ta có thể xây dựng đượccác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức.Ví dụ 3.10. Xét hàm số f (t) = t3 + 2t đồng biến trên R. Chof3−x3 + 9x2 − 19x + 11 = f (x − 1) .Ta được√−x3 + 9x2 − 19x + 11 + 2 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 = (x − 1)3 + 2(x − 1).Khai triền và rút gọn ta được bài toán sau.Bài toán. (Đề nghị Olympic 30/04/2009)Giải phương trìnhx3 − 6x2 + 12x − 7 =3.8.23−x3 + 9x2 − 19x + 11.Dựa vào các ước lượng của hàm đơn điệuĐể dễ sử dụng và kết hợp nhiều ước lượng chúng ta xây dựng một số các ướclượng cơ bản như:√√√√1. −1 ≤ x − 1 − x ≤ 1.√√Hàm số f (x) = x − 1 − x là hàm đơn điệu tăng trên [0; 1].Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = 1.2. −1 ≤ 4 x − 4 1 − x ≤ 1.√√Hàm số f (x) = 4 x − 4 1 − x là hàm tăng trên [0; 1].Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = 1.23

Tài liệu liên quan

• Khóa luận tốt nghiệp toán học: DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN THỨC CHỨA THAM SỐ Ở BẬC THPT THEO HƯỚNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI
  • 58
  • 2
  • 1
• SKKN phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
  • 14
  • 3
  • 4
• Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
  • 79
  • 647
  • 0
• MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
  • 28
  • 652
  • 0
• SKKN rèn LUYỆN kỹ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẩn dưới dấu căn bậc HAI BẰNG PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn PHỤ CHO học SINH lớp 10
  • 23
  • 488
  • 0
• Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
  • 11
  • 511
  • 0
• Luận văn một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
  • 128
  • 312
  • 0
• Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp trong giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức
  • 17
  • 245
  • 0
• Một số kinh nghiệm giúp học sinh khắc phục sai lầm khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu số và phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong chương
  • 16
  • 365
  • 0
• SKKN Một số sai lầm của học sinh trong khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai và giải pháp khắc phục
  • 17
  • 706
  • 3

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(274.2 KB - 28 trang) - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Tải bản đầy đủ ngay ×