Xemtailieu Tải về Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC ------------ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện ThS. Nguyễn Hoàng Xinh Nguyễn Thị Mỹ Cầm MSSV: 1110007 Lớp: SP Toán K37 Cần Thơ, 2015 1 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông LỜI CẢM ƠN Trong cuộc sống không có sự thành công nào mà không dựa trên sự nỗ lực, quyết tâm của cá nhân cùng với sự giúp đỡ hỗ trợ của mọi người. Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi đến quý Thầy Cô Bộ môn Toán nói riêng, Khoa Sư phạm nói chung lời cảm ơn chân thành vì đã tạo điều kiện để em được học tập, nghiên cứu, mở rộng kiến thức cũng như tạo cơ hội để em có thể thực hiện và hoàn thành luận này. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Xinh đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã cố gắng hết sức mình để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Song cũng không thể tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu từ quý Thầy cô và bạn đọc để luận văn của em hoàn thiện hơn. Cuối lời, em xin kính chúc quý Thầy Cô dồi dào sức khỏe, thành công trong công tác giảng dạy và cuộc sống. Cần Thơ, ngày 20 tháng 04 năm 2015 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Mỹ Cầm 2 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông…………….5 1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp tính trực tiếp……................................................................................................5 1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp quy nạp toán học……………………………………………………………….10 1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng nhị thức Newton………………………………………………………20 1.4 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp chéo hóa ma trận……………………………………………………………….27 1.5 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp đưa về dạng chuẩn Jordan……………………………………………………...35 1.6 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng định lý Cayley – Hamilton……………………………………………41 Chương 2: Bài tập và lời giải…………………………………………………….45 PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 3 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số tuyến tính là môn học quan trọng đối với sinh viên ngành Toán cũng như sinh viên ngành Kỹ thuật khác, là học phần tạo cho em nhiều hứng thú khi học. Đại số tuyến tính gồm nhiều vấn đề nhưng em đặc biệt quan tâm các vấn đề liên quan đến ma trận. Được sự gợi ý của GVHD em đã chọn đề tài “ Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông”. 2. Mục đích nghiên cứu Thực hiện đề tài này em hướng đến mục đích nghiên cứu là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề toán học. Việc nghiên cứu này cũng giúp em có nhiều kiến thức chuẩn bị cho các kỳ thi sau này. 3. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu từ giáo trình, sách, vở, các trang web. Phân tích, tổng hợp và sắp xếp lại một cách thích hợp. Trao đổi với GVHD. 4. Nội dung nghiên cứu Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông. Trong chương này gồm 6 phương pháp tính: tính trực tiếp, sử dụng công thức Newton, quy nạp, chéo hóa ma trận, đưa về dạng chuẩn tắc Jordan, sử dụng định lý Cayley – Hamilton. Chương 2: Bài tập và lời giải 4 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông PHẦN NỘI DUNG Chương 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG 1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp tính trực tiếp 1.1.1 Phương pháp Phân tích ma trận về các ma trận đặc biệt như ma trận đơn vị, ma trận không. 1.1.2 Các ví dụ a) Ví dụ 1 0 1 Tính 1 0 2014 Giải 0 1 1 0 Đặt A suy ra A4 1 0 0 1 Ta có: A2014 A4 503 1 0 A2 A2 0 1 Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(2,2,[0,1,-1,0]): A2014:=evalm( A2014 ); 1 0 A2014 : 0 1 b) Ví dụ 2 Trong M 2 3 cho 1 0 2014 A , tính A 2 1 Giải 5 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông 1 0 Ta có A3 0 1 Khi đó A2014 A3 671 1 0 A A 2 1 Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(2,2,[1,0,2,1]): A2014:=map(irem,evalm( A2014 ),3); 1 0 A2014 : 2 1 c) Ví dụ 3 0 0 Cho A 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , tính An , n 1 0 * Giải Ta thấy A4 0 An 0, n 4 0 0 0 0 0 0 0 0 Vậy An 0, n 4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ,n 2 0 0 0 0 0 0 1 0 ,n 3 0 0 6 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(4,4,[0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0]): A2:=evalm( A2 ); A3:=evalm( A3 ); A4:=evalm( A4 ); 0 0 A2 : 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 A3 : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A4 : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d) Ví dụ 4 a b Cho ma trận A với a, b, c 0 c i) Chứng minh rằng A2014 0 thì A2 0 . ii) Tìm ma trận A để n : An I 2 Giải i) 2014 Ta có A a 2014 0 d với d là một số thực nào đó. c 2014 0 b Từ A2014 0 a c 0 nên A vậy A2 0 . 0 0 ii) an Ta có: An 0 e với e là số thực nào đó. cn Từ giả thiết An I 2 a n c n 1 . Vì thế xảy ra các trường hợp: 1 b 1 nb A1 A1n nên b = 0 thỏa A12 I 2 . 0 1 0 1 1 0 A22 I 2 Tương tự ta có A2 0 1 7 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông 1 A3 0 1 A4 0 b A32 I 2 1 b A42 I 2 1 e) Ví dụ 5 Tìm tất cả ma a, b, c, d , n trận a b A c d sao cho an An n c bn dn với * Giải 0 0 Ta thấy A là một ma trận cần tìm. 0 0 an Vì A n c n bn đúng với n dn * an A n c n a 2 bc b a d a 2 Khi đó ta có: A 2 c2 c a d bc d 2 a 2 bc a 2 bc 0 2 b a d b b a d b 0 2 c a d c c a d c 0 2 2 bc d d bn đúng với n = 2 dn b2 d2 1 2 3 Trường hợp 1: c 0 b 0 Từ hệ phương trình ta có: a d c 0 4 Từ đẳng thức: a3 A 3 c 3 a2 0 a 0 a3 0 b3 2 A A 2 2 3 3 d c a d d c d ac a d d c d c3 ac a d d 2c 8 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông Từ 4 a d 3 ta có c = a+d thay vào phương trình trên ta được: a(a d ) d 2 (a d ) ad 0 b 0 0 0 + Nếu a = 0 từ 4 ta có: A ,c 0 c c d c 0 b d 0 c 0 + Nếu d = 0 từ 4 ta có: A ,c 0 c 0 a c 0 Trường hợp 2: b 0 0 b b b , b 0 hoặc A Tương tự trường hợp 1 ta có: A ,b 0 . 0 b 0 0 Trường hợp 3: b = c = 0 a 0 A 0 d Thử lại cả 5 trường hợp đều thỏa. 0 0 b 0 0 c d d e , , , , Vậy các ma trận cần tìm là a a b 0 0 c 0 0 0 0 f Với a, b, c, d, e, f là các số thực. f) Ví dụ 6 a b Cho ma trận A , a, b b a , tính An , n * Giải a b | a, b Đặt M b a Xét ánh xạ f : a bi M a b b a Dễ dàng chứng minh f là một đẳng cấu trường. 9 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông a 0 | a 0 a Xét g : a a 0 0 a Dễ dàng chứng minh g là một đẳng cấu trường. a 0 Nên ta có thể đồng nhất a 0 a 2 0 1 1 0 0 1 1 i i Ta thấy: 1 0 0 1 1 0 2 a b Như vậy với tùy ý thuộc M ta có: b a a b a 0 b 0 0 1 b a 0 a 0 b 1 0 a bi Khi đó a b r 0 cos sin b a 0 r sin cos 0 0 1 sin 0 r 0 cos cos 1 0 0 sin 0 r 0 r a 2 b 2 Với a b ,sin cos a 2 b2 a 2 b2 Áp dụng công thức Moivre ta tính được: 0 0 1 sin n 0 a b r n 0 cos n n cos n 1 0 0 sin n b a 0 r 0 n cos n sin n rn sin n cos n 1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp quy nạp toán học 1.2.1 Phương pháp 10 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông Bước 1: Tính các lũy thừa A2 , A3 , A4 ,... Bước 2: Dự đoán công thức tổng quát An Bước 3: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đã dự đoán ở bước 2. 1.2.2 Các ví dụ a) Ví dụ 1 1 1 Cho ma trận A , tính A2014 . 0 1 Giải 1 2 3 1 3 4 1 4 Ta tính được: A2 , A 0 1 , A 0 1 . 0 1 1 n Dự đoán: An . 0 1 1.1 Chứng minh 1.1 bằng phương pháp quy nạp toán học n 1 công thức 1.1 đúng. Giả sử công thức 1.1 đúng với n k , k * 1 k . Ta có: Ak . 0 1 Chứng minh công thức 1.1 đúng với n k 1, tức là chứng minh: 1 k 1 Ak 1 . 1 0 Thậy vậy: 1 k 1 1 1 k 1 Ak 1 Ak . A 0 1 0 . 0 1 1 1 n Vậy An , n 0 1 * . 1 2014 . Chọn n 2014 ta được: A2014 1 0 Sử dụng Maple 11 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông > with(linalg): A:=matrix(2,2,[1,1,0,1]): A2014:=evalm( A2014 ); 1 2014 A2014 : . 0 1 b) Ví dụ 2 1 1 1 Cho ma trận B 1 1 1 , tính B n với n 1 1 1 * Giải 3 3 3 9 9 9 Ta tính được: B 2 3 3 3 3B, B 3 9 9 9 32 B . 3 3 3 9 9 9 27 27 27 B 27 27 27 33 B . 27 27 27 4 Dự đoán: Bn 3n1.B , với n * 1.2 . Chứng minh 1.2 bằng phương pháp quy nạp toán học n 1 , công thức 1.2 đúng. Giả sử công thức 1.2 đúng với n k , k * , ta có: Bk 3k 1.B . Chứng minh công thức 1.2 đúng với n k 1 , tức là chứng minh: Bk 1 3k.B . Thậy vậy: 12 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông Bk 1 3k.B 3k 1.B.B 3k 1.3B 3k.B . Vậy Bn 3n1.B, n * . Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả Giả sử n = 1993 Theo cách giải trên ta được: A1993 31992 31992 A 31992 31992 31992 31992 31992 31992 31992 31992 Bây giờ ta sử dụng Maple để giải >with(linalg): A:=matrix(3,3,[1,1,1,1,1,1,1,1,1]): A1993:=map(ifactor,evalm( A1993 )); 31992 31992 31992 A1993 : 31992 31992 31992 31992 31992 31992 c) Ví dụ 3 2 0 Tính lũy thừa bậc n của ma trận A 0 0 0 2 0 0 3 7 8 4 , n 2 0 0 2 * . Giải 3 7 1 0 0 0 , I , O Đặt B 0 1 0 0 . 8 4 13 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông 2I Khi đó: A O B . 2 I 22 I Ta tính được: A2 O 2n I Dự đoán: An O 2.2 B 3 23 I , A 23.I O 22.3B . 23.I 2n1.nB . 2n.I 1.3 Chứng minh công thức 1.3 bằng phương pháp quy nạp toán học. n 1 : công thức 1.3 đúng. Giả sử công 2k I A O k thức 1.3 đúng với n k, k * .Ta có: 2k 1.kB 2k.I . Ta chứng minh 1.3 đúng với n k 1, tức là chứng minh 2k 1 I Ak 1 O 2k.(k 1) B . 2k 1.I Thậy vậy: 2k I Ak 1 Ak . A O 2n I Vậy An O 2n 0 n Hay A 0 0 2k 1.kB 2 I 2k.I O 2 n1.nB , n 2n.I B 2k 1 I 2 I O 2k.(k 1) B . 2k 1.I * 0 3n.2n1 7 n.2n1 2n 8n.2n1 4n.2n1 . 0 2n 0 0 0 2n Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả Giả sử n = 100, theo cách giải trên thì: 14 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông A100 2100 0 0 0 0 3.100.299 2100 8.100.299 0 2100 0 0 7.100.299 2100 4.100.299 0 0 0 2100 0 0 2100 0 0 2101.3.52 2104.52 2100 0 2101.52.7 2103.52 0 2100 Bây giờ ta sử dụng Maple để giải > with(linalg): A:=matrix(4,4,[2,0,3,-7,0,2,8,4,0,0,2,0,0,0,0]): A100:=map(ifactor,evalm( A100 )); 2100 0 A100 : 0 0 0 2100 0 0 2101.3.52 2104.52 2100 0 2101.52.7 2103.52 0 2100 d) Ví dụ 4 1 1 1 Cho ma trận A 0 1 1 , tính An với n nguyên dương. 0 0 1 Giải 1 2 3 1 3 6 1 4 10 3 4 Ta tính được: A 0 1 2 , A 0 1 3 , A 0 1 4 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 n Dự đoán: An 0 1 0 0 n(n 1) 2 n . 1 1.4 Chứng minh 1.4 bằng phương pháp quy nạp toán học. 15 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông n 1 , công thức 1.4 đúng. Giả sử công thức 1.4 đúng với n k , k 1 k Ta có: Ak 0 1 0 0 * k (k 1) 2 k 1 Chứng minh công thức (1.4) đúng với n k 1, tức là chứng minh k 1 k 2 1 k 1 2 Ak 1 0 1 k 1 . 0 0 1 Thậy vậy: 1 k Ak 1 Ak A 0 1 0 0 1 n Vậy An 0 1 0 0 k 1 k 2 k k 1 1 k 1 1 1 1 2 2 k 1 k 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 n(n 1) 2 n , n 1 * . Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả 1993 Giả sử n = 1993, theo cách giải trên thì: A 1 1993 1987021 0 1 1993 . 0 0 1 Bây giờ ta sử dụng Maple để giải. 16 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông > with(linalg): A:=matrix(3,3,[1,1,1,0,1,1,0,0,1]): A1993:=evalm( A1993 ); 1 1993 1987021 A1993 : 0 1 1993 0 0 1 e) Ví dụ 5 Trong M 2 ( 7 6 2 n ) , cho ma trận A . Tính A với n nguyên dương. 0 1 1 0 3 6 2 4 1 0 5 6 2 Ta tính được: A2 , A , A , A . 0 1 0 1 0 1 0 1 6 2 1 0 n Dự đoán: An nếu n lẻ, A nếu n chẵn. 0 1 0 1 1.5 Ta sẽ chứng minh 1.5 bằng quy nạp toán học. n 1 , hiển nhiên 1.5 đúng. Giả sử 1.5 đúng với n k , k * 6 2 , ta có: Ak nếu k lẻ, 0 1 1 0 Ak nếu k chẵn. 0 1 Ta sẽ chứng minh 1.5 đúng với n k 1, tức là chứng minh: 6 2 1 0 k 1 Ak 1 nếu k 1 lẻ, A nếu k 1 chẵn 0 1 0 1 17 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông Thậy vậy: k 1 lẻ k chẵn 1 0 1 0 6 2 6 2 k 1 k Ak A A .A . 0 1 0 1 0 1 0 1 k 1 chẵn k lẻ 6 2 6 2 6 2 1 0 k 1 k Ak A A .A . 0 1 0 1 0 1 0 1 6 2 1 0 n Vậy An nếu n lẻ, A nếu n chẵn, với mọi n 0 1 0 1 nguyên dương. Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả Giả sử n 2014 , n 2015 theo cách giải trên thì: 1 0 2015 6 2 A2014 ,A . 0 1 0 1 Bây giờ ta sử dụng Maple để giải. > with(linalg): A:=matrix(2,2,[6,2,0,1]): A2014:=map(irem,evalm( A2014 ),7); A2015:=map(irem,evalm( A2015 ),7); 18 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông 1 0 A2014 : 0 1 6 2 A2015 : 0 1 f) Ví dụ 6 cos x sin x Tính A2014 với A . sin x cos x Giải Ta tính được: cos 2 x sin 2 x 3 cos3x sin 3x 4 cos 4 x sin 4 x A2 , A sin 3x cos3x , A sin 4 x cos 4 x . sin 2 x cos 2 x cos nx sin nx Dự đoán: An , n sin nx cos nx 1.6 * Ta sẽ chứng minh 1.6 bằng quy nạp toán học. n 1 , hiển nhiên 1.6 đúng. Giả sử 1.6 đúng với n k , k * cos kx sin kx , ta có: Ak . sin kx cos kx Ta sẽ chứng minh 1.6 đúng với n k 1, tức là chứng minh: cos k 1 x sin k 1 x Ak 1 . sin k 1 x cos k 1 x Thật vậy cos kx sin kx cos x sin x Ak 1 Ak A sin kx cos kx sin x cos x 19 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông cos kx cos x sin kx sin x cos kx sin x sin kx cos x sin kx cos x cos kx sin x cos kx cos x sin kx sin x cos k 1 x sin k 1 x . sin k 1 x cos k 1 x cos nx sin nx Vậy An với mọi n nguyên dương. sin nx cos nx cos 2014 x sin 2014 x Khi đó, A2014 . sin 2014 x cos 2014 x Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(2,2,[cos(x),-sin(x),sin(x),cos(x)]): A2014:=combine(evalm( A2014 )); cos(2014 x) sin(2014 x) A2014 : sin(2014 x) cos(2014 x) 1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng nhị thức Newton 1.3.1 Phương pháp Giả sử A là ma trận vuông cấp k, tính lũy thừa bậc n của ma trận A với n nguyên dương. Bước 1 : Phân tích A = B+ C, trong đó BC = CB, B, C là các ma trận tính lũy thừa dễ dàng. n Bước 2: An B C Cnk B nk C k n k 0 20 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Tải về bản full